Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - Zmienne losowe jednowymiarowe

Zestaw fiszek dotyczący rachunku prawdopodobieństwa osadzony w kontekście zmiennych losowych jednowymiarowych, zawierający kluczowe definicje oraz zasady.

Co to jest zmienna losowa?

Jest to odwzorowanie X : Ω −→ X, takie że dla każdego A ∈ ΣX zachodzi warunek X −1(A) ∈ Σ.

Jak nazywamy zmienną losową, jeśli X = R?

Nazywamy ją zmienną losową rzeczywistą albo jednowymiarową.

Czym jest dystrybuanta zmiennej losowej rzeczywistej X?

Jest to funkcja FX : R −→ [0, 1] określona wzorem FX (x) = P(X ≤ x).

Jakie są właściwości dystrybuanty?

1. FX jest niemalejąca. 2. lim x→−∞ FX (x) = 0; lim x→+∞ FX (x) = 1. 3. FX (x) jest prawostronnie ciągła.

Co to jest rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej?

Jest to funkcja PX : ΣX −→ [0, 1] określona wzorem PX (A) = P(X −1(A)).

Kiedy mówimy, że zmienna losowa ma rozkład dyskretny?

Kiedy istnieje przeliczalny zbiór S ⊂ R taki, że PX (S) = 1.

Jak nazywamy funkcję, która wyznacza rozkład dyskretny zmiennej X?

Nazywamy ją funkcją prawdopodobieństwa lub funkcją gęstości prawdopodobieństwa (pmf).

Jak oblicza się prawdopodobieństwo zdarzenia A dla rozkładu dyskretnego?

PX (A) = P(X ∈ A) = ∑x∈A∩S p(x).

Czym jest funkcja schodkowa w kontekście rozkładów dyskretnych?

To dystrybuanta X, która w każdym punkcie x takim, że p(x) > 0, wykonuje skok o wartości p(x).

Jak wygląda przykładowa funkcja prawdopodobieństwa dla zmiennej losowej X?

Funkcja prawdopodobieństwa p(k) = (2k−1)/36 dla k ∈ S i 0 dla k ̸∈ S.

Co to jest zmienna losowa?

Jest to odwzorowanie X : \Omega \longrightarrow \mathcal{X}, takie że dla każdego A \in \Sigma_X zachodzi warunek X^{-1}(A) \in \Sigma.

Jak nazywamy zmienną losową, jeśli X = \mathbb{R}?

Nazywamy ją zmienną losową rzeczywistą albo jednowymiarową.

Czym jest dystrybuanta zmiennej losowej rzeczywistej X?

Jest to funkcja FX : \mathbb{R} \longrightarrow [0, 1] określona wzorem FX(x) = P(X \leq x).

Jakie są właściwości dystrybuanty?

1. FX jest niemalejąca. 2. \lim{x \to -\infty} FX(x) = 0; \lim{x \to +\infty} FX(x) = 1. 3. FX(x) jest prawostronnie ciągła.

Co to jest rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej?

Jest to funkcja PX : \SigmaX \longrightarrow [0, 1] określona wzorem P_X(A) = P(X^{-1}(A)).

Kiedy mówimy, że zmienna losowa ma rozkład dyskretny?

Kiedy istnieje przeliczalny zbiór S \subset \mathbb{R} taki, że P_X(S) = 1.

Jak nazywamy funkcję, która wyznacza rozkład dyskretny zmiennej X?

Nazywamy ją funkcją prawdopodobieństwa lub funkcją gęstości prawdopodobieństwa (pmf).

Jak oblicza się prawdopodobieństwo zdarzenia A dla rozkładu dyskretnego?

PX(A) = P(X \in A) = \sum{x \in A \cap S} p(x).

Czym jest funkcja schodkowa w kontekście rozkładów dyskretnych?

To dystrybuanta X, która w każdym punkcie x takim, że p(x) > 0, wykonuje skok o wartości p(x).

Jak wygląda przykładowa funkcja prawdopodobieństwa dla zmiennej losowej X?

Funkcja prawdopodobieństwa p(k) = (2k-1)/36 dla k \in S i 0 dla k \notin S.

Kiedy mówimy, że zmienna losowa ma rozkład ciągły?

Gdy istnieje nieujemna funkcja fX (gęstość), taka że dla każdego x \in \mathbb{R} zachodzi FX(x) = \int{-\infty}^{x} fX(t) dt.

Jakie warunki musi spełniać funkcja gęstości prawdopodobieństwa f(x)?

1. f(x) \ge 0 dla każdego x \in \mathbb{R}. 2. \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1.

Jak definiuje się wartość oczekiwaną E(X) dla dyskretnej zmiennej losowej?

E(X) = \sum_{x \in S} x \cdot p(x), o ile suma ta jest bezwzględnie zbieżna.

Jaki jest związek między gęstością a prawdopodobieństwem w rozkładzie ciągłym?

Prawdopodobieństwo trafienia w przedział (a, b] oblicza się jako: P(a < X \le b) = \int{a}^{b} fX(x) dx.

Jak definiuje się wariancję Var(X) zmiennej losowej?

Var(X) = E((X - E(X))^2) = E(X^2) - (E(X))^2.