principi di meccanica

I Principio della dinamica (Principio d'inerzia)

Ogni corpo mantiene il proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché non agisce su di esso una forza risultante non nulla.

II Principio della dinamica

La risultante delle forze \vec{F} agenti su un corpo è pari al prodotto della sua massa m per l'accelerazione \vec{a}: \vec{F} = m\vec{a}.

III Principio della dinamica (Principio di Azione e Reazione)

Quando un corpo esercita una forza su un secondo corpo, quest'ultimo esercita sul primo una forza uguale in modulo e direzione, ma opposta in verso: \vec{F}{12} = -\vec{F}{21}.

Traslazione unidimensionale

Relazione tra le coordinate di due sistemi di riferimento in moto relativo traslatorio lungo un asse: x = x' + xO(t), dove xO(t) è la posizione dell'origine traslata.

Forza elastica (Legge di Hooke)

Forza di richiamo esercitata da una molla, proporzionale allo spostamento \vec{x} dalla posizione di riposo: \vec{F} = -k\vec{x}.

Forze di attrito

Le forze di attrito si oppongono al moto relativo. L'attrito radente è espresso come f = \mu N, mentre l'attrito viscoso in un fluido è modellato come \vec{F} = -b\vec{v}.

Teorema delle forze vive (Teorema dell'energia cinetica)

Il lavoro totale W compiuto da tutte le forze agenti su un punto materiale è uguale alla variazione della sua energia cinetica: W = \Delta K = Kf - Ki.

Forze conservative ed Energia Potenziale

Una forza è conservativa se il suo lavoro non dipende dal percorso. Per tali forze si definisce l'energia potenziale U tale che il lavoro è l'opposto della sua variazione: W = -\Delta U.

Conservazione dell'energia meccanica

L'energia meccanica totale E = K + U di un sistema rimane costante se su di esso agiscono solo forze conservative e non vi è dispersione di energia.

Centro di massa (CM)

Punto geometrico che rappresenta la posizione media delle masse di un sistema: \vec{r}{cm} = \frac{1}{M} \sum mi \vec{r}_i.

I Equazione cardinale della dinamica

La risultante delle forze esterne \vec{F}^{(e)} agenti su un sistema è pari alla variazione della sua quantità di moto totale: \vec{F}^{(e)} = \frac{d\vec{P}}{dt} = M\vec{a}_{cm}.

II Equazione cardinale della dinamica

Il momento delle forze esterne rispetto a un polo fisso (o al CM) è uguale alla variazione temporale del momento angolare del sistema: \vec{M}^{(e)} = \frac{d\vec{L}}{dt}.

Teoremi di König

Scompongono l'energia cinetica totale e il momento angolare totale in un contributo del centro di massa e un contributo relativo al moto interno rispetto al CM.

Stazionarietà dell'energia potenziale

Un sistema conservativo è in equilibrio se la sua energia potenziale U è stazionaria rispetto alle coordinate: \nabla U = 0.

Corpo rigido

Un sistema di punti materiali in cui le distanze reciproche tra i punti rimangono costanti nel tempo, indipendentemente dalle sollecitazioni esterne.

Posizione (3.1)

Vettore \vec{r}(t) che individua la collocazione di un punto materiale nello spazio in funzione del tempo rispetto a un'origine fissata.

Velocità (3.2)

La velocità istantanea è la derivata temporale della posizione: \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt}. La velocità media è il rapporto tra spostamento e tempo: \vec{v}_m = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}.

Accelerazione (3.3)

L'accelerazione istantanea è la derivata temporale della velocità: \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}. Rappresenta la rapidità di variazione del vettore velocità.

Relazioni inverse (3.4)

Formule integrali per ricavare la cinematica: \vec{v}(t) = \vec{v}0 + \int{t0}^t \vec{a}(t')dt' e \vec{r}(t) = \vec{r}0 + \int{t0}^t \vec{v}(t')dt'.

Il momento d'inerzia (7.10)

Misura dell'inerzia rotazionale di un corpo rigido rispetto a un asse: I = \sum mi ri^2 (sistema discreto) o I = \int r^2 dm (sistema continuo).

Teorema di Huygens-Steiner (7.10.1)

Permette di calcolare il momento d'inerzia I rispetto a un asse parallelo a quello passante per il centro di massa: I = I_{cm} + Md^2, dove d è la distanza tra gli assi.

Il rotolamento puro (7.12)

Moto combinato di traslazione e rotazione in cui il punto di contatto è istantaneamente fermo. La condizione è v_{cm} = \omega R.

Teorema di König per l'energia cinetica (7.13)

Per un corpo rigido, l'energia cinetica totale è la somma dell'energia di traslazione del CM e quella di rotazione attorno al CM: K = \frac{1}{2} M v{cm}^2 + \frac{1}{2} I{cm} \omega^2.

Attrito volvente (7.13.2)

Forza di resistenza che si oppone al rotolamento puro, dovuta alla deformazione dei materiali della superficie e del corpo nel punto di contatto.

Il tensore di inerzia (7