egzamin ze statystyki i matematyki

ciąg liczbowy rzeczywisty

funkcja określona na zbiorze liczb **naturalnych** o wartościach w zbiorze liczb **rzeczywistych**

ciąg arytmetyczny

ciąg dla którego **różnica** kolejnych dwóch wyrazów jest stała

ciąg geometryczny

ciąg dla którego **iloraz** dwóch kolejnych wyrazów jest stały

symbole nieoznaczone

zdjecie

własności ciągu z liczbą e

ogarniczony, rosnący, zbieżny

co to znaczy że ciąg jest zbieżny

ma granicę

twierdzenie o trzech ciągach

jeśli an≤bn≤cn oraz an i cn mają równe granice to ciąg bn też będzie miał taką samą granice

warunek konieczny zbieżności szeregu

wyraz ogólny dąży do 0 lim a=0

Kryterium d’Alemberta

zdjęcie

kryterium Cauchy’ego

zdjęcie

kryterium Leibniza

zdjęcie

kryterium porównawcze

zdjęcie

różniczkowanie

odnajdywanie pochodnej funkcji

pochodna funkcji w punkcie x0

granica ilorazu różnicowego tej funkcji w punkcie x0 gdy przyrost delta x dąży do 0

wzór na pochodną funkcji w punkcie x0

zdjęcie

interpretacja geometryczna pochodnej funkcji

• pochodna funkcji x0 = tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x0

• pochodna funkcji f(x) = współczynnik kierunkowy prostej stycznej do wykresu w punkcie x0

całkowanie

działanie odwrotne do różnicznkowania

pochodna funkcji stałej

y’=(12)’=0

y’=(x)’=

x

interpretacja geometryczna całki oznaczonej

trapez krzywoliniowy, pole obszaru ograniczonego łukiem krzywej funkcji oraz prostymi x=a i x=b (granice) równa się całce oznaczonej tej funkcji

własności całki oznaczonej

• po przestawieniu granic całka zmienia znak na przeciwny

• całka o tej samej dolnej i górnej granicy =0

• przedział w którym obliczamy całkę wolno dzielić na części

liczba zespolona

uporządkowana para liczb rzeczywistych z=(x,y)

Płaszczyzna zespolona

zbiór wszystkich liczb zespolonych

suma liczb zespolonych z=(a,b) w=(c,d)

z+w=(a+c,b+d)

iloczyn liczb zespolonych

z\*w=(ac-bd,ad+bc)

element neutralny dodawania

z=(0,0)

element przeciwny do liczby z=(a,b)

\-z=(-a,-b)

element neutralny mnożenia

z=(1,0)

element odwrotny liczby z

zdjęcie

jednostka urojona

liczba zespolona (0,1)

warunek jednostki urojonej

i^2=-1

postać algebraiczna liczby zespolonej

z=x+iy/z=a+ib

liczba sprzężona do liczby zespolonej

obraz liczby zespolonej w symetrii do osi Re z (z=x-iy)

moduł liczby zespolonej

odległość punktu (x,y) od początku układu współrzędnych

część rzeczywista liczby zespolonej (it realis)

liczba x (Re z=x)

część urojona liczby zespolonej (it imaginalis)

liczba y (Im z=y)

macierz kwadratowa

liczba wierszy = liczba kolumn

macierz zerowa

wszystkie elementy macierzy są równe 0

wyznacznik macierzy kwadratowej

takie odwzorowanie które danej macierzy przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę rzeczywistą detA

reguła Sarrusa

służy do obliczania współczynnika macierzy 3x3

właściwości wyznaczników

• przestawienie dowolnych wierszy (lub kolumn) zmienia wartość współczynnika na przeciwną

• przestawienie wszystkich wierszy na miejsce jego kolumn i odwrotnie bez zmiany ich porządku nie zmienia wartości współczynnika

• jeśli wyznacznik ma dwa wiersze lub kolumny identyczne to jego wartość równa się zeru

• jeśli wyznacznik ma jakiś wiersz lub kolumnę złożoną z samych 0 to jego wartość równa się 0

• jeśli wszystkie elementy dowolnego wiersza lub kolumny wyznacznika pomnożymy przez pewną liczbę to wyznacznik też zostaje pomnożony przez tą liczbę

• jeśli do elementów dowolnego wiersza lub kolumny dodamy lub odejmiemy element innego wiersza lub elementy innego wiersza pomnożone przez tę liczbę to wartość wyznacznika nie zmieni się

skala nominalna

NAJPROSTSZA, pozwala określić przynależność elementów danego zbioru (np populacji ludzi) do wyróżnionych dla danej cechy (np kolor oczu) kategorii jakościowych (np u brunetów)

skala nominalna dychotomiczna (dwupunktowa, dwudzielna)

wszystkie elementy danego zbioru są podzielne na dwie grupy rozłączne, czyli takie które nie posiadają elementów wspólnych (np płeć)

skala porządkowa

podczas rangowania poszczególnych wyników pomiarów przypisujemy im kolejny numer porządkowy czyli tzw rangę, utworzone rangi są wykorzystywane w dalszych przeliczeniach statystycznych

skala interwałowa (przedziałowa)

stosuje się ją wówczas, gdy zbiór wyników zawiera się w zbiorze liczb rzeczywistych, wynikom wyrażonym w tej skali można przypisać określoną wartość mierzoną w ściśle zidentyfikowanych jednostkach (np pomiary masy, długości, temperatury)

dokładność pomiaru

różnica między najmniejszym a największym pomiarem musi mieścić się w zakresie od 30 do 300 jednostek pomiarowych

od czego zależy dokładność pomiarów

możliwości aparatury, celu badań i zasad przestrzeganych w danej dyscyplinie naukowej

granice praktyczne

np 210-229,9

granice rzeczywiste

np 209,95-229,95

średnia arytmetyczna ważona

stosuje się ją gdy elementom danego zbioru chcemy przypisać większą wagę, aby miały one większy wpływ na obliczaną wartość średniej arytmetycznej

średnia geometryczna

stosowana jest gdy wyniki zmieniają się w przybliżeniu w postępie geometrycznym tzn. gdy kolejna wielkość w szeregu powstaje przez pomnożenie przez stały mnożnik wielkości bezpośrednio ją poprzedzającej, można nią obliczyć średnie tempo przyrostu badanej cechy (np tempo przyrostu masy ciała) (tylko liczby dodatnie)

średnia harmoniczna

służy najczęściej do obliczania tzw. efektywnej wielkości populacji, kształtu, dominacji czy zagęszczenia. Stosuje się ją również wtedy, gdy chcemy obliczyć średnią wartość badanej cechy, a zbiór wyników zawiera wartości różniące się od siebie o kilka rzędów wielkości

współczynnik zmienności

umożliwia porównanie zmienności wyników pomiarów, które nie zostały wyrażone w tych samych jednostkach lub pobrano je z różnych źródeł

kodowanie

polega na dodawaniu, odejmowaniu, mnożeniu i dzieleniu wszystkich wyników przez wartość stałą w celu uproszczenia obliczeń i graficznego przedstawienia wyników badań

transformacja

polega na pierwiastkowaniu, potęgowaniu czy logarytmowaniu danych pomiarowych, można też użyć funkcji trygonometrycznych

kombinacje

pozwalają policzbyć na ile sposobów można wybrać k elementów z n-elementowego zbioru (nie wybieramy wszystkiego, kolejność nie jest istotna)

permutacje

np ilość kombinacji w które można ułożyć 5 osób w kolejkę (bez powtórzeń) (5!=) (wszystkie elementy)

wariacja

nie musimy używać wszystkich elementów, z powtórzeniami i bez powtórzeń

wariancja

średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy jednostek zbiorowości od ich średniej, kwadrat odchylenia standardowego

klasyczna definicja prawdopodobieństwa

stosunek zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu, do wszystkich zdarzeń elementarnych, jednakowo możliwych i wykluczających się wzajemnie

własności prawdopodobieństwa

• prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi 0

• jeśli zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenia B to P(A) ≤ P(B)

• dla każdego zdarzenia A zawartego w omega zachodzi P(A) ≤ 1

• jeśli zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B, to prawdopodobieństwo różnicy zdarzeń jest równe różnicy prawdopodobieństw tych zdarzeń

• prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia A wynosi P(A’) = 1 - P(A)

zmienna losowa

każda funkcja na zbiorze omega i przybierająca wartości w zbiorze liczb rzeczywistych

zmienna losowa skokowa

zbiór wartości które może przyjmować zmienna jest skończony

zmienna losowa ciągła

zbiór wartości które może przyjmować zmienna jest niepoliczalny

rozkład zero-jedynkowy

przeprowadza się jedno doświadczenie losowe (n=1), możliwe są tylko dwa wyniki - sukces (1) lub porażka (0)

rozkład dwumianowy

więcej niż jedno zdarzenie losowe (n>1), możliwe są tylko wyniki p i q

prawdopodobieństwo alternatywy

zdarzenie losowe, które zachodzi wtedy gdy zachodzi przynajmniej jedno ze zdarzeń je tworzących (albo) (równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń)

prawdopodobieństwo koniunkcji

zdarzenie losowe polegające na tym, że kilka zdarzeń losowych zaszło równocześnie (i) (równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń)

rozkład prawoskośny

p

rozkład lewoskośny

p>0,5

rozkład normalny

rozkład ciągły i symetryczny którego postać zależy od dwóch parametrów mi i sigma (μ,σ)

gęstość prawdopodobieństwa

średnia ilość prawdopodobieństwa przypadająca na jednostkę długości przedziału gdy długość przedziału dąży do 0

rozkład platykurtyczny

jeśli rozkład wyników pomiarów mocno odbiega od wartości średniej to sigma przyjmuje wysokie wartości i rozkład normalny ma wtedy kształt rozpłaszczony

rozkład leptokurtyczny

jeśli rozkład wyników nie odbiega mocno od wartości średniej to sigma przyjmuje niskie wartości i rozkład normalny ma szpiczasty kształt

rozkład normalny standaryzowany

ma zdefiniowaną średnią arytmetyczną mi=0 i zdefiniowane odchylenie standardowe sigma=1

ile wynosi pole pod krzywą gęstości prawdopodobieństwa

1

na co wskazuje jednostka z

jednostka standaryzowana, wskazuje o ile odchyleń standardowych pojedynczy wynik jest oddalony od średniej

hipoteza badawcza

przypuszczenie dotyczące badanego zjawiska czy rozważanego problemu

hipoteza statystyczna

przypuszczenie dotyczące badanych danych

hipoteza zero

brak istotnych różnic w wynikach, przyjmujemy kiedy wartość statystyki testu będzie mniejsza niż wartość krytyczna

hipoteza alternatywna (1)

istotne różnice w wynikach, przyjmujemy kiedy wartość statystyki testu będzie większa od wartości krytycznej

poziom istotności

prawdopodobieństwo uzyskania z testu statystycznego wartości, która nakazuje nam odrzucenie hipotezy zerowej na rzecz hipotezy alternatywnej, mimo, że hipoteza zerowa może być prawdziwa (określa prawdopodobieństwa popełnienia błędu pierwszego rodzaju)

błąd pierwszego rodzaju

odrzucamy prawdziwą hipotezę zerową i przyjmujemy fałszywą hipotezę alternatywną

błąd drugiego rodzaju

odrzucamy prawdziwą hipotezę alternatywną i przyjmujemy fałszywą zerową

który test jest silniejszy (konserwatywny/liberalny)

konserwatywny

estymacja parametrów

wyznaczenie takiego przedziału liczbowego który z nadanym z góry prawdopodobieństwem (1-alfa) zwanym współczynnikiem ufności poryje nieznaną wartość szacowanego parametru populacji

współczynnik ufności

zależy od przyjętego poziomu istotności, jeśli alfa=0,05 to współczynnik ufności =0,95

test Q-dixona

umożliwia wyeliminowanie tzw. błędów grubych czyli błędów pomiarowych które różnią się od pozostałych (błąd pomiarowy, odczytu)

test t-studenta

stosujemy go w celu wykazania istotnych różnic między dwiema grupami

test F

sprawdza jednorodność wariancji, trzeba go zrobić przed zastosowaniem testu t dla prób niezależnych

założenie analizy wariancji

obowiązuje we wszystkich rodzajach ANOVA i wymaga aby pomiar zmiennej zależnej miał rozkład normalny w obrębie każdej wyróżnionej grupie danych i wariancja pomiarów była jednakowa we wszystkich grupach (i pobieranie losowe)

test u

mocniejszy od testu serii, bardziej precyzyjnie od niego sprawdza różnice w rozkładzie liczb między dwiema grupami

test Kniskala-Wallisa

nieparametryczna alternatywa klasyfikacji prostej, stosuje się przy naruszeniu założeń ANOVA

test Wilcoxona

nieparametryczna alternatywa testu t-studenta dla przypadku dwóch równolicznych prób dających się połączyć w pary

test ANOVA

pomiary muszą być w rozkładzie normalnym oraz wariancja pomiarów musi być jednakowa we wszystkich grupach

test chi-kwadrat

sprawdza hipotezę, jest to każdy test statystyczny w którym statystyka testowa ma rozkład chi kwadrat (wartość oczekiwana nie może być mniejsza niż 5)

model regresji

opisuje zależność między dwoma zmiennymi, z których jedna (Y) jest zmienną losową o rozkładzie normalnym, druga natomiast (X) jest zmienną nielosową

model korelacji

współzależność dwóch zmiennych, z których obie Y i X są zmiennymi losowymi

wartość krytyczna

wyznacza obszar w którym gęstość prawdopodobieństwa przyjmuje wartości niższe od założonego poziomu istotności

współczynniki korelacji

od -1 do +1