Definizioni Analisi Uno

Funzione

è una relazione che associa a ogni elemento di un insieme di partenza D un unico elemento di un insieme di arrivo C:

f:D→C x→f(x)

Se D e C sono insiemi numerici, la funzione si dice reale di variabile reale

Continuità

in un punto x⁰ se esiste il limite della funzione in quel punto ed è uguale al valore della funzione:

lim x→x⁰ f(x)=f(x⁰)

Se la funzione è continua per ogni x appartenente ad I, si dice continua su I

f uniformemente continua

in un intervallo se per ogni epsilon>0 , esiste delta>0 tale che per ogni x,y nell'intervallo con |x-y|<delta, si ha |f(x)-f(y)|<epsilon

p di discontinuità

lo è un punto x⁰ per f(x) se almeno uno dei limiti sx o dx non esiste o è diverso da f(x⁰)

successione

è una funzione che associa ad ogni numero n un valore reale an:

a:N→R n→an

Una successione si dice convergente se esiste L appartenente ad N tale che

lim n→infinito an=L

Se il limite non esiste la successione diverge

limite

sia f:A→R una f(x) definita in un intornodi x⁰. Si dice che il limite di f(x) per x→x⁰ è l se, per ogni epsilon>0, esiste delta>0 tale che

0<|x-x⁰|<delta → |f(x)-l|<epsilon

lim x→x⁰ f(x)=l

p di accumulazione

lo è x⁰ per A se per ogni intorno di x⁰ contiene almeno un punto di A diverso da x⁰

f monotona

una funzione è crescente se per ogni x<y f(x)<f(y), decrescente se per ogni x<y f(x)>f(y). Se una delle due vale in senso stretto la funzione è strettamente monotona

derivata

di una funzione in un punto x⁰ è il limite del rapporto incrementale:

f’(x⁰)=lim h→ 0 f(x+h)-f(x) / h

Se il limite esiste la funzione si dice derivabile in x⁰

differenziabile

lo è una funzione in x⁰ se esiste il limite del rapporto incrementale ed è finito, cioè se esiste:

lim h→0 f(x⁰+h)-f(x⁰) / h

max e min

il massimo assoluto di una funzione in un insieme A è un punto xm tale che f(xm)>=f(x) per ogni x appartenente ad A. il massimo relativo o locale è un punto x⁰ | esiste un intorno B | f(xm)>=f(x) per ogni x appartenente ad AnB

f integrabile secondo Riemann

lo è una funzione in un intervallo [a,b] se esiste il limite delle somme di Riemann al variare della partizione dell'intervallo, quindi se il maggiore delle somme inferiori e il minore delle somme superiori coincidono

serie

data una successione an, la serie numerica associata è la somma infinita:

serie (n=0 infinito) an

Si dice che la serie converge se la successione delle somme parziali

sn= seri3 (k=0 infinito) ak

ammette limite finito. Se il limite non esiste od è uguale ad infinito la serie diverge

serie ac

una serie an è assolutamente convergente se converge la serie dei valori assoluti serie |an|