Chapitre 3 : la factorisation LU

3.1 : Qu’appelle-t-on matrice triangulaire supérieure et inférieure ?

3.1 Définition

On dit qu’une matrice est

triangulaire supérieure si Uij = 0 pour j < i.

triangulaire inférieure si Lij = 0 pour i < j

3.2 : Quelle est la propriété du produit de deux matrices triangulaires ?

3.2 Proposition

Soient L1 et L2 (resp. U1 et U2) deux matrices triangulaires inférieures (resp. supérieures).

Le produit L1L2 (resp. U1U2) est une matrice triangulaire inférieure (resp. supérieure)

3.3 : Quelle est la propriété de l’inverse d’une matrice triangulaire ?

3.3 Proposition

Soit L (resp. U) une matrice triangulaire inférieure (resp. supérieure) inversible.

Son inverse L⁻¹ (resp. U⁻¹) est une matrice triangulaire inférieure (resp. supérieure)

3.4 : Que dit le théorème de la décomposition LU ?

3.4 Théorème

Soit A une matrice inversible.

Elle admet une décomposition LU unique où L est à diagonale unité,

C’est à dire :

Lii = 1, ssi toutes ses sous-matrices Ak sont inversibles, où Ak ∈ M(k,k) et (Ak)ij = Aij, (i,j) ∈ [1,k]².

3.5 : Que peut-on dire de la décomposition LU pour une matrice symétrique définie positive ?

3.5 Proposition

Si A est une matrice symétrique définie positive, alors ses sous-matrices sont inversibles, et donc elle admet une décomposition LU où Lii = 1

3.6 : Quelle est la décomposition de Cholesky ?

3.6 Proposition

Si A est une matrice symétrique définie positive, alors elle admet une décomposition unique de la forme A = GGᵗ où G est une matrice triangulaire inférieure à diagonale positive