math

Функция

это правило, которое входному значению сопоставляет ровно одно выходное значение

Взаимно однозначная функция

это функция, которая устанавливает однозначное соответствие между входными и выходными значениями: каждому входному значению соответствует ровно одно выходное значение, и, наоборот, каждому выходному значению соответствует ровно одно входное значение.

Функция многих переменных

это функция, которая имеет несколько входных значений.

Функция в математике

это зависимость одной величины от другой. В математике данная зависимость записывается в виде y=f(x). Величина y зависит от величины x по определенному правилу, которое обозначается буквой f, при этом:

• x называется аргументом функции или независимой переменной

• y называется значением функции или зависимой переменной

• f называется правилом, которое сопоставляет аргументу функции его значение

Значение функции в точке

это значение, которое функция принимает при определенном значении аргумента.

Область определения функции

это все возможные значения, которые можно подставить в функцию.

Область значений функции

это все возможные результаты, которые функция может вернуть.

Прямоугольная система координат, декартова система координат или координатная плоскость

это система координат, состоящая из двух взаимно перпендикулярных прямых, имеющих направление, начало отсчета и единичные отрезки.

Оси координат

это прямые, образующие систему координат.

Ось абсцисс Ox

это горизонтальная ось координат.

Ось ординат Oy

это вертикальная ось координат.

Начало координат O

это точка пересечения осей координат.

Координаты точки

это расстояния по горизонтали и вертикали от начала координат до самой точки.

Координатные четверти

это четыре угла, образованные осями координат Ox и Oy.

График функции

это набор всех точек, где каждая точка показывает, чему равен y при данном x.

Линейная функция

это функция вида y=kx+b, где:

• k и b – любые вещественные числа

• k – угловой коэффициент

• b – свободный коэффициент

График линейной функции

Графиком линейной функции является прямая. Наклон этой прямой определяется коэффициентом k:

• если k>0 прямая возрастает

• если k<0, прямая убывает

• если k=0, прямая постоянна и параллельна оси Ox (горизонтальная).

Прямая проходит через начало координат, если свободный коэффициент b=0

Для построения графика линейной функции достаточно две принадлежащие ему точки.

Линейная функция позволяет задать любую прямую на плоскости, кроме вертикальной

Нахождение коэффициентов k и b линейной функции

Коэффициенты k и b линейной функции, проходящей через две точки A(x1;y1) и B(x2;y2), находятся по следующим формулам:

k = y2−y1 / x2−x1;

b = y1*x2 − x1*y2 / x2−x1

Скорость роста линейной функции

Скорость роста линейной функции определяется ее угловым коэффициентом: чем больше угловой коэффициент, тем быстрее растет функция.

Уравнение

это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин.

Корень уравнения

это значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Решить уравнение

значит найти все его корни или доказать, что уравнение корней не имеет.

Равносильные уравнения

это уравнения с абсолютно одинаковыми наборами корней.

Система линейных уравнений

это набор двух или более линейных уравнений с несколькими переменными.

Решение системы уравнений

это набор значений переменных, при которых все уравнения системы одновременно превращаются в верные равенства.

Квадратичная функция

это функция вида y=ax**2+bx+c, где:

• a,b и c – любые вещественные числа, причем a≠0

• a – старший коэффициент

• b – средний коэффициент

• c – свободный коэффициент

График квадратичной функции

Графиком квадратичной функции является парабола. Направление ветвей параболы определяется старшим коэффициентом a:

• если a>0, ветви параболы направлены вверх

• если a<0, ветви параболы направлены вниз

Cвободный коэффициент c=0 определяет, проходит ли парабола через начало координат:

• если c=0, парабола проходит через начало координат

• если c≠0, парабола не проходит через начало координат

Вершина параболы

Вершина параболы — это точка, из которой парабола «распускает» свои ветви.

Для параболы, заданной функцией y = ax^2 + bx + c,
абсцисса вершины x_0 находится по формуле:

x_0= −b / 2a

Ордината вершины y0 определяется подстановкой x_0 в уравнение параболы:

y_0=a(x0)2+bx0+c

Таким образом, вершина параболы — это точка с координатами (x0,y0)

Скорость роста квадратичной функции

Скорость роста квадратичной функции определяется ее старшим коэффициентом: чем больше старший коэффициент, тем быстрее растет функция. Любая квадратичная функция растет быстрее, чем любая линейная функция.

Квадратное уравнение с одной неизвестной

это уравнение вида ax**2+bx+c=0, где:

• x – неизвестная

• коэффициенты a, b и c – любые вещественные числа, причем a≠0

Полное квадратное уравнение

это квадратное уравнение, в котором все коэффициенты отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение

это квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.

Приведенное квадратное уравнение

это квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Если это так, то справедливы 2 равенства:

x1+x2=−b

x1⋅x2=c

Дискриминант квадратного уравнения

Дискриминант квадратного уравнения ax2+bx+c=0 – это величина, обозначаемая как D, которая находится по формуле: D=b**2−4ac Наличие корней у квадратного уравнения зависит от его дискриминанта:

• если D<0, квадратное уравнение не имеет вещественных корней

• если D=0, квадратное уравнение имеет один вещественный корень, который находится по формуле: x=−b/2a

• если D>0, квадратное уравнение имеет два различных вещественных корня, которые находятся по формулам:
  x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}

x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}

 Базовые свойства логарифмов

\log_a a = 1

\log_a 1 = 0
a^{\log_a b} = b

Количество цифр в произвольном положительном целом числе

Количество цифр в произвольном положительном целом числе равняется десятичному логарифму этого числа, округленному до целого в меньшую сторону и увеличенному на единицу

Логарифмическая функция

это функция вида y=log⁡ a x, где:

• a – любое вещественное число, причем a>0, a≠1

График логарифмической функции

Графиком логарифмической функции является кривая.
Вид этой кривой определяется основанием a:

• если a>1, логарифмическая кривая возрастает

• если 0<a<1, логарифмическая кривая убывает

График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0)