definizione di equazione, i diversi tipi di funzione, le funzioni trigonometriche, definizione di derivata

cosa descrive un’equazione?

un’equazione descrive relazioni tra grandezze fisiche, il risultato di un’equazione non è solo un numero ma una quantità che deve avere un senso fisico.

le funzioni possono essere rappresentate graficamente, analiticamente o mediante tabella.

che cos’è una funzione?

una funzione è una relazione che associa a ciascun elemento x di un insieme di partenza (dominio) uno e uno solo elemento y di un insieme di arrivo (codominio)

che tipo di equazione è quella del tipo y=mx?

è una equazione che esprime la relazioni tra due variabili x e y. all’aumentare di x, y aumenta in maniera proporzionale alla costante m, dunque x e y sono direttamente proporzionali

i grafico è una linea retta con coefficiente angolare m

che tipo di equazione è yx=k?

è un’equazione che esprime la relazione tra due variabili y e x, all’aumentare di x, y diminuisce in maniera proporzionale alla costante k. x e y sono inversamente proporzionali, il grafico è un ramo di iperbole

come sono definite le funzioni trigonometriche di seno e coseno?

le funzioni trigonometriche derivano dalla definizione di seno e coseno di un angolo.

Considerati due assi. cartesiani x e y, e una circonferenza di raggio r avente il suo centro nell’origine degli assi si definiscono seno e coseno di un angolo α i rapporti senα= PQ/OP= PQ/r, cosα= OQ/OP/=OQ/r.

Il dominio di queste funzioni sono i valori dell’angolo α

(senα: ordinata, cosα: ascissa)

cosa dice l’identità fondamentale della trigonometria?

senα²+cosα²=1

come variano periodicamente le funzioni di seno coseno e tangente?

Seno (sin θ)

• Parte da 0 a 0° (0 rad).

• Cresce fino a 1 a 90° (π/2).

• Poi scende a 0 a 180° (π).

• Diventa negativo, arriva a –1 a 270° (3π/2).

• Torna a 0 a 360° (2π).
  👉 È periodico con periodo 360° (2π rad).
  👉 Grafico = onda sinusoidale.

2. Coseno (cos θ)

• Parte da 1 a 0° (0 rad).

• Scende a 0 a 90° (π/2).

• Diventa –1 a 180° (π).

• Risale a 0 a 270° (3π/2).

• Torna a 1 a 360° (2π).
  👉 Anche lui è periodico con periodo 360° (2π rad).
  👉 Grafico = onda sinusoidale “sfasata”.

3. Tangente (tan θ = sin θ / cos θ)

• Parte da 0 a 0° (0 rad).

• Cresce verso +∞ vicino a 90° (π/2) → lì è indefinita.

• Riparte da –∞ subito dopo 90°.

• Vale di nuovo 0 a 180° (π).

• Stessa cosa fino a 360° (2π).
  👉 La tangente ha periodo 180° (π rad).
  👉 Grafico = curve che si ripetono

quali sono le formule per passare da gradi a radianti e viceversa?

Da gradi a radianti=gradi×π/80

Da radianti a gradi=radianti×180/π

com’è definita la funzione trigonometrica tangente?

la tangente di un angolo α è definita come il rapporto tra seno e coseno di un angolo

quali sono i valori principali di seno coseno e tangente?

Valori principali (in gradi e radianti):

• 0° (0 rad) → sin = 0, cos = 1, tan = 0

• 30° (π/6) → sin = 1/2, cos = √3/2, tan = 1/√3

• 45° (π/4) → sin = √2/2, cos = √2/2, tan = 1

• 60° (π/3) → sin = √3/2, cos = 1/2, tan = √3

• 90° (π/2) → sin = 1, cos = 0, tan = indefinita

• 120° (2π/3) → sin = √3/2, cos = –1/2, tan = –√3

• 135° (3π/4) → sin = √2/2, cos = –√2/2, tan = –1

• 150° (5π/6) → sin = 1/2, cos = –√3/2, tan = –1/√3

• 180° (π) → sin = 0, cos = –1, tan = 0

• 210° (7π/6) → sin = –1/2, cos = –√3/2, tan = 1/√3

• 225° (5π/4) → sin = –√2/2, cos = –√2/2, tan = 1

• 240° (4π/3) → sin = –√3/2, cos = –1/2, tan = √3

• 270° (3π/2) → sin = –1, cos = 0, tan = indefinita

• 300° (5π/3) → sin = –√3/2, cos = 1/2, tan = –√3

• 315° (7π/4) → sin = –√2/2, cos = √2/2, tan = –1

• 330° (11π/6) → sin = –1/2, cos = √3/2, tan = –1/√3

• 360° (2π) → sin = 0, cos = 1, tan = 0

cos’è una derivata e il rapporto incrementale?

Il rapporto incrementale misura la variazione media di una funzione f(x)f(x) tra due punti:

Δy/Δx=f(x+Δx)−f(x)/Δx

dove Δx è l’incremento(R) di x e Δy=(x+Δx)−f(x)/Δx

La derivata misura la variazione istantanea della funzione in un punto, cioè il limite del rapporto incrementale quando Δx→0. Interpreta la pendenza della tangente al grafico in quel punto.

nel passaggio tra massimo e minimo della funzione f(x) il coefficiente angolare è 0

che cos’è un integrale e a cosa serve nella fisica?

Un integrale è un’operazione che permette di sommare le quantità infinitesimali per ottenere un valore totale.

l’integrale rappresenta la quantità totale di una variazione su un determinato valore.

l’integrale in fisica serve a calcolare grandezze totali quando le quantità da cui dipendono variano nel tempo e nello spazio. descrive l’effetto complessivo di fenomeni fisici

qual è la differenza tra integrali definiti, indefiniti, multipli?

• Integrale indefinito → è la funzione che, se derivata, restituisce quella di partenza. Non dà un numero, ma un insieme di funzioni (primitive).

• Integrale definito → è un calcolo che fornisce un numero, e rappresenta l’area (con segno) sotto la curva della funzione tra due estremi.

• Integrali multipli → sono integrali definiti estesi a più variabili: servono per calcolare aree in 2D, volumi in 3D o quantità in spazi a più dimensioni.

che cos’è una primitiva?

Una primitiva di una funzione f(x) è un’altra funzione F(x) tale che la sua derivata sia proprio f(x).