Központi határeloszlás, Z-értékek, konfidencia-intervallum; 1. és 2. fajú hiba, effect size, statisztikai erő

Reprezentativitás

A minta, amely jól tükrözi a vizsgált populációt a vizsgálat szempontjából releváns jellemzők mentén.

Miért fontos hogy a reprezentativitás teljesüljön?

Mert a mintából levont következtetések általánosíthatók lesznek a populációra

Nagy elemszám

Önmagában nem garantálja a reprezentativitást, de csökkenti a véletlen hibát.

Random mintavétel

A populáció minden tagjának egyforma esélye van a mintába való bekerülésre.
A gyakorlatban ritkán biztosítható.

Mintavételi torzítás

Olyan hiba, amely akkor fordul elő, ha a minta nem reprezentatív.

Populáció arányos reprezentálása

A cél, hogy a vizsgálat szempontjából fontos változók mentén a populációt arányosan reprezentáljuk.

Központi Határeloszlás Tétel

Kellően sok, kellően nagy elemszámú, egymástól független, meghatározható átlaggal és szórással rendelkező minta számtani átlaga normál eloszláshoz fog közelíteni, függetlenül a változó eredeti eloszlásától (a populációban).

Standard hiba (SE - standard error)

A populációból vett minták átlagainak szórása, ami a hipotetikus mintaátlag eloszlásának szórása.

Konfidencia-intervallum = intervallumbecslés!

Egy olyan intervallum a mintánk átlaga körül, amelyet úgy számítunk,
hogy ha sok mintát vennénk a populációból, az így képzett intervallumok
kb. 95%-a tartalmazná a valódi populációátlagot

Elsőfajú hiba (False positive)

Itt a valóságban nincs különbség a 2 populáció között (pl. nők-férfiak IQ), de a mintánk azt mutatja, hogy van.

Másodfajú hiba (false negative)

Itt a valóságban van különbség a 2 populáció között (pl. nők-férfiak magassága), de a mintánk azt mutatja, hogy nincs.

Hatásnagyság (effect size)

Standard mérőszám, ami a megfigyelt hatás nagyságáról/ fontosságáról árulkodik

Statisztikai erő

Arra való képesség, hogy ha egy populációban van hatás, azt észleljük.

Képesek leszünk elutasítani a nullhipotézist hogyha az nem igaz. 

A másodfajú hiba (van hatás, de mi nem vesszük észre) ellentéte. 

p-érték

A valószínűség, hogy a minta eredménye a véletlen műve, ha a nullhipotézis igaz.

Z-érték

Egy skálázatlan (standardizált) mérőszám, ami azt fejezi ki, hogy a nyers pontszámunk (pl. valamilyen magasság érték) hány szórásnyira van az átlagtól (vagyis, hogy mennyire tér el az átlagtól)

Standardizálás

A nyers adatok átalakítása, hogy könnyen összehasonlíthatóak legyenek más adatokkal.

Kétvégű teszt

Nem tudjuk előre, hogy milyen irányú hatást várjunk, érdekel minket mind a két lehetőség:

      pl. A férfiak és nők között különbség van abban, hogy mennyire szeretik a csokit = two-tailed test

 => Nem 5% -kal teszteljük mind a két oldalt, hanem megosztjuk 2,5 – 2,5% -ra = ez így szigorúbb teszt

Egyvégű teszt

Olyan hipotézistesztelés, ahol konkrét feltételezésünk van a hatás irányáról:

     pl. A férfiak magasabbak, mint a nők = one-tailed test

=> Az 5% -nak megfelelő szignifikancia-szintet az eloszlásgörbe egyik oldalán helyezzük el = ez így megengedőbb teszt

Mi segíti a reprezentativitás megvalósulását?

-Nagy elemszám: csökkenti a véletlen hibát 

-random mintavétel: gyakorlatban ritkán biztosítható

-törekvés a mintavételi torzítás elkerülésére

-törekedni kell a populáció arányos reprezentálására a vizsgálat szempontjából fontos változók mentén.

-Végül át kell gondolni, hogy valójában mely populáció az, amire következtetni tudunk a minta alapján

A mintánk értékeinek gyakoriságeloszlása DISZKRÉT VÁLTOZÓK

kördiagram, oszlopdiagram => a skála diszkrét értékeinek a gyakorisága

A mintánk értékeinek gyakoriságeloszlása FOLYTONOS VÁLTOZÓK

hisztogram => a skála egyforma széles intervallumokra van bontva, egy intervallumon belül eső értékek gyakorisága

A mintánk értékeinek gyakoriságeloszlása

• Unimodális eloszlás, szimmetrikus az átlag körül

• Haranggörbe alakú: az átlagnak (és az átlaghoz közeli értékeknek) van a legnagyobb előfordulási valószínűsége, és ahogy közeledünk a szélsőségek felé, úgy csökken az adott értékek előfordulási valószínűsége

Standard normál eloszlás

Ha valamely jelenséget/tulajdonságot sok, egymástól független
tényező együttesen alakít ki, akkor ez az érték várhatóan
normál eloszlást fog követni (pl. egyének magassága,
vérnyomás, teszten elért eredmény, egy reptéri nap forgalma, stb)

=> Közepes összeget nagyon sokféle kombinációval el lehet érni

=> Igazán alacsony/ igazán magas összeget csak úgy lehet elérni, ha a legtöbb ezt kialakító érték alacsonyan/magasan helyezkedik el (ami nagyon ritkán fordul elő)

=> A világ rengeteg dolga több tényező eredményeként jön létre, ezért fognak ezek normál eloszláshoz közelíteni

Miért kulcsfontosságú a központi határeloszlás tétel a gyakorlatban?

A KHT miatt nem kell a populációnak normálisnak lennie, mert elég nagy minta esetén a mintaátlagok eloszlása közel normális lesz. 

=> Ennek köszönhetően a normál eloszlásra épülő statisztikai próbák akkor is használhatók, ha a vizsgált változó eredetileg nem követ normál eloszlást – feltéve, hogy a minta elég nagy.

Populációeloszlás és KHT kapcsolata

-Ha a populáció eloszlása már eleve közel normális, akkor kis mintával is jól működik a KHT.

-Ha az eredeti eloszlás ferde vagy szélsőséges (outlierekkel teli), akkor sokkal nagyobb mintára lehet szükség ahhoz, hogy az átlagok eloszlása megközelítse a normál eloszlást.

Z-érték példák

Z = 0: az a pont, amely az átlagtól 0 szórásnyira helyezkedik el = átlag

Z = -1: az a pont, amely az átlagtól 1 szórásnyira helyezkedik el negatív irányba

Z = -2: az a pont, amely az átlagtól 2 szórásnyira helyezkedik el negatív irányba

Miért kell nekünk a z-érték? 

1)Ezek alapján tudunk valószínűségeket rendelni a tartományokhoz.

2)Így meg tudjuk nézni, hogy melyek a szélsőséges értékek (+-2 szóráson kívül), és ki tudjuk zárni ezeket, hogy ne torzítsák a mutatóinkat.

3) Így az értékeink akkor is összehasonlíthatóak lesznek, ha két eltérő mintából származnak.

Z-érték kiszámítás

Z = (X-X ̅)/S

Pontbecslés

A mintának az átlagát arra használjuk, hogy ezzel egyfajta becslését adjuk annak, ami a populációra jellemző

=> ésszerű, mert: a mintánk valamennyire hasonlítani fog a populációra

DE azért a minták nem miniatűr tükörképei a populációnak (akár jelentősen el is térhetnek tőle)

Mi a kis elemszámú minta rizikója?

az atipikus emberek jelentősen eltorzíthatják a minta átlagát (vagy egyszerűen a minta összetétele más lesz, mint a populációé, és amiatt lesz torz az átlag).

Miért jobb a nagyobb elemszámú minta?

-Az atipikus emberek is kisebb súllyal számítanak bele az összesítésbe, így nem tudják annyira eltorzítani az átlagot.

-Nagy elemszám esetében kisebb a valószínűsége annak, hogy a minta összetétele jelentősen eltér a populációétól.

Standard hiba elmélet

Jó lenne tudni, hogy az olyan minták, mint amilyen a miénk is (elemszám és szórás ismeretében), átlagosan mennyire trafálnak mellé, amikor a populációátlagot becslik. à Ha ismerjük a mintaátlagok átlagának pontosságát, akkor ezzel megtudunk valamit arról,
hogy mennyire valószínű, hogy egy minta jól reprezentálja a populációt.

-Tulajdonképpen ez lenne a populációból vett minták átlagainak
 a szórása  ~ átlagos mellétrafálás (mekkora variabilitás volt a mintaátlagokban)

-És ez megbecsülhető egyetlen minta alapján is.

Mitől függ a standard hiba értéke?

-Elemszám: minél nagyobb az elemszám,
annál kisebb a standard hiba

-Szórás: minél nagyobb a szórás,
annál nagyobb a standard hiba

Intervallumbecslés

Így nem csak egy pontot adunk, hanem a becslés bizonytalanságát is kommunikáljuk.

1. Vegyünk rengeteg mintát a populációból, számoljuk ki mindegyiknek a mintaátlagát.

2. Ezek a mintaátlagok normál eloszlást fognak követni a KHT-nek köszönhetően.

3. Határozzunk meg két olyan határértéket, amikben a mintaátlagok 95% -a belesik.

=>„100-ből 95 minta esetében az átlagra rámért intervallum
        tartalmazza a populációátlagot”
          – 5%-nyi tévedés marad!

Intervallumbecslés számítás

CI = SE * 1,96

Mit mutat meg a standard hiba? 

=> Azt mutatja meg, hogy ha sok-sok olyan kaliberű mintánk lenne, mint amilyen a miénk, azok átlagosan mennyit tévednének, amikor a populáció átlagát igyekeznek megbecsülni.

=> Mennyire bizonytalan az általunk mért minta átlaga

Elsőfajú hiba elmélet

= A populációban nincs jelen hatás, nekem mégis sikerült olyan mintát választanom, amiből úgy tűnik, hogy van hatás.

= Elvetjük a nullhipotézist, pedig az valójában igaz.

Egy jó vizsgálatban az elsőfajú hiba maximuma: 5% (Fisher)

=> A tévedés maximálisan elfogadható valószínűségét a szignifikancia
szinttel határozzuk meg.

Másodfajú hiba elmélet

= A populációban jelen van a hatás, de sikerült olyan szerencsétlenül mintát választanunk, hogy ezt nem tudtuk kimutatni.

= A nullhipotézist megtartjuk, pedig az nem igaz.

A másodfajú hiba valószínűségét 20% -ra (Cohen) állították be

=> Az a jó vizsgálat, amiben maximum 20% esély van arra, hogy
egy populációban létező hatást mégsem leszünk képesek kimutatni.

=> Ez nem automatikusan 20%, hanem a vizsgálat tervezésétől és a mintanagyságtól függ.

Miért van eltérő szintű megengedés a 2 hibában?

Miért van eltérő szintű megengedés a 2 hibában?

=> A tudomány fejlődése szempontjából más hatása van egy elsőfajú hibának, mint a másodfajúnak.

=> Negatív, nem lineáris kapcsolat az elsőfajú és másodfajú hiba között:

-ha egyiket szigorítjuk, akkor a másiknál automatikusan engedünk

-   nem ugyanannyival változik az egyik hiba valószínűsége, amennyivel a másikat módosítjuk

szignifikanciatesztelés

mekkora a valószínűsége annak, hogy az eredmény (statisztikai érték), amit kaptunk, az a véletlen műve?

~ Mekkora annak a valószínűsége (az adataink fényében), hogy ha a populációban valójában nincs jelen hatás (a nullhipotézis az igaz), mi mégis látunk bizonyos mértékű hatást a mintánkban?

=> p-érték (probability) / szignifikancia érték

Szignifikancia érték (p) 

Ha a nullhipotézis igaz, akkor mekkora az esélye annak, hogy a minta legalább ilyen (vagy ennél extrémebb) eredményt produkál (pusztán a véletlennek köszönhetően)

Mennyire valószínű, hogy ez a minta (amiben különbség van) egy ilyen populációból (amiben nincs különbség) származik?

=> HA nagyon alacsony => akkor valószínűbbnek tekintjük azt, hogy nem ilyen populációból származik a minta.

Elvetjük a nullhipotézist és elfogadjuk hogy tényleg van különbség.

Szignifikanciával kapcsolatosan fontos

=> Ha látunk egy szignifikáns hatást (p < 0,05): nagy valószínűséggel tényleg ott a hatás, de akkor is marad valamekkora (<= 5%) esély arra, hogy csak mi választottunk pechesen mintát, és valójában nincs jelen semmiféle hatás, vagyis elsőfajú hibát követünk el.

=> Ha nem látunk szignifikáns hatást (p > 0,05): előfordulhat, hogy tényleg nincs jelen hatás, de az is lehetséges, hogy valójában van hatás, csak nem sikerült kimutatnunk, vagyis másodfajú hibát követünk el.

Effect size 2 nagy csoportja

1. csoportok közti különbségek (d-család) 

2. kapcsolat mértéke (r-család) 

Hatásnagyság r-családja

r = Pearson-féle korrelációs együttható: -1 és 1 között helyezkedik el, az előjele nem lényeges

-r < .10 => elhanyagolható

-.10 - .30 => gyenge hatás

-.30 – .50 => közepes hatás

-.50 < r => nagy hatás

Hatásnagyság d-családja

d = Cohen-féle d érték: +- végtelen között helyezkedik el

-r < .20 => elhanyagolható

-.20 => gyenge hatás

-.50 => közepes hatás

-.80 => nagy hatás

Milyen százalékot számítunk a statisztikai erőnél?

80%-ot 

Ha a populációban egy hatás jelen van, azt 80%-os valószínűséggel képesek leszünk kimutatni (~ 80% az esélye, hogy nem követjük el a másodfajú hibát). 

Mi befolyásolja a statisztikai erőt?

• Hatásnagyság (effect size)

  • Zaj

• Elemszám

• Szignifikancia szint

Hogyan befolyásolja a hatásnagyság a statisztikai erőt?

Hatásnagyság: minél nagyobb a hatás, annál könnyebb lesz kimutatni, annál kisebb lesz a másodfajú hiba valószínűsége, és annál nagyobb lesz a statisztikai erő

      - Zaj nagysága: minél zajosabb a vizsgálat, annál nehezebb kimutatni a hatásokat, annál nagyobb lesz a másodfajú hiba valószínűsége, és annál kisebb lesz a statisztikai erő

       => Jól megválasztott kísérleti elrendezésekkel és jól specifikált populációkkal a zaj mértékét lehet   csökkenteni

Hogyan befolyásolja az elemszám a statisztikai erőt?

minél több fővel vesszük fel a kísérletet, annál valószínűbben lesz szignifikáns bármely hipotézistesztelő próba eredménye

       => Ha elég nagy az elemszám, akkor akár egy gyenge hatás is könnyen kimutatható

       => Minél nagyobb az elemszám, annál kisebb hatás is szignifikáns lesz

Hogyan befolyásolja a szignifikancia-szint a statisztikai erőt?

(elsőfajú hiba valószínűsége): ha ezzel megengedőbbek vagyunk (pl. 5% helyett 10%), akkor egyrészt nő a statisztikai erő, másrészt nő az elsőfajúhiba valószínűsége is

Erőelemzések 2 nagy típusa:

• post hoc

• a priori

A priori erőelemzés

még a kutatás tervezési szakaszában próbálunk egy intelligens tippet találni arra vonatkozóan, hogy mégis hány fővel lenne érdemes felvenni a kísérletet, hogy elég nagy legyen az erőnk

Post hoc erőelemzés

utólag megnézzük, hogy mennyi erőnk volt adott elemszám és adott hatásnagyság esetén (vagyis mekkora esélyünk volt rá egyáltalán, hogy a hatásunk szignifikánsnak mutatkozzon)