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Voici une fiche de révision complète et rédigée, prête à être copiée ou imprimée 📝 : 📌 Fiche de Cours : Le Raisonnement par Récurrence 1. Principe Général 🪜 Le raisonnement par récurrence permet de démontrer qu'une propriété P(n) est vraie pour tout entier n \ge n_0. Il repose sur trois étapes indissociables. 2. La Structure en 3 Étapes 📝 🎬 Étape 1 : Initialisation On vérifie que la propriété est vraie au premier rang n_0. > Rédaction type : > « Pour n = n_0 : [calcul du membre de gauche] et [calcul du membre de droite]. > On constate l'égalité (ou l'inégalité), donc la propriété P(n_0) est vraie. » > 🔄 Étape 2 : Hérédité On montre que si la propriété est vraie à un rang n quelconque (n \ge n_0), elle reste vraie au rang suivant n+1. > Rédaction type : > « Supposons que pour un entier n \ge n_0 fixé, la propriété P(n) soit vraie (Hypothèse de récurrence). > Montrons que P(n+1) est vraie. » > (On effectue le calcul ou la construction pour arriver à la formule au rang n+1) > « La propriété est donc héréditaire. » > 🏁 Étape 3 : Conclusion On conclut en rassemblant les deux étapes précédentes. > Rédaction type : > « La propriété est vraie au rang n_0 et elle est héréditaire. > Par le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout entier n \ge n_0. » > 3. Techniques Classiques d'Hérédité 🛠️ * Pour les sommes (\sum) : Isolement du dernier terme : On remplace la première partie par l'hypothèse de récurrence, puis on réduit au même dénominateur et on factorise. * Pour les suites (u_{n+1} = f(u_n)) : On part de l'encadrement a \le u_n \le b, puis on applique les opérations de la fonction f étape par étape pour obtenir l'encadrement de u_{n+1}. * Pour les puissances (a^n) : Utilisation des propriétés des exposants : Attention à bien distribuer le facteur sur tous les termes d'une expression. Veux-tu qu'on vérifie ensemble comment appliquer cette fiche sur un exemple précis, ou tu préfères refaire un exercice de pratique ? 🎯

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