Maths

negazione

¬

equivalenza

<=>

disgiunzione

V

congiunzione

A

implicazione

=>

simboli: per ogni, appartiene/non appartiene, tale che, esiste

V-, e, I, =I

SOTTOINSIEME B contenuto in A?

se ogni elemento di b è anche elemento di a

SOTTOINSIEME PROPRIO?

se esiste almeno un elemento di A che non appartiene a B

SOTTOINSIEME BANALE?

un insieme possiede al suo interno come sottoinsiemi se stesso e l’insieme vuoto

SOTTOINSIEME COMPLEMENTARE

tutti gli elementi che non fanno parte di B ma fanno parte di A. Tutti gli elementi che non sono/fanno parte di B.

operazioni: unione, intersezione, differenza

U (elementi di entrambi), U al contrario (appartengono sia ad A sia a B), differenza (elementi di A che non appartengono a B)

2 principi di frege

estensionabilità (2 insiemi hanno stessi elementi sonon=), comprensione (1 proprietà esplica un insieme, un insieme è esplicato da 1 proprietà)

intorno

zona piccola attorno a un punto che lo contiene

punti interni

almeno un intorno completo del punto è contenuto all’interno dell’insieme

punti esterni

almeno un intorno completo del punto è contenuto tutto nel complementare dell’insieme, cioè non ha intersezioni con l’insieme

punti di frontiera

ogni intorno del punto ha una parte contenuta all’interno (dentro insieme) e una parte all’esterno (dentro complementare)

punti di accumulazione

ogni intorno di un punto contiene al suo intorno un altro punto che non sia quello scelto (intorno di x0 contiene punto x)

insieme aperto

anche spostandoci sufficientemente poco in ogni direzione a partire da ogni punto dell’insieme non si esce mai dall’insieme stesso. Tutti i punti sono interni. () estremi esclusi.

insieme chiuso

tutti i punti di accumulazione appartengono all’insieme. [] estremi inclusi.

R che estremi/apertura ha?

sia aperto che chiuso

per l’insieme Q come sono tutti i numeri reali?

di frontiera.

numeri: N, Z, Q, R, C

naturali, interi positivi ammettono solo addizioni, Z interi positivi e negativi ammettono addizione, sottrazione e moltiplicazione, Q razionali, ottenibili con frazione, quindi decimali, anche con periodo, ammettono tutte le operazioni. R anche senza periodo e numeri irrazionali (come radice di 2). C numeri complessi unione tra numeri reali e numeri immaginabili come -7i (radice di -7).

successione di cauchy

una successione di numeri ad un certo punto va a convergere se gli elementi sono arbitrariamente vicini tra loro

R che proprietà ha?

asse reale ordinato e orientato, ha la potenza del continuo, l’insieme r e le R hanno corrispondenza biunivoca

intorno destro/sinitro

intervallo aperto a destra e sinistra di un punto con raggio epsilon. x0<x<x0+epsilon per destro x0-epsilon<x<x0 per sinistro.

maggiorante/minorante

maggiorante dato l’insieme se M è > o uguale ad a che appartiene ad A si dice maggiorante (il numero al limite o subito maggiore dei valori dell’intervallo). minorante dato l’insieme se m è > o uguale ad a che appartiene ad A si dice minorante (il numero al limite o subito minore dei valori dell’intervallo).

massimo/minimo

se maggiorante e minorante appartengono all’insieme sono massimo e minimo

limitato superiormente/inferiormente/limitato

se l’insieme ha almeno un maggiorante/minorante è limitato sup. o inf., se è entrambi si dice limitato

estremo superiore/estremo inferiore

superiore più piccolo dei maggioranti, inferiore più grande dei minorati, NON c’è bisogno che appartengano all’insieme

prodotto cartesiano

prodotto tra ogni elemento dei due insiemi: A(a,b) B(c,d) AXB= ac, ad, bc, bd.

distanza tra due punti

punto di mezzo segmento

media tra i due estremi

infinite rette che passano per un punto

a(x-x0)+b(y-y0)=0

retta passa per due punti

y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1

equazione della retta/coefficiente angolare/passante per 1 punto+m/parallelismo e perpend.

ax+by+c=0 … m = -a/b o m= y2-y1/x2-x1…. y-y0=m(x-x0)…. parallele se hanno stesso coefficiente angolare, perpend. se m di una per m di altra moltiplicate fanno -1

CIRCONFERENZA equazione/equazione con r e C/r

x²+y²+ax+by+c=0… (x-a)²+(y-b)²=r²… r= radice a²+b²-c

ELISSE cos’è/equazione/asse maggiore, asse minore, distanza focale

luogo geometrico dove la somma della distanza tra due fuochi è costante… x²/a²+y²/b²=1… 2a, 2b, 2c

PARABOLA

luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto f fuoco e da una retta d direttrice

IPERBOLE cos’è/equazione/asse traverso, non traverso, distanza focale

luogo del piano dove la differenza in valore assoluto della distanza tra due fuochi f è costante… x²/a²-y²/b²=1… 2a, 2b,2c

quando una funzione è univoca? biunivoca?

univoca quando ad ogni valore di x corrisponde un solo valore di y, se è anche il reciproco è biunivoca

funzione pari e dispari

pari f(x)=f(-x)… dispari f(-x)=-f(x)

funzione iniettiva

se per x1 e x2 appartenenti a X sono uguali e f(x1)=f(x2) se a punti distinti di x corrispondono punti distinti di y

monotona crescente e decrescente

monotona crescente quando con x1 e x2 appartenenti ad X x2 è > o uguale a x1, se x1> o uguale è monotona decrescente

estremanti della funzione, massimo relativo, relativo proprio e assoluto e minimo

se si prende un intorno di x* al cui interno c’è un altro punto x che è f(x)< o uguale di f(x*) allora x* è massimo relativo (relativo all’intorno), se è solo < è massimo relativo proprio, se le condizioni ci sono per ogni x e non solo nell’intorno è massimo assoluto. uguale al contrario per il minimo.

funzione numero neperiano

esiste sempre quando l’esponente è possibile, è sempre positiva crescente, semiasse negativo x è asintoto orizzontale

LIMITI DEI LOGARITMI … → 0+… infinito… 1…

per → 0+ = - infinito… → infinito = infinito … → 1 = 0

LIMITE FUNZIONE ESPONENZIALE CON e

limite di x che tende a - infinito di e^x è 0+

LIMITI, cosa sono, quanti possibili risultati

a cosa tende la variabile dipendente y quando la variabile x tende ad un punto di accumulazione, all’infinito, al meno infinito?… 4 tipi di limite: x tende a valore finito e di ottiene valore finito, x tende a valore finito e ottiene valore infinito, x tende a valore infinito e ottiene valore finito, x tende a valore infinito e ottiene valore infinito.

infinito e infinitesimo

per limite di x che tende a x0 il limite è infinito si dice infinito, se è 0 si dice infinitesimo

limite destro e sinistro

qualunque sia epsilon > 0 esiste un delta >0 dipendente da epsilon tale che ogni x è compreso tra x'0 e x0+epsilon allora f(x) dista da l meno di epsilon. sinistro con x'0-delta e x0. se destro e sinistro corrispondono la funzione ammette limite x→x0.

limite per eccesso e difetto

eccesso da sopra (valore del limite con + di sopra) difetto da sotto (valore del l con - sopra)

somma tra limiti?

due valori finiti si sommano (l+m), finito e infinito = infinito.

prodotto tra limiti?

prodotto tra finiti (l x m), finito e 0 = 0, finito e infinito = infinito.

quoziente tra limiti?

finiti si fa divisione, finito e 0 = infinito, finito e infinito = 0, alcuni casi particolari.

metodo per trovare limite

1. si sostituisce il valore di x che tende nella f(x), 2. se necessario applicare criterio di confronto, 3. se c’è infinito o infinitesimo si segue tabella per risultato.

tipi di funzioni algebriche

intere, razionali fratte, irrazionali, trascendenti (esponenziali e logaritmiche (e goniometriche)).

come si trova limite di una funzione razionale intera?

si sostituisce x, se ci sono due infiniti ci deve essere accordanza di segno

come si trova il limite di una razionale fratta?

se grado N>D = infinito, se N<D = 0, se sono stesso grado quoziente tra i valori

FORMA INDETERMINATA infinito/infinito

SEMPLIFICO VALORE X… SOSTITUISCO X CON VALORE CHE TENDE LIMITE… ACCORDANZA SEGNI

FORMA INDETERMINATA 0/0

FATTORIZZAZIONE N E D COME EQUAZIONE SECONDO GRADO… SOSTITUISCO X CON VALORE CHE TENDE.

come si trova il limite di una funzione irrazionale?

1. SE UN SOLO RADICALE LIMITE IN BASE ALLA POTENZA MAGGIORE.

2. SE 2 RADICALI SE NE CALCOLA 1 IN BASE ALLA POTENZA MAGGIORE

3. RADICALI UGUALI O SENZA RADICE SI FA RAZZIONALIZZAZIONE CON PRODOTTO NOTEVOLE

ordine tra esponenziale, potenza e logaritmo

1 ESPONENZIALE, 2 POTENZA, 3 LOGARITMO

come si risolve funzione trascendente?

SI CALCOLANO SOLO I VALORI DI GRADI PREPONDERANTI, NON IMPORTA QUANTO SONO LUNGHI IL NUMER. E IL DENOM.

quando una funzione è continua?

quando è continua in qualsiasi punto del suo dominio

continuità a destra o sinistra

funzione si dice continua a destra quando il limite di x che tende verso un punto a+ appartenente ad intervallo [a,b] equivale al valore f(x) (ossia il valore y) del punto a. cioè se il limite di x che tende ad a = 3 è uguale a 7 (ossia per esempio 7 è il valore della y in x=3). stessa cosa da sinistra con b-.

continuità in un punto (formula + condizioni)

funzione si dice continua in un punto se il limite di x che tende ad x0 della funzione è f(x0) ossia il valore corrispondente sull’asse delle y di x0. con x0 che fa parte del dominio. ANCHE 2 condizioni: esistono limite destro e sinistro e corrispondono (valore finito).

3 specie di discontinuità

1. ESISTONO LIMITI DESTRO E SINISTRO MA NON COINCIDONO (SALTO)

2. O UNO DEI DUE LIMITI NON ESISTE O è INFINITO (SI CREANO ASINTOTI)

3. LIMITE ESISTE FINITO MA NON APPARTIENE AL DOMINIO.

3 teoremi

UNICITà LIMITE: per un punto x'0 non possono esserci 2 limiti… PERMANENZA SEGNO: se limite di x → x0 è diverso da 0 allora in un intorno di x0 la funzione ha lo stesso segno del limite… CARABINIERI: se f(x) viene stretta sempre di più da due altre funzioni h(x) e g(x) e il limite di x → x0 di h(x) = g(x) allora è anche = al limite di x → x0 di f(x).

altri 3 teoremi

WEIERSTRASS, se funzione è continua in un intervallo X chiuso e limitato quell’intervallo ammette massimo e minimo… DARBOUX (O VALORI INTERMEDI) nelle funzioni continue e reali l’immagine di un intervallo contiene tutti i valori compresi tra il massimo e il minimo dell’intervallo, la funzione non può passare da un valore ad un altro senza assumere almeno una volta tutti i valori intermedi… BOLZANO (O ZERI) se la funzione continua in [a,b] assume valori positivi e negativi dentro dell’intervallo ci sarà almeno un punto in esso in cui la funzione si azzera nel y=0.

LIMITI NOTEVOLI

funzioni esponenziali e funzioni algebriche (7).

asintoto verticale / orizzontale / obliquo

VERTICALE limite di x che tende a numero finito è infinito… ORIZZONTALE limite di x che tende a infinito è finito… OBLIQUO limite di x che tende a infinito è infinito, si vede calcolando il limite, poi calcolando il coefficiente angolare moltiplicando f(x) per 1/x e se è un numero finito, si fa f(x)-x per trovare ordinata all’origine.