geometrie planaire

Formule des équations paramétriques d'une droite

Pour une droite passant par A(xA, yA, zA) et de vecteur directeur \vec{u}(a, b, c) : \begin{cases} x = xA + at \ y = yA + bt \ z = zA + ct \end{cases} avec t \in \mathbb{R}.

Comment démontrer l'alignement de trois points A, B et C ?

Il faut vérifier que les vecteurs \vec{AB} et \vec{AC} sont colinéaires, c'est-à-dire que leurs coordonnées sont proportionnelles :
\frac{x{AB}}{x{AC}} = \frac{y{AB}}{y{AC}} = \frac{z{AB}}{z{AC}}

Équation cartésienne d'un plan et son vecteur normal

L'équation est de la forme ax + by + cz + d = 0.
Le vecteur normal au plan est \vec{n}(a, b, c).

Méthode pour trouver l'équation d'un plan à partir de 3 points A, B, C

1. Calculer les vecteurs \vec{AB} et \vec{AC}.
2. Déterminer le vecteur normal \vec{n} par produit vectoriel : \vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{AC}.
3. Utiliser la formule a(x-xA) + b(y-yA) + c(z-z_A) = 0.

Comment vérifier si quatre points A, B, C et D sont coplanaires ?

1. Déterminer l'équation cartésienne du plan formé par A, B et C.
2. Remplacer les coordonnées de D dans cette équation.
3. Si le résultat est 0, alors D appartient au plan et les points sont coplanaires.

Comment vérifier si un point appartient à un plan ?

On remplace les coordonnées du point (x, y, z) dans l'équation cartésienne ax + by + cz + d = 0. L'appartenance est validée si l'égalité est vérifiée (= 0).

Formule de la distance d'un point P à un plan

d(P, \text{Plan}) = \frac{|axP + byP + cz_P + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

Étapes pour déterminer la position relative de deux droites

1. Vérifier si les vecteurs directeurs sont colinéaires :
   • Si oui : les droites sont parallèles ou confondues.
   • Si non : les droites sont soit sécantes, soit gauches.
2. Résoudre le système d'équations paramétriques pour chercher un point d'intersection.

Méthode pour trouver les coordonnées du projeté orthogonal H d'un point P sur un plan

1. Définir la droite passant par P et de vecteur directeur \vec{n} (vecteur normal au plan).
2. Chercher l'intersection entre cette droite et le plan en injectant les équations paramétriques de la droite dans l'équation du plan.

Distance d'un point P à une droite d

d(P, d) = PH, où H est le projeté orthogonal du point P sur la droite d.