M4: Probability Trees and Conditional Expectations

Random variable (biến ngẫu nhiên)

Là một giá trị có thể thay đổi trong tương lai và chưa chắc chắn

VD: lợi nhuận của cổ phiếu A trong năm tới

Outcome (kết quả)

Là một giá trị cụ thể mà biến ngẫu nhiên có thể nhận

VD: cổ phiếu A tăng 10% (đó là 1 outcome)

Event (biến cố)

Là một outcome hoặc một tập hợp các outcome

VD: "cổ phiếu A tăng giá" là một event, có thể bao gồm nhiều outcome khác nhau (tăng 5%, 10%, 15%...)

Definition Probability (xác suất)

Là khả năng xảy ra của một event

VD: xác suất của cổ phiếu A tăng giá trong năm tới là 60%

Features Probability

• Giới hạn xác suất

Mọi biến cố E đều có xác suất nằm trong khoảng: 0 <= P(E) <= 1

- Nếu P(E) = 0 -> không thể xảy ra

- Nếu P(E) = 1 -> chắc chắn xảy ra

• Tổng xác suất = 1

Nếu ta xét một tập biến cố đầy đủ (mutually exclusive & exhaustive), thì: ∑P(Ei) = 1

→ Nghĩa là một trong số các biến cố chắc chắn xảy ra

Events include

Mutually exclusive events (biến cố xung khắc)

Exhaustive events (hệ biến cố đầy đủ)

Mutually exclusive events (biến cố xung khắc)

• Hai biến cố không thể xảy ra đồng thời

• P(A∩B) = 0

VD: tung một đồng xu -> biến cố "ra mặt ngửa" và "ra mặt sấp" là mutually exclusive

Exhaustive events (hệ biến cố đầy đủ)

• Tập biến cố bao gồm tất cả mọi khả năng có thể xảy ra

• P(A∪B∪)=1

VD: tung một đồng xu -> tập biến cố {ngửa, sấp} là exhaustive, vì chắc chắn 1 trong 2 xảy ra

Types of probability

Subjective probability (Xác suất chủ quan)

Objective probabiltity (xác suất khách quan)

Subjective probability (Xác suất chủ quan)

Dựa vào ý kiến cá nhân, trực giác, niềm tin

VD: tôi tin có 70% khả năng cty A sẽ vượt thị trường năm nay

Objective probabiltity (xác suất khách quan)

• Empirical probability (xác suất thực nghiệm)

Tính từ dữ liệu quá khứ/ quan sát thực tế

VD: dựa vào dữ liệu 100 ngày trước, cổ phiếu A giảm giá trong 40 ngày -> xác suất giảm giá ngày mai khoảng 40%

• Priori probability (xác suất tiên nghiệm)

Tính bằng lý luận logic và đếm các khả năng, không cần dữ liệu

VD: xác suất tung đồng xu ra ngửa = 1/2

Odd

Là tỷ lệ giữa xác suất xảy ra 1 sự kiện so với xác suất không xảy ra sự kiện đó

• Odds for (tỷ lệ ủng hộ biến cố xảy ra)

• Odds against (tỷ lệ chống lại biến cố xảy ra)

VD: tung 1 con xúc xắc, xác suất ra số 4 là: P(E) = 1/6

Odds for ra số 4: 1/6 / 5/6 = 1/5

Odds against ra số 4: 5/6 / 1/6 = 5/1

Odds for (tỷ lệ ủng hộ biến cố xảy ra)

• Odds for E = P(E) / (1-P(E))

Nghĩa là so sánh giữa khả năng E xảy ra với khả năng E không xảy ra

• Nếu odds for = a/b thì:

P(E occur) = a / (a+b)

Odds against (tỷ lệ chống lại biến cố xảy ra)

• Odds against E = (1-P(E)) / P(E)

Nghĩa là so sánh giữa khả năng E không xảy ra với khả năng E xảy ra

• Nếu odds against = b/a thì:

P(E not occur) = b / (b+a

Unconditional probability (xác suất vô điều kiện)

• Là xác suất của một biến cố tự thân nó, không phụ thuộc vào biến cố khác

• Ký hiệu: P(B)

• Còn gọi là xác suất biên (marginal probability)

- Là xác suất của một biến cố độc lập, được tỉnh bằng tổng các joint probability liên quan đến nó

- Nó là "biên" vì luôn nằm ở mép của bảng xác suất

VD: xác suất hnay trời mưa = 30% -> P(mưa)=0.3

Condidtional probability (xác suất có điều kiện)

• Là xác suất của biến cố A xảy ra với điều kiện B đã xảy ra

• Ký hiệu: P(A I B)

• P(A I B) = P(A∩B) / P(B)

- P(A∩B): xác suất A và B xảy ra đồng thời (joint probability)

- P(B): xác suất B xảy ra

VD: P(mưa) = 0.3; P(kẹt xe) = 0.2; P(mưa∩kẹt xe) = 0.1

P(kẹt xeImưa) = 0.1/0.3 = 0.333

-> nghĩa là nếu trời mưa, xác suất bị kẹt xe là 33.33%

Independent events (sự kiện độc lập)

• Việc xảy ra của một sự kiện không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của sự kiện kia

• P(A I B) = P(A)

• P(B I A) = P(B)

=> P(A∩B) = P(A) x P(B)

VD: tung 2 con xúc xắc:

A: "xúc xắc 1 ra số chẵn" -> P(A) = 3/6

B: "xúc xắc 2 ra số 4" -> P(B) = 1/6

Vì xúc xắc khác nhau -> độc lập P(A∩B) = P(A) x P(B) = 3/6 x 1/6 = 1/1

Dependent events (sự kiện phụ thuộc)

• Việc xảy ra của một sự kiện ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của sự kiện kia

• P(A I B) # P(A)

• P(B I A) # P(B)

=> P(A∩B) = P(A I B) x P(B) P(A∩B) = P(B I A) x P(A)

VD: rút bài từ một bộ 52 lá (không hoàn lại): A: "rút lá đầu tiên là át cơ" -> P(A) = 1/52

B: "rút lá thứ hai là át rô" -> P(B) = 1/51 (vì đã mất 1 lá)

-> đây là phụ thuộc: P(A∩B) = P(A) x P(B I A) = 1/52 x 1/51

Probability rules

Addition rule (quy tắc cộng)

Multiplication rule (quy tắc nhân)

Total probability rule

Addition rule (quy tắc cộng)

• Nếu A và B loại trừ nhau (mutually exclusive)

P(A∪B) = P(A) + P(B)

• Nếu A và B không loại trừ nhau

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

Multiplication rule (quy tắc nhân)

• Sự kiện độc lập

  • P(A∩B) = P(A) x P(B)

• Sự kiện phụ thuộc

  • P(A∩B) = P(A I B) x P(B)

Total probability rule

Dùng để tính xác suất unconditional probability của một sự kiện A, khi biết xác suất có điều kiện conditional probability của A trong các kịch bản khác nhau

VD: một cty có 2 nhà máy (B1 và B2) sản xuất hàng: 60% sp từ B1, 40% từ B2. Tỷ lệ lỗi ở B1 = 2%, ở B2 = 5%

-> tính xác suất bất kỳ sp nào bị lỗi (A)

P(A) = P(A I B1)xP(B1) + P(A I B2)xP(B2)

= 0.02x0.6 + 0.05x0.4 = 0.032

Vậy xác suất 1 sp bị lỗi = 3.2%

TH1 Total probability rule:

Trường hợp 2 kịch bản (B1 và B2)

• P(A) = P(A I B1) x P(B1) + P(A I B2) x P(B2)

- B1 và B2 loại trừ nhau (mutually exclusive)

- B1 và B2 bao trùm toàn bộ không gian mẫu (exhausive)

-> Tức là hoặc B1, hoặc B2 chắc chắn xảy ra -> P(B1) + P(B2) = 1

TH2 Total probability rule:

Trường hợp n kịch bản (B1, B2,..,Bn)

• P(A) = ∑(i=1->n) P(A I Bi) x P(Bi)

- B1, B2,...,Bn: mutually exclusive & exhaustive

- Tổng xác suất của tất cả kịch bản = 1

- ∑(i=1->n) P(Bi) = 1

Definition Expected values

• Là giá trị trung bình có trọng số theo xác suất của tất cả các kết quả có thể xảy ra của biến ngẫu nhiên

• Nó phản ánh "kết quả kỳ vọng" nếu ta lặp lại thí nghiệm (hay đầu tư) vô số lần

Formula Expected values

Với biến ngẫu nhiên rời rạc X có các giá trị x1, x2,..,xn và xác suất tương ứng P(x1), P(x2).. P(xn)

E(X) = ∑(i=1->n) P(Xi)Xi

Ý nghĩa Expected values

Ý nghĩa trong tài chính

• Trong đầu tư: EV được dùng để tính lợi nhuận kỳ vọng của một cổ phiếu, dự án hoặc danh mục

• Nó giúp NĐT ra quyết định dựa trên xác suất và kết quả tiềm năng

Variances 

• Đo mức độ phân tán của các kết quả có thể xảy ra xung quanh giá trị kỳ vọng

Hiểu đơn giản: đo xem các kết quả (lợi nhuận có thể xảy ra) khác biệt bao nhiêu so với mức trung bình (kỳ vọng)

• Là trung bình có trọng số theo xác suất của bình phương độ lệch so với kỳ vọng

• Var(X) = σ^2(X) = ∑(i=1->n)P(Xi) x [Xi - E(X)^2

• Phản ánh mức độ rủi ro gắn với một khoản đầu tư

Standard deviations

Nếu SD nhỏ -> lợi nhuận thực tế dao động ít quanh mức trung bình -> ít rủi ro

Nếu SD lớn -> lợi nhuận thực tế dao động mạnh, có thể cao hơn nhiều hoặc thấp hơn nhiều so với trung bình -> rủi ro cao

• SD(X) = σX = √Var(X)

Probability tree

• Mỗi nhánh (branch) = 1 khả năng xảy ra

• Mỗi nút (node) = điểm rẽ khi có sự kiện xảy ra

• Trên mỗi nhanh mình ghi xác suất

• Xác suất của một kết quả cuối cùng là nhân tất cả xác suất trên đường đi đến kết quả đó

Ý nghĩa: giúp mình không bị sót trường hợp, nhìn rõ cách kết hợp các sự kiện, tính xác suất dễ hơn

The use of conditional expections

Khi có nhiều kịch bản khác nhau (scenarios: S1, S2,...Sn), ta phải tính kỳ vọng của X trong từng kịch bản, rồi cộng theo xác suất xảy ra của mỗi kịch bản

Cái này giống như tính lợi nhuận kỳ vọng khi ra không chắc tương lai sẽ rơi vào kịch bản nào

Formula The use of conditional expections

E(X) = E(X I S1)P(S1) + E(X I S2)P(S2) +...+ E(X I Sn)P(Sn)

• E(X I Si): kỳ vọng của X nếu kịch bản S1 xảy ra P(Si): xác suất kịch bản Si xảy ra

• Các kịch bản S1, S2,..Sn là mutually exclusive (không trùng nhau) và exhaustive (bao hết mọi khả năng)

Ý nghĩa The use of conditional expections

• Đây là cách đưa thông tin mới (tin tức, sự kiện, dự báo vĩ mô) vào trong mô hình dự báo

• Giúp ta có ước lượng thực tế hơn về tương lai, thay vì chỉ nhìn vào 1 con số trung bình

Definition Bayes' formula

• Khi đầu tư, ta luôn có một niềm tin ban đầu (prior probability) về khả năng xảy ra của một sự kiện (vd: cty A sẽ có lợi nhuận tốt)

• Sau đó, ta nhận được thông tin mới (evidence/ new information), vd: BCTC quý

• Bayes' formula cho ta cách cập nhật niềm tin: từ prior -> posterior probability (sát với thực tế hơn)

• Đây chính là cách hợp lý để không bị cố chấp với dự đoán cũ mà biết điều chỉnh xác suất theo thông tin mới

• Là công cụ để học hỏi từ dữ liệu mới, điều chỉnh dự báo và đưa ra quyết định đầu tư hợp lý hơn

General rule Bayes' formula

• P(event I information) = [P(information I event) x P(event)] / P(information)

P(event I information): xác suất cập nhật (posterior)

P(information I event): xác suất thông tin xuất hiện nếu event đúng

P(event): Prior (xác suất ban đầu) P(information): xác suất xảy ra của thông tin mới

VD: - Prior: “Có 60% khả năng cổ phiếu tăng sau báo cáo lợi nhuận”.

- New info: “Báo cáo có tín hiệu tốt, mà nếu cổ phiếu thực sự tăng thì 90% sẽ xuất hiện tín hiệu này”.

-> Bayes giúp tính lại: Posterior probability cao hơn 60%.

Ý nghĩa thực tế Bayes' formula

• Nếu thông tin mới ủng hộ event -> xác suất sau khi cập nhật tăng

• Nếu thông tin mới chống lại event -> xác suất giảm

Principles of counting

Counting for factorial (giai thừa)

Labeling problems (multinational formula)

Combination (tổ hợp - binomial formula)

Permutation (chỉnh hợp)

Counting for factorial (giai thừa)

• Số cách sắp xếp n phần tử khác nhau (Sắp xếp toàn bộ)

• n! = n x (n-1) x (n-2)....1 (n factorial)

VD: có 3 người A, B, C, số cách xếp họ vào 1 hàng: 3! = 3 x 2 x 1 = 6

Labeling problems (multinational formula)

• Khi ta có n phần tử, chia chúng thành k nhóm với kích thước lần lượt n1,n2,...nk (Chia nhóm)

• Điều kiện: n1 + n2 +...+ nk = n

• n! / (n1! x n2! x...x nk!)

VD: 10 người chia vào 3 đội (4-3-3), số cách chia 10! / (4! x 3! x 3!)

Combination (tổ hợp - binomial formula)

• Chọn r phần tử từ n phần tử, không quan tâm thứ tự 

• nCr = n! / [(n - r)! x r!]

VD: chọn 2 người trong 4 người (A, B, C, D): 4C2 = 4! / 2!x2! = 6

Permutation (chỉnh hợp)

• Chọn r phần tử từ n phần tử, có quan tâm đến thứ tự (Chọn & sắp xếp một phần)

• nPr = n! / (n-r)!

VD: chọn và xếp 2 người từ 4 người (A, B, C, D): 4P2 = 4! / (4-2)! = 12