Parameterschätzung

Aufgabe der Parameterschätzung

Da latente Parameter in überidentifizierten Modellen auf mehr als eine Weise berechnet werden können und dies zu unterschiedlichen Werten führt, ist die Aufgabe der Parameterschätzung, die wahren Populationswerte für die Modellparameter zu schätzen. Dies geschieht, indem Parameter so gewählt werden, dass die implizierte Kovarianzmatrix des Modells der beobachteten Kovarianzmatrix so ähnlich wie möglich ist, unter der Annahme, dass das Modell in der Population gültig ist.

Implizierte Kovarianzstruktur

Die Strukturgleichungen eines Modells implizieren ein bestimmtes Größenverhältnis der Varianzen/Kovarianzen der manifesten Variablen. Die Abweichung zwischen empirischer Kovarianzmatrix und implizierter Kovarianzstruktur kann entweder darauf zurückzuführen sein, dass das Modell falsch ist, oder auf Stichprobenfehler, selbst wenn das Modell in der Population korrekt ist.

"Beobachtete" Kovarianzmatrix \sum

Die "beobachtete" Kovarianzmatrix \sum ist eine Schätzung der Populations-Varianzen und -Kovarianzen der manifesten Variablen, die direkt aus den Stichprobendaten ("modellfrei") gewonnen wird.

Modellparameter \Theta

Die Modellparameter \Theta sind die Größen, die geschätzt werden müssen: Dazu gehören die Varianzen der exogenen Variablen, Kovarianzen der korrelierten exogenen Variablen und nicht-fixierte Pfadkoeffizienten.

Implizierte Kovarianzmatrix \sum\left(\Theta\right)

Die implizierte Kovarianzmatrix \sum\left(\Theta\right) entsteht, wenn numerisch festgelegte Parameter \Theta in die Strukturgleichungen eingesetzt werden. Ihre Eigenschaften umfassen die Kovarianzstruktur (durch Strukturgleichungen impliziertes Größenverhältnis) und die absolute Größe (durch Modellparameter bestimmt). Die Kovarianzstruktur ist dabei unabhängig von der absoluten Größe der Parameter.

Parameterschätzung (Prozedur)

Die Parameterschätzung erfolgt durch eine "Suchprozedur": 1. Eine Diskrepanzfunktion F[\Sigma,\Sigma(\Theta)] wird festgelegt, die die Unähnlichkeit von beobachteter und implizierter Kovarianzmatrix misst. 2. Startwerte für die Modellparameter \Theta werden festgelegt. 3. Die Modellparameter werden mit einem iterativen Algorithmus fortlaufend verändert, bis die Diskrepanzfunktion minimiert ist. Die resultierenden Werte sind die "best guesses" für die Populationsparameter.

Diskrepanzfunktionen

Diskrepanzfunktionen quantifizieren die Unähnlichkeit zwischen der beobachteten Kovarianzmatrix (\sum) und der implizierten Kovarianzmatrix (\sum\left(\Theta\right)). Beispiele sind Unweighted Least Squares (ULS), Generalized Least Squares (GLS), Maximum Likelihood (ML) und Asymptotically Distribution Free (ADF).

Unweighted Least Squares (ULS)

Bei ULS (Unweighted Least Squares) ist die Diskrepanzfunktion (F_{ULS}) null, wenn die beiden Matrizen identisch sind, und steigt mit zunehmender Unähnlichkeit der Elemente. Ihr Wert hängt jedoch vom Wertebereich der manifesten Variablen ab, weshalb sie in der Praxis kaum verwendet wird.

Generalized Least Squares (GLS)

Bei GLS (Generalized Least Squares) ist die Diskrepanzfunktion (F_{GLS}) null, wenn die Matrizen identisch sind, und ihr Wert nimmt mit zunehmender Ähnlichkeit ab (Fehler in der Notiz, es sollte "steigt mit zunehmender Unähnlichkeit an" heißen, oder "sinkt bei zunehmender Ähnlichkeit"). Sie ist unabhängig von der Skalenbreite der manifesten Variablen und lässt sich auf Signifikanz testen. Die geschätzten Parameter sind bei großen Stichproben konsistent, erwartungstreu und effizient. Voraussetzungen sind Intervallskala der manifesten Variablen und multivariate Normalverteilung der Population.

Maximum Likelihood (ML)

Bei ML (Maximum Likelihood) ist die Diskrepanzfunktion (F_{ML}) null, wenn die Matrizen identisch sind, und steigt mit zunehmender Unähnlichkeit. Sie ist unabhängig von der Skalierung der manifesten Variablen und maximiert die Wahrscheinlichkeit, dass die geschätzten Modellparameter bei einer neuen Stichprobe repliziert werden können. Die geschätzten Parameter zeigen bei großen Stichproben Konsistenz, Erwartungstreue und Effizienz. Voraussetzungen sind Intervallskala der manifesten Variablen und multivariate Normalverteilung in der Population, wobei ML bei Verletzung der NV in kleineren Stichproben weniger zuverlässig ist als GLS.

Stichprobengröße (Einfluss)

Die Zuverlässigkeit der Parameterschätzung hängt von der Stichprobengröße ab. Eine größere Stichprobe und ein "sparsameres" Modell (wenige zu schätzende Parameter im Verhältnis zu den bekannten Stichprobenmomenten) führen zu besseren Schätzungen. Erforderliche Stichprobengröße hängt von der Diskrepanzfunktion (z.B. ADF benötigt N=5000), dem Verhältnis von Indikatoren pro Konstrukt, der Anzahl der zu schätzenden Parameter (mind. 5 VPn pro Parameter) und allgemein von mind. 100-200 VPn ab.