H4 vectorruimten en lineaire afbeeldingen

een verzameling V+ voorzien van een + is een groep indien

p 142

commutatieve groep

142

reele vectorruimten

142

vectoren

142

scalairen

142

nulvector

142

stelling 1 voor een scalair elemnt van R en een vector element van V reele vectorruimten

geldt : scalair . vector = nulvector

als en slechts als scalair = 0 of vectror = 0

144

deelruimte

145

stelling 2 de niet lege deelverzameling U van de vectorruimte V is een deelruimte als en slechts als

P 145

stelling 3 indien U1 ,, Un deelruimten zijn van de vectorreuimte V dan is de doorsnede ervan ook een deelruimte

146

lineaire combinatie van vectoren

147

positieve lineaire combinatie van vectoren

147

convexe combinatie

147

lineair onafhankelijk

147

lineair afhankelijk

147

stelling 4 : de vectoren zijn lineair afhnakelijk als en slechts als

minstens een van de vectoren is een lineaire combinatie van de andere vectoren

147

stelling 5 een stel lineair onafhankelijke vector bevat nooit de nulvector

148

stelling 6 een deelverzameling van een stel lineair onafhnakelijke vectoren is opnieuw een stel lineair onafhankelijke vectoren

149

de verzameling vectoren R heeft rang r

149

de vectoren heten voortbrengend

149

de vectoren vormen een basis van de vectorruimte V

149

de dimensie van een vectorruimte

150

extra bewijs : voor een basis B van V

er bestaat juist 1 (v1, vn) element van R^n : v = v1.b1 + + vnbn

151

de coordinaten van v in de basis B

151

euclidisch scalair product

153

positief definiet

153

scalair product

153

orthogonaal

154

orthogonaal stel vectoren

154

stelling 7 : de vectoren van een orthogonaal stel zijn lineair onafhankelijk

154

een norm

154

genormeerde vectorruimte

154

de euclidische norm of lengte

155

manhanttan norm

155

eenheidsvector

155

orthonormaal stel vectoren

155

orthonormale basis

155

euclidische afstand

156

manhattan afstand

156

lineaire afbeelding

157

stelling 8 : voor een lineaire afbeelding f: V → W geldt

indien v1..vn een stel lineair afhankelijke vectoren is in V

dan is f(v1) f(vn) een stel lineaire afhankelijke vectoren in W

157

de kern van de lineaire afbeelding

158

stelling 9 ; voor een lineaire afbeelding f : V → W is Ker(f) een deelruimte van V

wpo 159

een lineaire afbeelding heet regulier

159

stelling 10 ; indien een lineaire afbeelding regulier is, dan zijn de beelden van lineair onafhankelijke vectoren van V lineair onafhankelijke vectoren van W

159

het beeld van de lineaire afbeelding

160

stelling 11 voor een lineaire afbeelding f : V → W is Im(f) een deelruimte van W

160

stelling 12 : voor een lineaire afbeelding f : V → W geldt

indien v1.. vn een stel vectoren is voortbrengend voor V

dan is f(v1) .. f(vn) een stel vectoren voortbrengend voor Im(f)

161

de reang van de lineaie afbeelding

161

de dimensiestelling

161

hoe komt de matrix van een lineaire afbeelding tot stand

163