Examen finale

Polynôme avec facteur commun

Factorisation par mise en évidence simple : axⁿ + ayᵐ = a(xⁿ + yᵐ)

Polynôme à 4 termes

Mise en évidence double : (ax³ + bx²) + (ax + b)

Trinôme x² + bx + c

Produit-somme : pq = c et p + q = b

Trinôme ax² + bx + c

M x n = a x c et M + n = b

Trinôme carré parfait

x² + 2ax + a² = (x + a)²

Trinôme imparfait

Ajoute et soustrait (b/2)² : (x + b/2)² − (b/2)² + c

Différence de carrés

a² - b² = (a + b)(a - b)

Différence de cubes

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Somme de cubes

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

Formule quadratique

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Règle du produit nul

Si ab = 0 alors a = 0 ou b = 0

Définition d'une fonction

Relation qui associe à chaque x un seul y

Domaine d’une fonction

Ensemble des x pour lesquels f(x) est défini

Image d’une fonction

Ensemble des valeurs f(x) pour x ∈ Df

Zéros de f(x)

Valeurs de x pour lesquelles f(x) = 0

Ordonnée à l’origine

Valeur de f(0)

Fonction positive

f(x) ≥ 0 sur un intervalle

Fonction négative

f(x) ≤ 0 sur un intervalle

Fonction croissante

f(x₁) ≤ f(x₂) si x₁ < x₂

Fonction décroissante

f(x₁) ≥ f(x₂) si x₁ < x₂

Maximum relatif

f(c) ≥ f(x) dans un voisinage de c

Maximum absolu

Plus grande valeur de f(x) sur le domaine

Minimum relatif

f(c) ≤ f(x) dans un voisinage de c

Minimum absolu

Plus petite valeur de f(x) sur le domaine

Restrictions

Conditions qui limitent le domaine

Analyse d'une fonction

1) Domaine 2) Restrictions 3) Propriétés

Trouver le domaine

Identifier le type de fonction

Types de fonctions et domaines

Polynômiale (R)

Cercle trigonométrique

Cercle de rayon 1 centré à l’origine

cos(30°)

√3 / 2

sin(30°)

1 / 2

tan(30°)

(1/2)/(√3/2) = 1/√3

Angles en radians

Un angle peut s’exprimer en radians

Coordonnées sur le cercle

(cos(ϑ)

Coordonnées par cadran

I (+

Hauteur dans le cercle

sin(ϑ)

Rapports trigonométriques

Relient les côtés d’un triangle rectangle

Utilité du cercle trigonométrique

Définit sin

Symétries dans le cercle

Permettent de retrouver les valeurs des angles

Formes indéterminées

0/0

lim x→0 sin(3x)/x

3

lim x→0 tan(5x)/x

5

lim x→0 cos(x)/x²

0

lim x→a sin(x)

sin(a)

lim x→a cos(x)

cos(a)

d/dx[sin(x)]

cos(x)

d/dx[cos(x)]

−sin(x)

d/dx[tan(x)]

1 / cos²(x)

d/dx[cot(x)]

−1 / sin²(x)

Fonctions trigonométriques inverses

arcsin

Domaine arcsin(x)

x ∈ [−1

Valeurs arcsin(x)

∈ [−π/2

Domaine arccos(x)

x ∈ [−1

Valeurs arccos(x)

∈ [0

Domaine arctan(x)

x ∈ ℝ

Valeurs arctan(x)

∈ (−π/2

d/dx[arcsin(x)]

1 / √(1 − x²)

d/dx[arccos(x)]

−1 / √(1 − x²)

d/dx[arctan(x)]

1 / (1 + x²)

d/dx[arcsec(x)]

1 / (|x|√(x² − 1))

d/dx[arccsc(x)]

−1 / (|x|√(x² − 1))

d/dx[arccot(x)]

−1 / (1 + x²)

lim x→0 x cot(x)

1

lim x→0 sin(7x)/4

0

Continuité sin et cos

sin et cos continues pour tout x

lim x→∞ e^x

∞

lim x→0 1 / cos(x)

1

lim x→π/2 1 / cos(x)

∞

Zéros de sin(x)

x = nπ

Zéros de cos(x)

x = π/2 + nπ

Dérivée de e^x

e^x

Dérivée de ln(x)

1 / x

lim x→0 ln(1 + x)/x

1

Identité trigonométrique

sin²(x) + cos²(x) = 1

tan(x) en fonction de sin et cos

tan(x) = sin(x) / cos(x)

cot(x) en fonction de sin et cos

cot(x) = cos(x) / sin(x)

sec(x)

1 / cos(x)

csc(x)

1 / sin(x)

Tangente à une courbe

y = f(a) + f’(a)(x − a)

Interprétation d’une dérivée

Pente de la tangente à f(x)

lim x→∞ 1 / x

0

lim x→−∞ e^x

0

Dérivée de a^x

a^x × ln(a)

lim x→0 (1 + x)¹/ˣ

e

Croissance de e^x

Fonction exponentielle toujours croissante

ln(x) quand x → 0⁺

−∞

ln(x) quand x → ∞

∞

lim x→0 sin(x)/x

1