Révision finale

Définition d'une fonction

Une fonction est une relation mathématique qui associe à chaque x un et un seul y.

Domaine d'une fonction

Le domaine d'une fonction f(x) est l'ensemble de toutes les valeurs possibles de la variable indépendante x pour lesquelles la fonction est définie.

Domaine

L'ensemble des valeurs possibles de x pour lesquelles la fonction est définie.

Image

L'ensemble des valeurs possibles de la variable dépendante y lorsque x parcourt le domaine. Iƒ = {f(x) | x Є Dƒ}

Zéro(s)

Les valeurs de x pour lesquelles f(x) = 0.

Ordonnée à l'origine

La valeur de y lorsque x = 0. f(0)

Fonction positive

Une fonction est dite positive sur un intervalle si f(x) ≥ 0 pour tous les x dans cet intervalle.

Fonction négative

Une fonction est dite négative sur un intervalle si f(x) ≤ 0 pour tous les x dans cet intervalle.

Fonction croissante

Une fonction est dite croissante sur un intervalle si f(x1) ≤ f(x2) pour tous x1 < x2 dans cet intervalle.

Fonction décroissante

Une fonction est dite décroissante sur un intervalle si f(x1) ≥ f(x2) pour tous x1 < x2 dans cet intervalle.

Maximum relatif

Une valeur f(c) où f(c) ≥ f(x) pour tous x dans un voisinage de c.

Maximum absolu

La valeur la plus élevée de la fonction sur l'ensemble de son domaine.

Minimum relatif

Une valeur f(c) où f(c) ≤ f(x) pour tous x dans un voisinage de c.

Minimum absolu

La valeur la plus basse de la fonction sur l'ensemble de son domaine.

Restrictions

Les conditions qui limitent le domaine

Analyse d'une fonction: approche analytique

1) Trouver le domaine
2) déterminer les restrictions
3) Déterminer ses propriétés ( 0

Trouver le domaine d'une fonction

Étape 1 : Identifier le type de fonction :

• Polynômiale (définie sur R) ?

• Rationnelle (exclure les valeurs annulant le dénominateur)?

• Racine carrée (le radicande doit être positif ou nul) ?

• Logarithmique (l'argument du logarithme doit être strictement positif) ?
  Étape 2 : Résoudre les restrictions :

  - Trouver les valeurs interdites (dénominateur nul, racine négative, logarithme de valeur non positive, etc.).

  Étape 3 : Exprimer le domaine en notation appropriée :

  - Intervalle (ex : x €] - 00, 3])

  - Ensemble (ex : x E R | {2})

  Étape 4: Vérifier graphiquement (optionnel) :

  - Représenter la fonction pour visualiser ses restrictions

Déterminer les restrictions

• Diviser par 0
• racine au négatif
• log négatif ou zéro

Méthode pour trouver les extremums

Étudier le signe de f(x) sur chaque intervalle pour identifier les minimums et maximums.

Étapes pour construire un tableau des signes

1. Mettre les zéros et les points de discontinuïté. 2. Déterminer les intervalles. 3. Évaluer un point dans chaque intervalle. 4. Construire le tableau.

Déterminer les point de discontinuité

• Quand la valeur du haut donne 0

Comportements aux bornes de l'intervalle

Vérifier les valeurs aux bornes pour identifier un extremum absolu.

Domaine d'une fonction polynomiale

D₁ = R

Domaine d'une fonction rationnelle

D₁ = R \ {x : Q(x) = 0}

Fonctions définies par parties

Soit I un ensemble de nombres réels et (Ik) une partition de I

Valeur absolue

La valeur absolue d'un nombre réel x

Domaine de la fonction valeur absolue

Le domaine de la fonction valeur absolue est R.

Composition de fonctions

La composition de fonctions f et g est définie par (f ○ g)(x) = f(g(x)) pour tout x ∈ A.

Conditions d'existence de la composition

La composition f ○ g est définie si et seulement si ∀x ∈ A

Limite

Valeur que f(x) approche quand x tend vers a.

Limite à gauche

Valeur de f(x) quand x approche a par la gauche. Un peu moins que a.

Limite à droite

Valeur de f(x) quand x approche a par la droite. Un peu plus que a.

Limite inexistante

Limite qui ne converge pas vers une valeur. Quand la limite à gauche et à droite ne sont pas similaires

Méthode de substitution

Remplacement direct pour évaluer la limite. Permet de déterminer f(x).

Forme indéterminée

Situation où limite ne peut être directement calculée. Il faut factoriser.

Notation de limite

Écriture : lim x→a f(x) = L.

Limite infinie

f(x) croît ou décroît sans borne près d'un point.

Asymptote verticale

Droite x=a où f(x) tend vers ±∞.

Asymptote horizontale

Droite y=L où f(x) tend vers L. Quand a est l'infini.

Formes indéterminées

Expressions nécessitant une analyse plus poussée.

Règle pour l'évaluation d'une limite

1) Remplacement direct: test la forme
2) limite a gauche et a droite: si elle sont =

Limite de arctan(x)

lim x→+∞ arctan(x) = π/2.

Limite de ln(x)

lim x→0+ ln(x) = -∞.

Méthode de resolution forme o/o

1) degré des polynôme
2) factorisation
3) conjugué ou rationalisation
4) propriétés des limites
5) limite a gauche et a droite

Forme indéterminée ∞/∞

Limite où f(x) et g(x) tendent vers l'infini.

Asymptote oblique

Ligne inclinée que la courbe approche à l'infini.

Continuité condition

1) f(x) est définit
2) la limite est définie dans le point
3) f(x)= la limite

Discontinuité non- essentiel par trous

f(x) est non définit dans la fonction .

Discontinuité non essentiel par déplacement

F(x) est défini mais n'est pas égal a la limite.

Discontinuité essentielle par saut

Limites a gauche et a droite réelles mais différentes.

Discontinuité essentielle par manque

Non définie sur un intervalle autour de x = a.

Discontinuité essentielle infinie

Limites infinies ou inexistantes à x = a.

Fonction continue en un point

f(a) existe et limites égales à f(a).

Fonction discontinue en un point

Non continue à x = a.

Discontinuités non essentielles

Contrôlables et prévisibles

Discontinuité évitable

Limite existe

Discontinuité de première espèce

Limites à gauche et à droite différentes.

Discontinuité essentielle

Aucune limite en ce point

Continuité sur un intervalle

Continue pour chaque valeur de l'intervalle ouvert.

Continuité à gauche

lim x↑b f(x) = f(b) pour intervalle fermé.

Continuité à droite

lim x↑a+ f(x) = f(a) pour intervalle fermé.

Conditions de continuité sur intervalle

Continue sur (a,b) et au extrémité

Théorème de continuité des polynômes

P(x) continu en x = a pour tout réel.

Théorème de continuité des sommes

f + g continue si f et g le sont.

Théorème de continuité des produits

fg continue si f et g le sont.

Théorème de continuité des quotients

f/g continue si g(a) ≠ 0.

Intervalle ouvert

Intervalle sans inclure les extrémités a et b.

Qu'est-ce qu'une droite sécante ?

Une droite qui intersecte une courbe en au moins deux points (a, f(a)) et (b, f(b)), avec a ≠ b.

Quel est le but d'une droite sécante?

Elle permet d'étudier le comportement global de la fonction entre deux points et sert à mesurer le taux de variation moyen sûr l’intervalle.

À quoi correspond géométriquement le taux de variation moyen?

La pente de la droite sécante passant par les points (a, f(a)) et (b, f(b)) sur le graphique de la fonction.

Quelle est la formule du taux de variation moyen ?

TVM[a,b] = Δf / Δx

Que représente Δf dans la formule du TVM ?

Δf = f(b) - f(a) est la variation de la fonction f entre les deux points.

Que représente Δx dans la formule du TVM ?

Δx = b - a est la variation de la variable indépendante.

Quelle est la formule de l'équation de la droite tangente ?

y = f’(a)(x - a) + f(a)

Qu’est ce qu’une droite tangente horizontale

F’(a) = 0

Quelle est la formule du taux de variation instantané au point x = a ?

TVI = lim h→0 TVM = lim h→0 (f(a + h) - f(a)) / h = f'(a)

Quelle est l’équation d’une droite sécantes

y = ax+b ou a est le TVM

Qu'est-ce que la dérivée d'une fonction f au point x = a ?

La limite du taux de variation moyen (soit le taux de variation instantané) lorsque l'intervalle se rétrécit autour de a.

Reconnaître f de f’

Si f est croissante, f’(x) >0 et si f est décroissant, f’(x) < 0

√x + √x

2√x

√x x √x

x

√x x √y

√xy

√x / √x

1

√4x / √6x

4/6 x √x/√x

Qu'est-ce que la dérivation en chaîne?

La dérivation en chaîne est une règle de calcul de la dérivée d’une fonction composé.

Quelle est la formule pour la dérivation en chaîne si y = f(u(x))?

dy/dx = (dy/du) * (du/dx) = f’(g(x)) * g’(x)

Qu'est-ce que la dérivée première?

La première dérivée d’une fonction nous donne le taux de variation instantanée de la fonction et la pente de la droite tangente.

Qu'est-ce que la dérivée seconde?

La seconde dérivé nous donne des informations sur la concavité de la fonction.

Si f'(x) > 0, comment est la fonction?

La fonction est croissante.

Si f'(x) < 0, comment est la fonction?

La fonction est décroissante.

Que permet la résolution de l’equation f'(x) = 0?

Identifier les points critiques qui sont les extremums, maximum et minimum

Qu'indique la dérivée seconde?

La concavité de la fonction, donc la façon dont la pente évolue.

Si f''(x) > 0, comment est la courbe?

La courbe est concave vers le haut.

Si f''(x) < 0, comment est la courbe?

La courbe est concave vers le bas.

Comment appelle-t-on les points ou f''(x) = 0?

Les points d'inflexion.

Qu’est-ce que les dérivées d’ordre supérieur ?

Les dérivées successives d’une fonction.

Qu'est ce qu'une équation explicite?

Une équation est dite explicite lorsque la variable dépendante (généralement y) est d’un seul côté de l’équation.

Qu'est ce qu'une équation implicite?

Une équation est dite implicite lorsque y et x apparaissent du meme coté dans l’équation, sans que l’un soit isolé.

Qu'est ce que la dérivation implicite?

Une méthode qui permet de dériver des fonctions qui ne sont pas explicitement résolues pour y en termes de x.

Quel est le principe de la dérivation implicite dans une équation de la forme F(x, y) = 0?

La variable y est considérée comme une fonction de x, mais elle n’est pas explicitement isolée.