Statica del corpo rigido

Quali sono le tre operazioni di prodotto tra vettori studiate in questo corso?

I prodotti tra vettori sono quello scalare, vettoriale e misto

Sai dare una definizione per ciascun prodotto tra vettori, intendendo per definizione l’ente che forniscono (vettore, definendo modulo, direzione e verso, o scalare, definendo il modulo e specificandone l’eventuale significato geometrico)?

Prodotto scalare s*q: si ottiene uno scalare di modulo pari alla somma dei prodotti per componenti.  Il suo modulo corrisponde al valore di s proiettato su q.

Prodotto vettoriale sxq: si ottiene un vettore perpendicolare al piano contenente i due vettori s e q. Questo vettore si ricava calcolando il determinante della matrice che presenta sulla prima riga i versori degli assi, sulla seconda s e sulla terza q. Il suo modulo corrisponde all’area sottesa dal parallelogramma di lati s e q.

Prodotto misto s*(qxp): si ottiene uno scalare che corrisponde al volume del parallelepipedo di lati s, p e q. Si calcola come il prodotto vettoriale tra p e q, moltiplicati poi scalarmente per s.

Quali sono i casi in cui si annulla ciascuno dei tre prodotti vettoriali?

Il prodotto scalare si annulla se i due vettori sono perpendicolari, quello vettoriale se i vettori sono paralleli e quello misto se i vettori giacciono nello stesso piano.

Quali proprietà (tra associativa, commutativa e distributiva) valgono per ciascuna delle tre operazioni vettoriale (vettoriale)?

Prodotto scalare: commutativa, distributiva

Prodotto vettoriali: distributiva

Prodotto misto: distributiva

Perché è importante la proprietà distributiva nel prodotto vettoriale e nel prodotto scalare?

Perché permette di semplificare i conti siccome si può lavorare con le componenti o con combinazioni lineari di vettori

Come si svolge il calcolo dei tre prodotti vettoriali in componenti cartesiane?

Consideriamo s = sxi + syj + szk, p = pxi + pyj + pzk e q = qzi + qyk + qzk

Prodotto scalare s*p = (sx*px) + (sy*py) + (sz*pz)

Prodotto vettoriale sxp = det(i, j, k; sx, sy, sz; px, py, pz)

Prodotto misto s*(pxq): prodotto vettoriale tra p e q; il vettore ottenuto viene moltiplicato in modo scalare con s

Come è definito un corpo rigido?

Un corpo rigido è composto da punti materiali che mantengono invariata la loro posizione reciproca, quindi non ci sono deformazioni

La definizione di equivalenza dei sistemi di forze sul punto materiale vale anche per il corpo rigido?

È analogo il fatto che due sistemi di forze sono equivalenti se producono lo stesso effetto meccanico su un sistema, però in questo caso si deve anche tener conto del punto di applicazione. Diventa quindi necessario introdurre il concetto di momento: due sistemi di forze sono equivalenti se hanno stessa risultante e stesso momento rispetto ad un punto.

Cosa stabilisce la seconda operazione invariantiva

La seconda operazione invariantiva afferma che lo stato di quiete o di moto del corpo rigido non viene perturbato se una o più forze vengono fatte scorrere lungo la rispettiva retta di azione

Il momento di una forza rispetto a un punto varia se applico la seconda operazione invariantiva?

No siccome il braccio rimane invariato

Qual è la condizione matematica perché, in un corpo rigido, due sistemi costituiti da un’unica forza siano equivalenti

Questo succede solo se le due forze sono uguali (stesso modulo, direzione, verso) e hanno lo stesso momento risultante, quindi se agiscono lungo la stessa retta di azione.

Che relazione c’è tra le operazioni invariantive e l’equivalenza dei sistemi di forze?

Le operazioni invariantive non modificano risultante e momento di un sistema di forze; due sistemi sono quindi equivalenti se si può passare dall’uno all’altro solo tramite queste operazioni invariantive

Come è definita una coppia?

Una coppia è composta da due forze di pari modulo, parallele ma converso opposto; la loro risultante è quindi nulla ma hanno un momento che dipende dal loro braccio.

Il vettore momento di una coppia è un vettore libero. Cosa significa questa definizione, e da quale fatto discende la proprietà?

Vettore libero significa il suo valore non dipende dal polo in cui viene calcolato e può quindi essere applicato ovunque. Questo avviene perché la risultante della coppia è nulla e quindi il valore del momento è indipendente dalla posizione.

Coppie di ugual momento sono sempre tra loro equivalenti?

Si siccome non conta il modulo delle forze in quanto la loro risultante è nulla; conta solo che il loro momento sia uguale.

Come faccio a dimostrarlo?

Una coppia è determinata solo dal vettore momento, siccome la risultante è nulla e cambiare il punto di applicazione non modifica l’azione meccanica della coppia. Se due coppie hanno quindi lo stesso momento sono necessariamente equivalenti.

E’ sempre lecito sostituire alla coppia il suo vettore momento? Perché?

Si siccome una coppia ha risultante nulla e genera un momento che è un free vector e può quindi essere applicato ovunque senza alterare lo stato meccanico del sistema.

Qual è la definizione di momento di una forza rispetto a un punto, dal punto di vista matematico?

Il momento di una forza è dato dal prodotto vettoriale tra Il vettore posizione rispetto a un polo O della forza F e la forza F stessa. Il modulo è dato dal prodotto del modulo della forza per il braccio, cioè la retta che congiunge il polo O alla retta di azione della forza con un angolo retto.

Quanto vale il momento, se la linea d’azione della forza contiene il polo rispetto a cui calcolo il momento?

Se il polo è sulla linea di azione il prodotto vettoriale è nullo; questo significa che non ho alcun momento.

Cosa si intende per «braccio» di una forza, nel calcolo del momento?

Il braccio è la retta che congiunge il polo O rispetto a cui sto calcolando il momento alla retta di azione della forza formando un angolo di 90°

Come è definita la proiezione di una forza lungo una retta OL?

Si calcola come il prodotto tra il modulo della forza e il coseno dell’angolo tra la retta OL e la forza stessa. Per calcolare il vettore questo modulo va moltiplicato per il versore della retta OL.

Come è definito il momento di una forza rispetto a un asse?

Si calcola come un prodotto misto: prima si calcola il momento della forza rispetto a un punto che giace sull’asse e poi si fa il prodotto scalare con il versore dell’asse stesso.

Il valore del momento di una forza rispetto a un asse varia, se faccio scorrere la forza lungo la sua linea d’azione? E se considero punti diversi appartenenti all’asse?

No siccome il braccio misura la distanza perpendicolare tra la forza e l’asse e dipende solo dalla loro orientazione dallo spazio che non cambia modificando il polo o facendo scorrere la forza lungo la sua retta di applicazione

Il calcolo del momento di una forza rispetto a un asse consente la determinazione della distanza perpendicolare rispetto all’asse stesso. Sai giustificare –e utilizzare -questo risultato?

Il modulo del momento della forza rispetto ad un asse è dato dal prodotto tra il modulo della forza e la distanza perpendicolare tra forza e asse. Quindi per calcolare d è necessario dividere il momento per la forza (sempre in modulo)