Matrizen 

Was ist eine Matrix?

Eine m → n-Matrix über dem Körper K ist ein Schema von Zahlen der Form A = (aij) mit i=1,...,m und j=1,...,n.

Was ist der Vektorraum der Matrizen Km→n?

Die Menge aller m → n-Matrizen über dem Körper K bildet einen Vektorraum.

Wie wird die Summe zweier Matrizen A und B berechnet?

Die Summe wird durch elementweise Addition der entsprechenden Elemente gebildet: A + B = (aij + bij).

Wie funktioniert die Skalarmultiplikation einer Matrix?

Bei der Skalarmultiplikation wird jeder Eintrag der Matrix mit einem Skalar λ multipliziert: λ · A = (λaij).

Was beschreibt das Bild einer Matrix?

Das Bild der Matrix A ist der von den Spalten von A aufgespannte Untervektorraum des Rm.

Was ist der Kern einer Matrix?

Der Kern der Matrix A besteht aus allen Vektoren x, für die gilt: Ax = 0.

Was bedeutet die Invertierbarkeit einer Matrix?

Eine Matrix A ist invertierbar, wenn Rang(A) = n, was bedeutet, dass die Spalten von A linear unabhängig sind.

Wie wird die Determinante einer 2x2-Matrix berechnet?

Die Determinante det(A) = ad - bc, wobei A = [[a, b], [c, d]].

Was besagt der Rangsatz?

Der Rangsatz besagt, dass Rang(A) + dim Kern(A) = n gilt.

Wie bestimmt man die inverse Matrix?

Die inverse Matrix wird durch Zeilenumformungen des Tableau (A|En) auf die Form (En|B) ermittelt.

Was ist eine symmetrische Matrix?

Eine quadratische Matrix A ist symmetrisch, wenn A = At gilt.

Wie wird die Multiplikation von Matrizen definiert?

Die Produktmatrix C = A · B hat die Einträge cij = Σ aik * bkj, wobei die Anzahl der Spalten von A gleich der Anzahl der Zeilen von B sein muss.

Was ist eine Einheitsmatrix?

Eine Einheitsmatrix ist eine Diagonalmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen.

Was bedeutet linear unabhängig für Spalten einer Matrix?

Die Spalten einer Matrix sind genau dann linear unabhängig, wenn die Determinante der Matrix ungleich Null ist.

Was bedeutet Assoziativität bei der Matrizenmultiplikation?

Für Matrizen A, B, C gilt: A(BC) = (AB)C.

Wie bezeichne ich die Transponierte einer Matrix?

Die Transponierte AT einer Matrix A ist die Matrix, deren Zeilen die Spalten von A sind und umgekehrt.

Was ist eine obere Dreiecksmatrix?

Eine obere Dreiecksmatrix hat alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale gleich Null.