Voici une fiche de révision complète et rédigée, prête à être copiée ou imprimée 📝 :
📌 Fiche de Cours : Le Raisonnement par Récurrence
1. Principe Général 🪜
Le raisonnement par récurrence permet de démontrer qu'une propriété P(n) est vraie pour tout entier n \ge n_0.
Il repose sur trois étapes indissociables.
2. La Structure en 3 Étapes 📝
🎬 Étape 1 : Initialisation
On vérifie que la propriété est vraie au premier rang n_0.
> Rédaction type :
> « Pour n = n_0 : [calcul du membre de gauche] et [calcul du membre de droite].
> On constate l'égalité (ou l'inégalité), donc la propriété P(n_0) est vraie. »
>
🔄 Étape 2 : Hérédité
On montre que si la propriété est vraie à un rang n quelconque (n \ge n_0), elle reste vraie au rang suivant n+1.
> Rédaction type :
> « Supposons que pour un entier n \ge n_0 fixé, la propriété P(n) soit vraie (Hypothèse de récurrence).
> Montrons que P(n+1) est vraie. »
> (On effectue le calcul ou la construction pour arriver à la formule au rang n+1)
> « La propriété est donc héréditaire. »
>
🏁 Étape 3 : Conclusion
On conclut en rassemblant les deux étapes précédentes.
> Rédaction type :
> « La propriété est vraie au rang n_0 et elle est héréditaire.
> Par le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout entier n \ge n_0. »
>
3. Techniques Classiques d'Hérédité 🛠️
* Pour les sommes (\sum) :
Isolement du dernier terme :
On remplace la première partie par l'hypothèse de récurrence, puis on réduit au même dénominateur et on factorise.
* Pour les suites (u_{n+1} = f(u_n)) :
On part de l'encadrement a \le u_n \le b, puis on applique les opérations de la fonction f étape par étape pour obtenir l'encadrement de u_{n+1}.
* Pour les puissances (a^n) :
Utilisation des propriétés des exposants :
Attention à bien distribuer le facteur sur tous les termes d'une expression.
Veux-tu qu'on vérifie ensemble comment appliquer cette fiche sur un exemple précis, ou tu préfères refaire un exercice de pratique ? 🎯
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