matematika spraševanje

Definiraj zaporedje. Kdaj je zaporedje končno in kdaj alternirajoče? Definiraj naraščajoče (padajoče) in omejeno zaporedje.

Zaporedje je funkcija, ki vsakemu naravnemu številu n priredi realno število aₙ. Končno zaporedje ima končno število členov. Alternirajoče zaporedje ima izmenično pozitivne in negativne člene. Naraščajoče: aₙ₊₁ ≥ aₙ. Padajoče: aₙ₊₁ ≤ aₙ. Omejeno zaporedje ima zgornjo in spodnjo mejo.

Definiraj aritmetično zaporedje. Kako izračunamo splošni člen? Kako vsoto? Kako je povezana aritmetična sredina?

Aritmetično zaporedje ima konstantno razliko d med zaporednima členoma. Splošni člen: aₙ = a₁ + (n−1)d. Vsota: Sₙ = n/2 (a₁ + aₙ). Aritmetična sredina dveh števil je (a+b)/2 in predstavlja srednji člen aritmetičnega zaporedja.

Definiraj geometrijsko zaporedje. Kako izračunamo splošni člen? Kako vsoto? Kako je povezana geometrijska sredina?

Geometrijsko zaporedje ima konstantni kvocient q. Splošni člen: aₙ = a₁·qⁿ⁻¹. Vsota: Sₙ = a₁ (qⁿ − 1)/(q − 1). Geometrijska sredina dveh števil je √(ab).

Kdaj uporabljamo popolno indukcijo? Razloži dokazovanje s popolno indukcijo.

Uporabljamo jo za dokazovanje trditev za vsa naravna števila. Postopek: baza (dokaz za n=1), indukcijska predpostavka (velja za n=k), indukcijski korak (dokaz za n=k+1).

Definiraj neskončno geometrijsko vrsto. Kdaj je konvergentna? Kolikšna je njena vsota?

Neskončna geometrijska vrsta je a₁ + a₁q + a₁q² + … Konvergentna je, če |q| < 1. Njena vsota je S = a₁/(1−q).

Povej binomski izrek in lastnosti binomskih simbolov. Koliko podmnožic ima množica z n elementi?

Binomski izrek: (a+b)ⁿ = Σ (n nad k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ. Binomski simbol: (n nad k) = n!/(k!(n−k)!). Množica z n elementi ima 2ⁿ podmnožic.

Definiraj pogojno verjetnost. Kako računamo produkt odvisnih in neodvisnih dogodkov?

Pogojna verjetnost: P(A|B) = P(A∩B)/P(B). Odvisni dogodki: P(A∩B) = P(A)·P(B|A). Neodvisni dogodki: P(A∩B) = P(A)·P(B).

Razloži osnovne pojme verjetnostnega računa.

Izid je elementarni dogodek. Dogodek je množica izidov. Produkt dogodkov A∩B pomeni da se zgodita oba. Unija A∪B pomeni da se zgodi vsaj eden. Nasprotni dogodek Aᶜ pomeni da se A ne zgodi.

Razloži pravilo produkta in pravilo vsote.

Pravilo produkta: če ima prvi poskus m možnosti in drugi n, je skupaj m·n možnosti. Pravilo vsote: če sta dogodka nezdružljiva, je skupaj m+n možnosti.

Kaj so permutacije brez ponavljanja in s ponavljanjem? Permutacije brez ponavljanja: razporeditve n različnih elementov, število je n!. Permutacije s ponavljanjem: n!/(n₁! n₂! …).

Kaj so variacije brez ponavljanja in s ponavljanjem? Variacije brez ponavljanja: Vₙᵏ = n!/(n−k)!. Variacije s ponavljanjem: nᵏ.

Kaj so kombinacije brez ponavljanja? Kakšna je povezava z variacijami? Kombinacije brez ponavljanja: izbira k elementov iz n brez upoštevanja vrstnega reda. Formula: Cₙᵏ = n!/(k!(n−k)!). Povezava: Vₙᵏ = Cₙᵏ · k!.

Kako aproksimiramo vrednost funkcije s pomočjo odvoda?

Linearni približek: f(x) ≈ f(a) + f′(a)(x−a).

Navedi odvode vsote, razlike, produkta, kvocienta in sestavljene funkcije.

(f+g)’ = f’+g’. (f−g)’ = f’−g’. (fg)’ = f’g + fg’. (f/g)’ = (f’g − fg’)/g². Sestavljena funkcija: (f(g(x)))’ = f’(g(x))·g’(x).

Kako z odvodom ugotovimo naraščanje/padanje funkcije in ekstreme?

Če je f’(x) > 0 funkcija narašča. Če je f’(x) < 0 funkcija pada. Lokalni ekstrem je v točki kjer je f’(x)=0 in se predznak odvoda spremeni.

Pravila za računanje limit zveznih funkcij.

lim(f+g) = lim f + lim g. lim(fg) = lim f · lim g. lim(f/g) = (lim f)/(lim g), če lim g ≠ 0.

Pravila za nedoločene integrale.

∫(f+g)dx = ∫f dx + ∫g dx. ∫(f−g)dx = ∫f dx − ∫g dx. ∫cf dx = c∫f dx.

Kako iščemo globalne ekstreme na zaprtem intervalu?

Najdemo kritične točke (f’(x)=0) in izračunamo vrednosti funkcije v teh točkah ter na robovih intervala. Največja in najmanjša vrednost sta globalna ekstrema.

Razloži vodoravno asimptoto in neskončno limito.

Vodoravna asimptota je y = L, če lim(x→∞) f(x) = L. Neskončna limita pomeni da funkcija raste ali pada proti ±∞.

Definiraj nedoločeni integral. Ali je enoličen?

Nedoločeni integral je množica vseh primitivnih funkcij: ∫f(x)dx = F(x)+C. Ni enoličen zaradi konstante C.

Definiraj zveznost funkcije.

Funkcija je zvezna v točki a, če velja lim(x→a) f(x) = f(a).

Razloži uporabo določenega integrala in Newton-Leibnizovo formulo.

Določeni integral predstavlja ploščino pod grafom funkcije. Newton-Leibniz: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a).

Definiraj odvod funkcije in njegov geometrijski pomen.

Odvod je limita diferenčnega količnika: f’(x)=lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h. Geometrijski pomen je naklon tangente na graf funkcije.

Kako računamo prostornino telesa vrtenja okoli osi x?

Prostornina: V = π ∫ₐᵇ [f(x)]² dx.

Kaj je naklonski kot funkcije in kot med funkcijama?

Naklonski kot α: k = tan α. Kot med dvema premicama: tan φ = (k₁−k₂)/(1+k₁k₂).

Kako poiščemo ploščino med grafoma dveh funkcij?

Ploščina: P = ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx, kjer je f(x) zgornja funkcija.

Navedi odvode transcendentnih funkcij.

(eˣ)’ = eˣ. (ln x)’ = 1/x. (sin x)’ = cos x. (cos x)’ = −sin x. (tan x)’ = 1/cos²x.

Kaj so vezane kombinacije in urejene porazdelitve?

Vezane kombinacije so kombinacije z omejitvami. Urejene porazdelitve so razporeditve elementov kjer je pomemben vrstni red.

Kaj je tangenta in kaj normala krivulje?

Tangenta je premica ki se dotika grafa v točki in ima smerni koeficient f’(x). Normala je pravokotna na tangento in ima smerni koeficient −1/f’(x).