Wiskunde basis formules!!

Wat is de verdubbelingsformule voor cosinus?

$$cos(2\theta)=cos^2(\theta)-sin^2(\theta)$$

Hoe kan de verdubbelingsformule voor cosinus ook geschreven worden?

$cos(2x)=2cos^2(x)-1$
$cos(2x)=1-2sin^2(x)$

Wat is de verdubbelingsformule voor sinus?

$$sin(2x) = 2sin(x) * cos(x)$$

Wat is de hoofdformule van de goniometrie

$$sin²(x) + cos²(x) = 1$$

hoe schrijf je sinus als een cosinus

$$sin(\alpha) = cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$$

$0$ rad

sin 0 • cos 1 • tan 0 • cot ∞

$\frac{\pi}{6}$ rad

sin 1/2 • cos √3/2 • tan 1/√3 • cot √3

$\frac{\pi}{4}$ rad

sin √2/2 • cos √2/2 • tan 1 • cot 1

$\frac{\pi}{3}$ rad

sin √3/2 • cos 1/2 • tan √3 • cot 1/√3

$\frac{\pi}{2}$ rad

sin 1 • cos 0 • tan ∞ • cot 0

$\frac{2\pi}{3}$ rad

sin √3/2 • cos -1/2 • tan -√3 • cot -1/√3

$\pi$ rad

sin 0 • cos -1 • tan 0 • cot ∞

$\frac{3\pi}{2}$ rad

sin -1 • cos 0 • tan ∞ • cot 0

$2\pi$ rad

sin 0 • cos 1 • tan 0 • cot ∞

Formule $cos(a) * sin(b)$

$$\frac{1}{2}[sin(a+b) - sin(a-b)]$$

Wat is de formule voor de afstand van een punt P(x1,y1)P(x1​,y1​) tot een rechte ll?
(En wat is het ezelsbruggetje om dit te onthouden?)

Formule:
Zorg eerst dat de rechte in de vorm ax+by+c=0ax+by+c=0 staat. Dan geldt:

$$d = \frac{| a x_1 + b y_1 + c |}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

Het Trucje ("Invullen gedeeld door Pythagoras"):

1. Boven (De Teller): "Kopieer en vul in"
   Je vult de coördinaten van het punt gewoon in de vergelijking van de rechte in.
   (Zet er absoluutstrepen ∣...∣∣...∣ omheen, want afstand is positief).

2. Onder (De Noemer): "Pythagoras op de richtingsgetallen"
   Neem de getallen die voor de xx en de yy staan (de aa en de bb) en doe daar Pythagoras mee: a2+b2a2+b2

Extra:
Gaat de rechte door de oorsprong? Dan is c=0.

Hoe bereken je de afstand d tussen punt A ( x 1 , y 1 ) en punt B ( x 2 , y 2 ) ?

$$d ( A , B ) = \sqrt{( x 2 − x 1 )² + ( y 2 − y 1 )²)}$$

💡 Ezelsbruggetje: Denk aan de stelling van Pythagoras! Je berekent eigenlijk de schuine zijde van een rechthoekige driehoek, waarbij:

• De horizontale zijde het verschil in x is ( x 2 − x 1 )

• De verticale zijde het verschil in y is ( y 2 − y 1 )

Hoe bereken je de coördinaten van het midden M van het lijnstuk tussen A ( x 1 , y 1 ) en B ( x 2 , y 2 ) ?

Je neemt het gemiddelde van de x'en en het gemiddelde van de y's: M ( x 1 + x 2 2 , y 1 + y 2 2 )

(Handig om de Top te vinden als je Brandpunt en Richtlijn weet)

Wat is het verband tussen de richtingscoëfficiënten ( m ) van twee rechten die loodrecht op elkaar staan?

Het product van hun rico's is − 1 . m 1 ⋅ m 2 = − 1 Ofwel: m 2 = − 1 m 1 (De rico is het "omgekeerde en tegengestelde")

Welke twee elementen moet je altijd eerst zoeken als je de vergelijking van een (schuine) parabool moet opstellen?

1. De coördinaten van het Brandpunt ( F ).

2. De vergelijking van de Richtlijn ( d ).

Nu gebruik je de definitie: Afstand tot f ( 2 , 3 ) = Afstand tot lijn x + y − 1 = 0

$$2sin(\alpha)*cos(\beta) =$$

$$sin(\alpha - \beta) + sin(\alpha + \beta)$$

$$2sin(\alpha)*sin(\beta) =$$

$$cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta)$$

$$2cos(\alpha)*cos(\beta) =$$

$$cos(\alpha - \beta) + cos(\alpha + \beta)$$

Definitie logaritme

$\log_a b = c$ betekent $a^c = b$ • a > 0 • a ≠ 1 • b > 0 $$

Productregel logaritme

$\log_a \left( b * c \right) = \log_a b + \log_a c$

Quotiëntregel logaritme

$\log_a \left( b / c \right) = \log_a b - \log_a c$

Machtsregel logaritme

$\log_a \left( b^k \right) = k * \log_a b$

Log van 1

$\log_a 1 = 0$ omdat $a^0 = 1$

Log van grondtal

$\log_a a = 1$ omdat $a^1 = a$

Verandering van grondtal

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

Natuurlijke logaritme

$\ln b = \log_e b$ met $e \approx 2.718$

Tienlogaritme

$\log b = \log_{10} b$

Inverse relatie log en macht

$a^{\log_a b} = b$ en $\log_a a^x = x$

Log van omgekeerde

$$\log_a \left( 1 / b \right) = - \log_a b$$

Log van wortel

$$\log_a \left( \sqrt[n]{b} \right) = \frac{1}{n} * \log_a b$$

Gelijkheid van logaritmen

$\log_a b = \log_a c$ impliceert $b = c$ bij gelijke grondtal

Exponentiële vergelijking oplossen

Neem log aan beide kanten en gebruik machtsregel om onbekende exponent vrij te maken

Logaritme van negatieve macht

$$\log_a \left( b^{-k} \right) = -k * \log_a b$$

Grondtalwisseling met ln

$$\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$$