Differentialrechnung in mehreren Variablen

Definition - Grenzwert:

∀∈⊂→⟹∃δε∞ξ⇔∩αβγ∘≈⋅λ❬❭∂∇χΩμφ

Es sei U ⊂ Rⁿ offen, f : U ⊂ Rⁿ → R^m eine Funktion und x* ∈ U.

Falls für jede beliebige Folge (x_n)_n∈N0 ⊂ U mit x_n → x* ein (gemeinsames, “universelles”) y* ∈ R^m existiert (unabhängig von der betrachteten Folge), sodass gilt:

nennen wir y* den Grenzwert von f für x_n gegen x* und schreiben:

Definition - Differenzierbar, Differential:

Lemma - Jacobi-Matrix:

Definition - Gradienten:

Im Falle einer Funktion f : U ⊂ Rⁿ → R fassen wir die partiellen Ableitungen oft auch im Gradienten zusammen:

Lemma - Differenzierbarkeit des Bildes:

Es sei U ⊂ Rⁿ offen, x ∈ U und f : U ⊂ Rⁿ → R^m eine Funktion, und es bezeichne f_i : U → R die i-te Komponente von f.

Dann ist f genau dann an der Stelle x ∈ U differenzierbar, wenn für alle 1 ≤ i ≤ m die i-te Komponente f_i an der Stelle x differenzierbar ist.

In diesem Fall gilt für alle v ∈ Rⁿ:

Definition - Richtungsableitung, partielle Ableitung:

Lemma - Partielle Ableitung = allgemeine Ableitung:

Theorem - f auf ganz U differenzierbar:

Es sei U ⊂ Rⁿ offen und f : U ⊂ Rⁿ → R^m eine Funktion.

Falls für alle 1 ≤ i ≤ n die partiellen Ableitungen ∂_i f auf ganz U existieren und stetige Funktionen sind, ist f auf ganz U differenzierbar.

Definition - Stetig differenzierbar:

Es sei U ⊂ Rⁿ offen und f : U ⊂ Rⁿ → R^m eine Funktion.

Falls alle partiellen Ableitungen f_i, 1 ≤ I ≤ n existieren und stetig sind auf U, nennen wir f stetig differenzierbar und schreiben f ∈ C¹(U, R^m) (falls m = 1 auch kurz f ∈ C¹(U)).

Theorem - Kettenregel:

Korollar - Kettenregel für einfach differenzierbare Funktionen:

Theorem - Mittelwertsatz:

Proposition - Mittelwertabschätzung:

Definition - k-fach stetig differenzierbar, glatte Funktionen:

Theorem - Satz von Schwarz:

Es sei U ⊂ Rⁿ offen und f ∈ C²(U, R^m).

Dann gilt:

Korollar - Permutation:

Definition - Multiindex:

Theorem - Satz von Taylor:

Definition - Analytisch:

Theorem - Konvergenz einer Potenzreihe:

Korollar - f = g auf ganz U:

Es sei U ⊂ Rⁿ eine zusammenhängende, offene Menge und f und g seien zwei analytische Funktionen f, g : U → R.

Falls ein Punkt x₀ ∈ U existiert, sodass für jeden Multiindex α gilt:

gilt f = g auf ganz U.

Insbesondere müssen f und g auf ganz U übereinstimmen, wenn sie auf einer nichtleeren, offenen Teilmenge V ⊂ U übereinstimmen.

Definition - Kritischer Punkt:

Es sei U ⊂ Rⁿ offen, f ∈ C¹(U) und x₀ ∈ U.

x₀ ist ein kritischer Punkt, falls gilt:

Definition - Hesse-Matrix:

Proposition - Lokales Extremum:

Es sei U ⊂ Rⁿ offen, f ∈ C¹(U), und an der Stelle x₀ liege ein lokales Extremum vor.

Dann gilt:

Definition - Eigenschaften einer symmetrischen Matrix:

Eine symmetrische Matrix M ∈ R^{n x n} heisst:

• positiv definit, falls alle Eigenwerte positiv sind

• negativ definit, falls alle Eigenwerte negativ sind

• indefinit, falls M sowohl positive als auch negative Eigenwerte hat

  • degeneriert, falls null ein Eigenwert ist

Proposition - Kritischer Punkt mit Hesse-Matrix:

Es sei U ⊂ Rⁿ offen, f ∈ C³(U), und die Stelle x₀ ∈ U sei ein kritischer Punkt. Dann gilt:

1. Falls die Hesse-Marix an der Stelle x₀ positiv definit ist, liegt an der Stelle ein lokales Minimum vor.

2. Falls die Hesse-Matrix an der Stelle x₀ negativ definit ist, liegt an der Stelle ein lokales Maximum vor.

3. Falls die Hesse-Matrix an der Stelle x₀ indefinit, aber nicht degeneriert ist, liegt an der Stelle ein Sattelpunkt vor.

Theorem - Lagrange-Multiplikatoren:

∀∈⊂→⟹∃δε∞ξ⇔∩αβγ∘≈⋅λ❬❭∂∇

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Es sei U ⊂ Rⁿ offen und f, g₁, g₂, …, g_k ∈ C¹(U).

Ausserdem gelte:

und f |_M habe an der Stelle x₀ eine lokale Extremalstelle, und

seien linear unabhängig.

Dann ist ∇f(x₀) eine Linearkombination von:

Definition - k-dimensionale Untermannigfaltigkeit der Klasse C^m:

Eine Menge S ⊂ Rⁿ heisst k-dimensionale Untermannigfaltigkeit der Klasse C^m, m ≥ 1, falls für jeden Punkt x₀ ∈ S eine Umgebung (insbesondere ein Ball) W und ein Diffeomorphismus (eine invertiertere (also bijektive) Abbildung mit stetiger Inverser)

von W auf

existiert, sodass gilt:

Definition - Tangentialraum:

Es sei S eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit der Klasse C^m, m ≥ 1. Zu x₀ ∈ S betrachten wir Kurven γ ∈ C¹ ((-ε, ε), S) mit γ(0) = x₀.

Der Raum:

heisst Tangentialraum an S an der Stelle x₀.

Proposition - Maximaler Rang:

Es sei U ⊂ Rⁿ offen, g ∈ C^m (U, R^k), k < n und b ∈ R^k ein regulärer Wert, d.h. für alle Element in g^-1( {b} ):

Definition - Neumann-Reihe:

Proposition - Anwendung der Neumann-Reihe auf lineare Abbildungen:

Es sei L₀ : Rⁿ → Rⁿ eine invertiertere lineare Abbildung, und es sei L eine weitere lineare Abbildung (L : Rⁿ → Rⁿ) mit:

Dann ist L invertierbar mit:

Ausserdem gilt:

und

Theorem - Umkehrfunktion:

Es sei f : Rⁿ → Rⁿ auf einer Umgebung von x₀ (d.h. auf einem Ball mit genügend kleinem Radius) stetig differenzierbar, und Df_x0 sei invertierbar.

Dann gilt für eine genügend kleine offene Umgebung U von x₀:

1. f bildet U bijektiv auf eine offene Umgebung V := f(U) von f(x₀) ab

   1. f ^-1 : f(U) → U ist stetig differenzierbar mit D(f ^-1) = (Df)^-1

Theorem - Implizite Funktion:

Es sei U ⊂ Rⁿ offen und f ∈ C¹(U, R^n-d) (0 < d < n ganze Zahlen).

Einen Punkt in R^d x R^n-d schreiben wir als (x, y) mit x ∈ Rⁿ und y ∈ R^n-d. Ausserdem sei (x₀, y₀) ∈ U, sodass f(x₀, y₀) = 0 und sodass die (n - d) x (n - d) - Matrix:

invertierbar sei. Dann existiert für r, s > 0 (klein genug) eine Funktion g : B_r(x₀) ⊂ R^d → B_s(y₀) ⊂ R^n-d, sodass für alle (x, y) ∈ U₀ := B_r (x₀) x B_s(y₀) ⊂ U gilt:

Ausserdem gilt für alle x ∈ B_r(x₀):

wobei:

Schliesslich ist g ∈ C^k (B_r(x₀), R^d), falls f ∈ C^k(U, R^{n - d}).