Differentialrechnung in mehreren Variablen

Definition - Grenzwert:

∀∈⊂→⟹∃δε∞ξ⇔∩αβγ∘≈⋅λ❬❭∂

Es sei U ⊂ Rⁿ offen, f : U ⊂ Rⁿ → R^m eine Funktion und x* ∈ U.

Falls für jede beliebige Folge (x_n)_n∈N0 ⊂ U mit x_n → x* ein (gemeinsames, “universelles”) y* ∈ R^m existiert (unabhängig von der betrachteten Folge), sodass gilt:

nennen wir y* den Grenzwert von f für x_n gegen x* und schreiben:

Definition - Differenzierbar, Differential:

Lemma - Jacobi-Matrix:

Definition - Gradienten:

Im Falle einer Funktion f : U ⊂ Rⁿ → R fassen wir die partiellen Ableitungen oft auch im Gradienten zusammen:

Lemma - Differenzierbarkeit des Bildes:

∀∈⊂→⟹∃δε∞ξ⇔∩αβγ∘≈⋅λ❬❭∂

Es sei U ⊂ Rⁿ offen, x ∈ U und f : U ⊂ Rⁿ → R^m eine Funktion, und es bezeichne f_i : U → R die i-te Komponente von f.

Dann ist f genau dann an der Stelle x ∈ U differenzierbar, wenn für alle 1 ≤ i ≤ m die i-te Komponente f_i an der Stelle x differenzierbar ist.

In diesem Fall gilt für alle v ∈ Rⁿ:

Definition - Richtungsableitung, partielle Ableitung:

Lemma - Partielle Ableitung = allgemeine Ableitung:

Theorem - f auf ganz U differenzierbar:

∀∈⊂→⟹∃δε∞ξ⇔∩αβγ∘≈⋅λ❬❭∂

Es sei U ⊂ Rⁿ offen und f : U ⊂ Rⁿ → R^m eine Funktion.

Falls für alle 1 ≤ i ≤ n die partiellen Ableitungen ∂_i f auf ganz U existieren und stetige Funktionen sind, ist f auf ganz U differenzierbar.

Definition - Stetig differenzierbar:

Es sei U ⊂ Rⁿ offen und f : U ⊂ Rⁿ → R^m eine Funktion.

Falls alle partiellen Ableitungen f_i, 1 ≤ I ≤ n existieren und stetig sind auf U, nennen wir f stetig differenzierbar und schreiben f ∈ C¹(U, R^m) (falls m = 1 auch kurz f ∈ C¹(U)).

Theorem - Kettenregel:

Korollar - Kettenregel für einfach differenzierbare Funktionen:

Theorem - Mittelwertsatz:

Proposition - Mittelwertabschätzung:

Definition - k-fach stetig differenzierbar, glatte Funktionen:

Theorem - Satz von Schwarz:

Es sei U ⊂ Rⁿ offen und f ∈ C²(U, R^m).

Dann gilt:

Korollar - Permutation:

Definition - Multiindex:

Theorem - Satz von Taylor:

Definition - Analytisch:

Theorem - Konvergenz einer Potenzreihe:

Korollar - f = g auf ganz U:

Es sei U ⊂ Rⁿ eine zusammenhängende, offene Menge und f und g seien zwei analytische Funktionen f, g : U → R.

Falls ein Punkt x₀ ∈ U existiert, sodass für jeden Multiindex α gilt:

gilt f = g auf ganz U.

Insbesondere müssen f und g auf ganz U übereinstimmen, wenn sie auf einer nichtleeren, offenen Teilmenge V ⊂ U übereinstimmen.

Definition - Kritischer Punkt:

Es sei U ⊂ Rⁿ offen, f ∈ C¹(U) und x₀ ∈ U.

x₀ ist ein kritischer Punkt, falls gilt:

Definition - Hesse-Matrix:

Proposition - Lokales Extremum:

Es sei U ⊂ Rⁿ offen, f ∈ C¹(U), und an der Stelle x₀ liege ein lokales Extremum vor.

Dann gilt:

Definition - Eigenschaften einer symmetrischen Matrix:

Eine symmetrische Matrix M ∈ R^{n x n} heisst:

• positiv definit, falls alle Eigenwerte positiv sind

• negativ definit, falls alle Eigenwerte negativ sind

• indefinit, falls M sowohl positive als auch negative Eigenwerte hat

  • degeneriert, falls null ein Eigenwert ist

Proposition - Kritischer Punkt mit Hesse-Matrix:

∀∈⊂→⟹∃δε∞ξ⇔∩αβγ∘≈⋅λ❬❭∂

→ Seite 288 im Skript

Es sei