Análisis matemático 2

Longitud de arco (demo)

Buscar la partición del intervalo, aproximar la longitud del arco con la distancia Lk, buscar la relación con el Teorema del valor medio y usar sumas de Riemann para calcular la integral en el límite.

Derivada parcial

Es la razón de cambio de la función, en el caso de fx en dirección de i y para fy de j. Las rectas tangentes con pendiente fx y fy forman un plano tangente a la superficie.

Diferenciabilidad

La diferenciabilidad de una función en un punto implica que tiene derivadas parciales en ese punto y que se puede aproximar mediante un plano tangente en una vecindad de dicho punto.

Diferenciabilidad implica continuidad (demo)

Teorema del incremento (demo)

La función f con el teorema de Valor medio, por lo que f(x₀ +∆x,·) es derivable en el intervalo [y₀,y₀ +∆y] y existe un valor d en el intervalo tal que

Obtenemos una expresión equivalente a los dos primeros términos. De manera análoga, tomamos la función f(·,y₀) y existe un valor c en el intervalo (x₀,x₀ +∆x) tal que

Sustituimos en la 1ra expresión

Sustituimos nuevamente y llegamos a la definición de función diferenciable. Nos queda probar que los errores tienden a cero cuando (∆x, ∆y) → (0, 0). Aplicamos la continuidad de las derivadas parciales que tenemos por hipótesis y aseguramos que

Regla de la cadena (demo)

Consiste en mostrar que si 𝑥 y 𝑦 son derivable en 𝑡 = 𝑡₀, entonces w es derivable en 𝑡₀

Derivación implícita R² y R³ (demo)

Se demuestra bajo supuesto, tomamos la función con la igualdad a c y derivamos en función a x usando a la regla de la cadena. Reccordamos que dx/dx=1 y despejamos y´(x).

En el caso de R3, aplicamos el mismo procedimiento, utilizando las componentes adecuadas y derivando parcialmente en función a ambas variables por separado.

Derivada direccional

La interpretamos como la tasa de cambio de la función en dirección del vector unitario U en un punto dado. Es un concepto que generaliza la derivada parcial y se utiliza para funciones de varias variables.

Derivada direccional como producto escalar (demo)

Demostramos usando límite y la regla de la cadena.

El vector gradiente es normal a la curva de nivel o superficie

Para la demo, partimos de parametrizar una curva de nivel de f, r(t)=(x(t);y(t)); que pasa por un punto P₀, r(t₀)=P₀.

Al ser una curva de nivel, para todo t, f(r(t))=0.

Linealización

La linealización tiene los mismos términos que ∆f. En el gráfico vemos que ∆z representa la variación de la función de dos variables y dz representa la variación de la función linealización.

Observación: si f es diferenciable en P₀, L provee una buena aproximación de f en un entorno de P₀.

En el caso de una función de tres variables, se cumplen las mismas hipótesis, sin embargo, no hay representación gráfica.

Máximos y mínimos

Si f está establecida en una zona que incluye al punto (a; b) y f(a; b)≥ f(x,y) para todos los (x,y) ∈ D(f) de alguna f(a,b), se considera que f alcanza un (valor) máximo local en (a, b).
Si f está establecida en una zona que incluye al punto (a; b) y f(a; b)≤ f(x,y) para todos los (x,y) ∈ D(f) de alguna f(a,b), se considera que f alcanza un (valor) mínimo local en (a, b).

Criterio de la derivada primera para extremos locales (demo)

Supongamos que f(x₀,y₀) es un valor extremo local de f. Entonces la función f(x,y₀), como función de una variable independiente, también tiene un extremo en x = x0. Por el criterio de la derivada primera para funciones de una variable, si la derivada existe en x0 debe ser cero. Luego f_x(x₀, y₀) = 0.

Similarmente, se prueba que f_y(x₀,y₀) = 0.

Criterio de la derivada segunda para valores extremos locales (demo)

La demo tiene tres partes, partimos de relacionar la función f con su serie de Taylor hasta el orden 2 con centro en (a;b) en una región abierta R. Tomamos un c que pertenece entre 0 y 1. En este caso se cumplen