Résumé – Matrices (cours d’Yvan Monka)

25 fiches de vocabulaire couvrant définitions et propriétés essentielles sur les matrices, leurs opérations, les inverses et l’application aux systèmes linéaires.

Matrice (taille m × n)

Tableau rectangulaire de nombres comportant m lignes et n colonnes.

Coefficient d’une matrice

Nombre occupant une position précise dans la matrice, noté a_ij pour la iᵉ ligne et la jᵉ colonne.

Matrice carrée

Matrice dont le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes (n × n).

Matrice colonne

Matrice de taille n × 1 (une seule colonne).

Matrice ligne

Matrice de taille 1 × m (une seule ligne).

Égalité de matrices

Deux matrices sont égales s’elles ont la même taille et des coefficients identiques aux mêmes positions.

Somme de matrices

Opération définie uniquement pour des matrices de même taille ; on additionne terme à terme les coefficients correspondants.

Propriétés de l’addition matricielle

Commutativité (A+B=B+A) et associativité ((A+B)+C=A+(B+C)).

Produit d’une matrice par un réel (kA)

On multiplie chaque coefficient de la matrice A par le réel k.

Distributivité du scalaire

(k+k’)A = kA + k’A et k(A+B)=kA+kB.

Produit matrice carrée × matrice colonne

Donne une matrice colonne où chaque entrée est la combinaison linéaire des coefficients de la ligne de A avec ceux de la colonne de B.

Produit de deux matrices carrées

La colonne j de A×B est le produit de A par la colonne j de B ; l’opération n’est pas commutative en général.

Associativité du produit matriciel

(A×B)×C = A×(B×C).

Distributivité du produit sur l’addition

A×(B+C)=A×B+A×C et (A+B)×C=A×C+B×C.

Puissance d’une matrice (Aⁿ)

Produit de n facteurs A ; en particulier A² = A×A, A³ = A×A×A, etc.

Matrice diagonale

Matrice carrée dont les coefficients hors diagonale sont nuls ; ses puissances s’obtiennent en élevant les éléments de la diagonale à la puissance voulue.

Matrice unité (I_n)

Matrice diagonale où tous les coefficients de la diagonale valent 1 ; élément neutre pour le produit matriciel (A×In = In×A = A).

Matrice inversible

Matrice carrée A pour laquelle il existe B telle que A×B = B×A = I_n ; B est notée A⁻¹.

Condition d’inversibilité (2×2)

La matrice (a b; c d) est inversible si et seulement si ad−bc ≠ 0.

Matrice inverse (2×2)

Pour (a b; c d) avec ad−bc≠0, l’inverse est (1/(ad−bc)) × (d −b; −c a).

Équation matricielle A×M = N

Si A est inversible, la solution unique est M = A⁻¹×N.

Écriture matricielle d’un système linéaire

Un système de n équations linéaires s’écrit A×X = B où A est la matrice des coefficients, X la matrice colonne des inconnues et B celle des constantes.

Solution d’un système via l’inverse

Si A est inversible, le système A×X = B admet l’unique solution X = A⁻¹×B.

Non-commutativité du produit matriciel

Il peut arriver que A×B ≠ B×A même lorsque A et B ont la même taille.

Distributivité du scalaire dans le produit

(kA)B = A(kB) = k(A×B).