Note di Algebra lineare

Queste flashcards coprono i principali concetti e definizioni esposti durante le lezioni di algebra lineare.

Insieme

Una famiglia di oggetti detti elementi, ad esempio A = {0, 2, 4, 6, 8}.

Cardinalità

Il numero finito di elementi di un insieme A, denotato con |A|.

Insieme vuoto

Un insieme privo di elementi, denotato con ∅.

Quantificatori

Simboli che esprimono proprietà universali o esistenziali, come ∀ (per ogni) e ∃ (esiste).

Implicazione

Un'affermazione in logica che afferma che se P è vera, allora Q è vera (P ⇒ Q).

Equivalenza

Due affermazioni sono equivalenti se P è vera se e solo se Q è vera (P ⇔ Q).

Sottoinsieme

Se ogni elemento di un insieme A è anche un elemento di un insieme B, si dice che A è un sottoinsieme di B (A ⊆ B).

Uguaglianza tra insiemi

Siano A e B insiemi; A = B se e solo se A ⊆ B e B ⊆ A.

Insieme delle parti

L'insieme di tutti i sottoinsiemi di un insieme A, denotato con P(A).

Prodotto cartesiano

L'insieme delle n-uple ordinate di n insiemi, denotato con A1 × A2 × … × An.

Funzione

Una legge che associa a ogni elemento x di un insieme A un unico elemento f(x) di un insieme B.

Biiettività

Una funzione è biiettiva se ogni elemento del codominio è l'immagine di uno e solo uno del dominio.

Operazione interna

Una funzione che associa ad ogni coppia di elementi di un insieme A un elemento di A.

Elemento neutro

Un elemento e di una struttura algebrica tale che x ∗ e = x per ogni x in A.

Simmetrico

Il simmetrico di x in una struttura algebrica è un elemento x' tale che x ∗ x' = e.

Gruppo

Una struttura algebrica (G, ∗) è un gruppo se ∗ è associativa, G ha un elemento neutro e ogni elemento ha un simmetrico.

Campo

Una struttura algebrica (K, ⊕, ∗) in cui (K, ⊕) è un gruppo commutativo e (K extbackslash{0}, ∗) è un gruppo commutativo.

Norma

La misura della lunghezza di un vettore in uno spazio metrico.

Base ortonormale

Una base ortogonale di uno spazio vettoriale in cui ogni vettore ha norma 1.

Matrice ortogonale

Una matrice M è ortogonale se M^(-1) = M^T,

Diagonalizzabilità

Una matrice A è diagonalizzabile se è simile a una matrice diagonale.

Teorema di Steinitz

Un insieme libero di vettori non può avere più vettori della dimensione dell’ambiente in cui si trova.

Rango

Il rango di una matrice A è il massimo numero di righe linearmente indipendenti (o colonne) in A.