Probabilidad y Estad mstica 93.24 - Repaso de Conceptos

Flashcards de vocabulario en espa ol para el curso de Probabilidad y Estad mstica 93.24 del a o 2024.

Función de variable aleatoria

Es una variable aleatoria con función de distribución (acumulada) FX : R → [0, 1] y g : R → R una función dada. Si se define una nueva variable aleatoria Y = g(X), la función de distribución de Y está dada por FY (y) = P (Y ≤ y) = P (g(X) ≤ y).

Generación de variables aleatorias

Sea X ∼ U(0, 1) y F una función de distribución de probabilidad (acumulada) cualquiera. Definimos g de la siguiente manera: g(x) = m´ın {y ∈ R : F(y) ≥ x}.

Transformaciones afines - Valor Esperado

Si definimos Y = aX + b, donde a, b ∈ R, entonces E [Y ] = aE [X] + b.

Transformaciones afines - Varianza

Si definimos Y = aX + b, donde a, b ∈ R, entonces Var[Y ] = a2Var[X].

Transformaciones afines - Variable Normal

Si Z ∼ N (0, 1), entonces X = σXZ + µX ∼ N (µX, σX).

Estandarizaci
ón

X ∼ N (µX, σX) ⇒ Z = (X − µX) / σX ∼ N (0, 1).

Funci
ón de probabilidad conjunta

pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y) x ∈ RX, y ∈ RY

Función de probabilidad marginal (X)

pX(x) = P (X = x) = Σ pX,Y (x, y) para y ∈ RY.

Función de probabilidad marginal (Y)

pY (y) = P (Y = y) = Σ pX,Y (x, y) para x ∈ RX.

Variables aleatorias independientes

pX,Y (x, y) = pX(x)pY (y) x ∈ RX, y ∈ RY

Densidad de probabilidad conjunta

fX,Y : R2 → R≥0, tal que P ((X, Y ) ∈ B) = ∫∫ fX,Y (x, y) dxdy sobre B ⊆ R2.

Densidad de probabilidad marginal (X)

fX(x) = ∫ fX,Y (x, y) dy sobre R.

Densidad de probabilidad marginal (Y)

fY (y) = ∫ fX,Y (x, y) dx sobre R.

Variables aleatorias independientes (continuas)

fX,Y (x, y) = fX(x)fY (y) (x, y) ∈ R2

Covarianza

Cov [X, Y ] = E [(X − E [X]) (Y − E [Y ])] = E [XY ] − E [X] E [Y ]

Coeficiente de correlaci
ón

ρ (X, Y ) = Cov [X, Y ] / (√Var[X] Var[Y ])

Valor esperado de la suma de dos variables aleatorias

E [X + Y ] = E [X] + E [Y ]

Varianza de la suma de dos variables aleatorias

Var[X + Y ] = Var[X] + 2Cov [X, Y ] + Var[Y ]

Distribuci
ón de la suma (discretas independientes)

P (X + Y = z) = Σ pX(x)pY (z − x) para x ∈ RX.

Distribuci
ón de la suma (continuas independientes)

fX+Y (z) = ∫ fX(x)fY (z − x) dx sobre R.

Funci
ón de masa de probabilidad condicional

pX|Y (x|y) = P(X = x | Y = y) = pX,Y (x, y) / pY (y) para pY (y) > 0.

Densidad de probabilidad condicional

fX|Y (x|y) = fX,Y (x, y) / fY (y) ∀x ∈ R, ∀y ∈ R tal que fY (y) > 0.

Distribuci
ón acumulada condicional

FX|Y (x|y) = P(X ≤ x | Y = y) ∀x ∈ R, y ∈ RY

Distribuci
ón acumulada (mixta)

FX(x) = Σ FX|Y (x|y)pY (y) para y ∈ RY

Masa de probabilidad condicional (discreta condicionada a continua)

pX|Y (x|y) = P(X = x | Y = y) ∀x ∈ RY , y ∈ R.

Funci
ón de masa de probabilidad marginal (mixta)

pX(x) = ∫ pX|Y (x|y)fY (y)dy sobre R.

Integrales dobles - Concepto f
sico 1

Volumen debajo del techo w(x, y) = ∫∫ w(x, y)dxdy sobre A.

Integrales dobles - Concepto f
sico 2

Masa de la placa = m = ∫∫ w(x, y)dxdy sobre A.

Integrales dobles - Abscisa del baricentro

xg = (1/m) ∫∫ xw(x, y)dxdy sobre A.

Integrales dobles - Ordenada del baricentro

yg = (1/m) ∫∫ yw(x, y)dxdy sobre A.

Integrales dobles - Suma de Riemann

∫∫ w(x, y)dxdy sobre [a,b]×[c,d] = lim (n→∞) Σ w(˜xi,k, y˜i,k)∆x∆y.

Integrales dobles - Teorema de Fubini

∫∫ w(x, y)dxdy sobre [a,b]×[c,d] = ∫ [∫ w(x, y)dy sobre [c,d]] dx sobre [a,b] = ∫ [∫ w(x, y)dx sobre [a,b]] dy sobre [c,d].

Integrales dobles - Conjunto A

∫∫ w(x, y)dxdy sobre A = ∫ [∫ w(x, y)dy sobre [φl(x), φu(x)]] dx sobre [a,b].

Integrales dobles - Conjunto A (alternativa)

∫∫ w(x, y)dxdy sobre A = ∫ [∫ w(x, y)dx sobre [ψl(y), ψu(y)]] dy sobre [c,d].