Analízis I összes tétel

Mit mond ki a Dedekind-féle axióma?

Tegyük fel, hogy az A, B ⊂ R halmazokra a következők teljesülnek:
• A ≠ ∅ és B ≠ ∅, továbbá ∀ a ∈ A és ∀ b ∈ B elemre a ≤ b.
Ekkor ∃ ξ ∈ R : ∀ a ∈ A és b ∈ B esetén a ≤ ξ ≤ b.

Mondja ki a tétel formájában a teljes indukció elvét.

Tegyük fel, hogy minden n természetes számra adott egy A(n) állítás, és azt tudjuk, hogy
(i) A(0) igaz,
(ii) ha A(n) igaz, akkor A(n + 1) is igaz.
Ekkor az A(n) állítás minden n természetes számra igaz.

Mikor nevez egy A ⊂ R halmazt felülről korlátosnak?

Az ∅ ≠ A ⊂ R halmaz felülről korlátos, ha
∃ K ∈ R, hogy ∀ x ∈ A esetén x ≤ K.
Az ilyen K számot az A halmaz egy felső korlátjának nevezzük.

Mit jelent az, hogy egy ∅ ≠ A ⊂ R halmaz felülről nem korlátos?

Ha a ∅ ≠ A ⊂ R felülről nem korlátos, akkor azt mondjuk, hogy a szuprémuma plusz végtelen, és ezt úgy jelöljük, hogy sup A :\= +∞

Mikor nevez egy A ⊂ R halmazt alulról korlátosnak?

Az ∅ ≠ A ⊂ R halmaz alulról korlátos, ha
∃ k ∈ R, hogy ∀ x ∈ A esetén k ≤ x.
Az ilyen k számot az A halmaz egy alsó korlátjának nevezzük.

Mit jelent az, hogy egy ∅ ≠ A ⊂ R halmaz alulról nem korlátos?

Ha a ∅ ≠ A ⊂ R halmaz alulról nem korlátos, akkor azt mondjuk, hogy az infinuma mínusz végtelen, és ezt úgy jelöljük, hogy inf A :\= −∞

Fogalmazza meg egyenlőtlenségekkel azt a tényt, hogy egy ∅ ≠ A ⊂ R halmaz korlátos.

A ∅ ≠ A ⊂ R halmaz korlátos, ha alulról is, felülről is korlátos azaz ∃ K ∈ R, hogy ∀ x ∈ A esetén |x| ≤ K.

Fogalmazza meg a szuprémum elvet.

Legyen H ⊂ R és tfh. (i) H ≠ ∅ és (ii) H felülről korlátos. Ekkor ∃ min {K ∈ R | K felső korlátja H-nak}, azaz R minden nemüres, felülről korlátos részhalmazának felső korlátjai között van legkisebb.

Mi a szuprémum definíciója?

A felülről korlátos ∅ ≠ H ⊂ R számhalmaz legkisebb felső korlátját H szuprémumának nevezzük, és a sup H szimbólummal jelöljük.

Fogalmazza meg egyenlőtlenségekkel azt a tényt, hogy
ξ \= sup H ∈ R

Legyen ∅ ≠ H ⊂ R felülről korlátos halmaz. Ekkor
i) ξ felső korlát, azaz ∀ x ∈ H : x ≤ ξ;
(ii) ξ a legkisebb felső korlát, azaz ∀ ε \> 0-hoz:
∃ x ∈ H : ξ − ε < x

Mi az infimum definíciója?

Az alulról korlátos ∅ ≠ H ⊂ R számhalmaz legnagyobb alsó korlátját a H halmaz infimumának nevezzük, és az inf H szimbólummal jelöljük.

Fogalmazza meg egyenlőtlenségekkel azt a tényt, hogy
ξ \= inf H ∈ R

Legyen ∅ ≠ H ⊂ R alulról korlátos halmaz. Ekkor
i) ξ alsó korlát, azaz ∀ x ∈ H : ξ ≤ x;
(ii) ξ a legnagyobb alsó korlát, azaz ∀ ε \> 0-hoz:
∃ x ∈ H : x < ξ + ε

Írja le az Archimedes-tételt.

Minden a \> 0 és minden b valós számhoz létezik olyan n természetes szám, hogy b < n · a, azaz
∀ a \> 0 és ∀ b ∈ R esetén ∃ n ∈ N, hogy b < n · a.

Mit állít a Cantor-féle közösrész-tétel?

Ha minden n természetes számra adott az [aₙ, bₙ] ⊂ R korlátos és zárt intervallum úgy, hogy [aₙ₊₁, bₙ₊₁] ⊂ [aₙ, bₙ] (n ∈ N), akkor ∩ [aₙ, bₙ] ≠ ∅.

Másképp: egymásba skatulyázott korlátos és zárt intervallumok közös része nem üres.

Hogyan értelmezi a függvényt?

Legyen A és B tetszőleges nemüres halmaz. A ∅ ≠ f ⊂ A × B relációt függvénynek nevezzük, ha
∀ x ∈ Df esetén ∃ ! y ∈ Rf : (x, y) ∈ f.
Az y elemet az f függvény x helyen felvett helyettesítési értékének nevezzük és az f(x) szimbólummal jelöljük. Ekkor azt is mondjuk, hogy az f függvény x-hez az f(x) függvényértéket rendeli.

Mit jelent az f ∈ A → B szimbólum?

f ⊂ A × B függvény és Df ⊂ A

Mit jelent az f : A → B szimbólum?

f ⊂ A × B függvény és Df \= A

Definiálja halmaznak függvény által létesített képét.

Legyen f : A → B egy adott függvény és C ⊂ A. Ekkor a C halmaz f által létesített képén az
f[C] :\= { f(x) | x ∈ C } \= { y ∈ B | ∃ x ∈ C : y \= f(x) } ⊂ B halmazt értjük. Megállapodunk abban, hogy f[∅] \= ∅.

Definiálja halmaznak függvény által létesített ősképét.

Legyen f : A → B egy adott függvény és D ⊂ B. Ekkor a D halmaz f által létesített ősképén az
f⁻¹[D] :\= { x ∈ Df | f(x) ∈ D } ⊂ A halmazt értjük. Megállapodunk abban, hogy f⁻¹ [∅ ] \= ∅ .

Mikor nevez egy függvényt invertálhatónak (vagy injektívnek)?

Az f : A → B függvényt invertálhatónak (vagy injektívnek) nevezzük akkor, ha a Df értelmezési tartomány bármely két különböző pontjának a képe különböző, azaz
∀ x, t ∈ Df , x ≠ t ⇒ f(x) ≠ f(t).

Definiálja az inverzfüggvényt.

Legyen f egy invertálható függvény, azaz tfh
∀ y ∈ Rf -hez ∃! x ∈ Df : f(x) \= y.
Ekkor az f inverz függvényét (vagy röviden inverzét) így értelmezzük:
f⁻¹: Rf ∋ y → x, amelyre f(x) \= y.

Mi a definíciója az összetett függvénynek?

Tfh f : A → B és g : C → D olyan függvények, amelyekre
{x ∈ Dg | g(x) ∈ Df } ≠ ∅.
Ebben az esetben az f (külső) és a g (belső) függvény összetett függvényét (vagy más szóval f és g kompozícióját) az f ◦ g szimbólummal jelöljük, és így értelmezzük:
f ◦ g : {x ∈ Dg | g(x) ∈ Df } → B, f ◦ g (x) :\= f(g(x))

Mi a definíciója a sorozatnak?

Az a : N → R függvényt (valós) sorozatnak nevezzük.
Az a(n) \=: aₙ (n ∈ N) helyettesítési érték a sorozat n-edik (vagy n-indexű) tagja, a tag sorszámát jelző szám a tag indexe.

Mit ért azon, hogy egy valós sorozat felülről korlátos?

∃K ∈ R, hogy ∀n ∈ N indexre aₙ ≤ K

Pozitív állítás formájában fogalmazza meg azt, hogy egy valós sorozat felülről nem korlátos.

∀K ∈ R-hez ∃n ∈ N index,melyre aₙ \> K

Mit ért azon, hogy egy valós sorozat alulról korlátos?

∃k ∈ R, hogy ∀n ∈ N indexre k ≤ aₙ

Pozitív állítás formájában fogalmazza meg azt, hogy egy valós sorozat alulról nem korlátos.

∀k ∈ R-hez ∃n ∈ N index,melyre k \> aₙ

Fogalmazza meg egyenlőtlenségekkel azt a tényt, hogy egy valós számsorozat korlátos.

∃K ∈ R+, hogy |aₙ| ≤ K

Mikor mondja azt, hogy egy valós sorozat monoton növő?

Ha aₙ ≤ aₙ₊₁ ∀ n ∈ N esetén

Mikor mondja azt, hogy egy valós sorozat szigorúan monoton növő?

Ha aₙ < aₙ₊₁ ∀ n ∈ N esetén

Mikor mondja azt, hogy egy valós sorozat monoton fogyó?

Ha aₙ₊₁ ≤ aₙ ∀ n ∈ N esetén

Mikor mondja azt, hogy egy valós sorozat szigorúan monoton fogyó?

Ha aₙ₊₁ < aₙ ∀ n ∈ N esetén

Mit ért azon, hogy indexsorozat?

v \= (vₙ) : N → N egy szigorúan monoton növekvő sorozat

Hogyan definiálja egy sorozat részsorozatát?

Legyen a \= (aₙ) : N → R egy valós sorozat és v \= (vₙ) : N → N egy szigorúan monoton növekvő sorozat. Ekkor az a ◦ v függvény is sorozat, amelyet az a sorozat v indexsorozat által meghatározott részsorozatának nevezünk. Az a ◦ v sorozatnak az n-edik tagja: (a ◦ v)(n) \= a(vₙ) \= avₙ (n ∈ N) így a ◦ v \= avₙ .

Milyen tételt tud mondani valós sorozatok és monoton sorozatok viszonyáról?

Minden a : N → R valós sorozatnak van monoton részsorozata, azaz létezik olyan v indexsorozat amellyel az a ◦ v sorozat monoton növő, vagy monoton csökkenő.

Mit értettünk egy valós sorozat csúcsán?

aₙ₀ az (aₙ) : N → R sorozat csúcsa, ha ∀n ≥ n₀ esetén an₀ ≥ an

Mit ért azon, hogy egy számsorozat konvergens?

Ha ∃A ∈ R hogy ∀ε \> 0 számhoz ∃n₀ ∈ N, hogy ∀n \> n₀ indexre |aₙ−A| < ε

Mit ért azon, hogy egy számsorozat divergens?

Egy sorozatot divergensnek nevezünk ha nem konvergens.
Azaz: Ha ∀A ∈ R-hez ∃ε \> 0, ∀n₀ ∈ N-hez ∃n \> n₀: |aₙ − A| ≥ ε

Pozitív állítás formájában fogalmazza meg azt, hogy egy számsorozat divergens.

Ha ∀A ∈ R-hez ∃ε \> 0, ∀n₀ ∈ N-hez ∃n \> n₀: |aₙ − A| ≥ ε

Milyen állítást ismer sorozatok esetén a konvergencia és a korlátosság kapcsolatáról?

Ha az (aₙ) : N → R sorozat konvergens, akkor korlátos is

Mit tud mondani konvergens sorozatok részsorozatairól?

Ha az a : N → R sorozat konvergens, akkor tetszőleges v indexsorozat esetén az a ◦ v részsorozat is konvergens és lim(a ◦ v) \= lim a

Mit tud mondani nullsorozatok összegéről?

Ha (aₙ) és (bₙ) nullsorozat, akkor (aₙ + bₙ) is nullsorozat.

Mit tud mondani korlátos sorozat és nullasorozat szorzatáról?

Ha (aₙ) nullsorozat és (cₙ) korlátos sorozat akkor (aₙ*cₙ) nullsorozat.

Mit tud mondani nullasorozatok szorzatáról?

Ha (aₙ) és (bₙ) nullsorozat, akkor (aₙ*bₙ) is nullsorozat.

Mondjon példát olyan (aₙ), (bₙ) : N → R sorozatokra, amelyekre lim(aₙ) \= lim(bₙ) \= 0 és lim (aₙ/bₙ) \= 7.

pl. aₙ \= 7/n, bₙ \= 1/n

Mondjon példát olyan (aₙ), (bₙ) : N → R sorozatokra, amelyekre lim(aₙ) \= lim(bₙ) \= 0 és lim (aₙ/bₙ) \= +∞.

pl. aₙ \= 1/n, bₙ \= 1/(n^2)

Mondjon példát olyan (aₙ), (bₙ) : N → R sorozatokra, amelyekre lim(aₙ) \= lim(bₙ) \= 0 és lim (aₙ/bₙ) határérték nem létezik.

pl. aₙ \= (-1)ⁿ/n, bₙ \= 1/n

Milyen állítást ismer konvergens sorozatok összegéről?

Ha (aₙ) és (bₙ) konvergens és lim(aₙ) \=: A ∈ R, lim(bₙ) \=: B ∈ R akkor: az (aₙ + bₙ) is konvergens és lim(aₙ + bₙ) \= A + B.

Milyen állítást ismer konvergens sorozatok szorzatáról?

Ha (aₙ) és (bₙ) konvergens és lim(aₙ) \=: A ∈ R, lim(bₙ) \=: B ∈ R akkor: az (aₙ * bₙ) is konvergens és lim(aₙ * bₙ) \= A * B.

Milyen állítást ismer konvergens sorozatok hányadosáról?

Ha (aₙ) és (bₙ) konvergens és lim(aₙ) \=: A ∈ R, lim(bₙ) \=: B ∈ R és bₙ ≠ 0 (n ∈ N) és lim(bₙ) ≠ 0, akkor:
az (aₙ/bₙ) is konvergens és lim(aₙ/bₙ) \= A/B

Fogalmazza meg a közrefogási elvet.

Tegyük fel hogy az (aₙ), (bₙ) és (cₙ) sorozatokra teljesülnek a következők:
∃ N ∈ N hogy ∀n \> N : aₙ ≤ bₙ ≤ cₙ,
az (aₙ) és a (cₙ) sorozatoknak van határértéke,
továbbá lim(aₙ) \= lim(cₙ) \= A ∈ R. Ekkor a (bₙ) sorozatnak is van határértéke és lim(bₙ) \= A

Mi a kapcsolat sorozatok konvergenciája, ill. határértéke és a kisebb-nagyobb reláció között?

Tegyük fel, hogy az (aₙ), (bₙ) → N → R sorozatok konvergensek. Ekkor:
1. ha aₙ ≤ bₙ (∀n ∈ N), akkor lim(aₙ) ≤ lim(bₙ)
2. ha lim(aₙ) < lim(bₙ), akkor an < bₙ (∀n ∈ N)

Igaz-e az, hogy ha az (aₙ) és a (bₙ) sorozatoknak van határértéke és aₙ \> bₙ minden n-re, akkor lim(aₙ) \> lim(bₙ)?

Nem, pl. aₙ \= 1/n, bₙ \= 0

Mit jelent az, hogy egy valós számsorozatnak +∞ a határértéke?

Azt mondjuk hogy egy sorozatnak +∞ a határértéke ha ∀P \> 0-hoz ∃n₀ ∈ N, ∀n \> n₀ : aₙ \> P

Mit jelent az, hogy egy valós számsorozatnak -∞ a határértéke?

Azt mondjuk hogy egy sorozatnak -∞ a határértéke ha ∀P < 0-hoz ∃n₀ ∈ N, ∀n \> n₀ : aₙ < P

Környezetekkel fogalmazza meg azt, hogy az (aₙ) : N → R sorozatnak (tágabb értelemben) van határértéke.

∃A ∈ R, ∀ε \> 0-hoz ∃n₀ ∈ N, ∀n \> n₀ : aₙ ∈ Kε(A).

Milyen állítást tud mondani (tágabb értelemben) határértékkel bíró sorozatok összegéről?

Tegyük fel, hogy az (aₙ) és a (bₙ) sorozatoknak van határértéke, és lim(aₙ) \=: A ∈ R, lim(bₙ) \=: B ∈ R Ekkor az (aₙ+bₙ) sorozatnak is van határértéke, és lim(aₙ+bₙ) \= A+B, feltéve hogy A+B értelmezve van.

Milyen állítást tud mondani (tágabb értelemben) határértékkel bíró sorozatok szorzatáról?

Tegyük fel, hogy az (aₙ) és a (bₙ) sorozatoknak van határértéke, és lim(aₙ) \=: A ∈ R, lim(bₙ) \=: B ∈ R Ekkor az (aₙ*bₙ) sorozatnak is van határértéke, és lim(aₙ*bₙ) \= A*B, feltéve hogy A * B értelmezve van.

Milyen állítást tud mondani (tágabb értelemben) határértékkel bíró sorozatok hányadosáról?

Tegyük fel, hogy az (aₙ) és a (bₙ) : N → R \ {0} sorozatoknak van határértéke, és lim(aₙ) \=: A ∈ R, lim(bₙ) \=: B ∈ R Ekkor az (aₙ/bₙ) sorozatnak is van határértéke, és lim(aₙ/bₙ) \= A/B, feltéve hogy A/B értelmezve van.

Milyen tételt ismer monoton sorozatok határértékével kapcsolatban?

Minden (aₙ) monoton sorozatnak van határértéke.
1. Ha monoton növekvő és felülről korlátos, akkor konvergens, és lim(aₙ) \= sup {aₙ | n ∈ N}
2. Ha monoton növekvő, és felülről nem korlátos, akkor lim(aₙ) \= +∞
3. Ha monoton csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens és lim(aₙ) \= inf {aₙ | n ∈ N}
4. Ha monoton csökkenő és alulról nem korlátos, akkor lim(aₙ) \= −∞

Legyen q ∈ R. Mit tud mondani a (qₙ) sorozatról határérték szempontjából?

lim n→+∞ (qₙ):
\= 0, ha |q| < 1
\= 1, ha q \= 1
\= +∞, ha q \> 1
nem létezik, ha q ≤ −1

Fogalmazza meg valós szám m-edik gyökének a létezésére vonatkozó tételt. Adja meg az e számot definiáló sorozatot.

Legyen A \> 0 valós szám és m ≥ 2 természetes szám. Ekkor:
1. Pontosan egy olyan α pozitív valós szám létezik amelyre α^m \= A
2. Ez az α szám az
a₀ \> 0 tetszőleges valós,
aₙ₊₁ :\= (1/m) (A / aₙ^(m−1) + (m − 1)aₙ)
rekurzióval értelmezett aₙ sorozat határértéke, azaz lim(aₙ) \= α \= m√ A

e \= lim n→+∞ ( 1 + 1/ n ) ⁿ

Hogyan szol a Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel?

Minden, korlátos valós sorozatnak van konvergens részsorozata.

Mikor nevez egy sorozatot Cauchy-sorozatnak?

Ha ∀ε \> 0-hoz ∃n₀ ∈ N, ∀m, n \> n₀ indexre |aₙ − aₘ| < ε

Mi a kapcsolat a konvergens sorozatok és a Cauchy-sorozatok között?

Legyen (aₙ) egy valós sorozat.
Ekkor: (aₙ) konvergens ⇐⇒ (aₙ) Cauchy-sorozat

Mi a végtelen sor defníciója?

Az (aₙ) : N → R sorozatból képzett sₙ :\= a0 + a1 + a2 + ... + aₙ (n ∈ N) sorozat az (aₙ) által generált végtelen sor, jelölése: Σaₙ

Mit jelent az, hogy a Σaₙ végtelen sor konvergens, és hogyan értelmezzük az összegét?

Σaₙ sor konvergens, ha részletösszegeinek a sorozata konvergens, vagyis a lim n→+∞ sn határérték véges. Ha ez teljesül, akkor ez a határérték az Σaₙ végtelen sor összege, jelölése: Σₙ₌₀ aₙ :\= lim n→+∞ sn

Milyen tételt ismer q ∈ R esetén a Σ qⁿ geometriai sor konvergenciájáról?

A qⁿ sorozatból képzett Σqⁿ geometriai sor akkor és csak akkor konvergens, ha |q| < 1, ekkor az összege:
Σₙ₌₀ qⁿ \= 1/(1-q)

Mi a harmonikus sor, és milyen állítást ismer a konvergenciájával kapcsolatban?

A harmonikus sor alakja: Σₙ₌₁ (1/n) \= 1 + 1/2 + 1/3 + ...
Ez a sor divergens, azonban van összege, ami a +∞.

Milyen állítást ismer a Σ 1/n^a hiperharmonikus sor konvergenciájával kapcsolatban?

A hiperharmonikus sor alakja: Σₙ₌₁(1/n^α) \= 1 + 1/2^α + 1/3^α + ...
Ez a sor divergens, ha α ≤ 1, és összege +∞, azonban konvergens, ha α \> 1.

Hogyan szól a Cauchy-kritérium végtelen sorokra?

Σaₙ végtelen sor akkor és csak akkor konvergens, ha ∀ε \> 0-hoz ∃n0 ∈ N, ∀m \> n \> n0 : |an+1 + an+2 + ... + am| < ε.

Mondjon egy, az (aₙ) sorozatra vonatkozó szükséges feltételt arra nézve, hogy a Σaₙ végtelen sor konvergens legyen.

Ha a Σaₙ sor konvergens ⇒ lim(aₙ) \= 0
Ha a lim(aₙ) ̸\= 0 ⇒ a Σaₙ sor divergens

Igaz-e az, hogy ha lim(aₙ) \= 0 akkor a Σaₙ sor konvergens? (A válaszát indokolja meg!)

Nem, mivel az, hogy lim(aₙ) \= 0 szükséges,de nem elégséges feltétele.

Mikor nevez egy végtelen számsort abszolút konvergensnek?

Akkor, ha Σ|aₙ| sor is konvergens

Mikor nevez egy végtelen számsort feltételesen konvergensnek?

Akkor, ha Σaₙ sor is konvergens, de nem abszolút konvergens.

Fogalmazza meg a végtelen sorokra vonatkozó összehasonlító kritériumokat

Tekintsük a Σaₙ és Σbₙ végtelen sorokat, és tegyük fel, hogy ∃N ∈ N : 0 ≤ aₙ ≤ bₙ ∀n ≥ N indexre Ekkor: Majoráns kritérium: ha a Σbₙ sor konvergens ⇒ a Σaₙ sor is konvergens
Minoráns kritérium: ha a Σaₙ sor divergens ⇒ a Σbₙ sor is divergens

Fogalmazza meg a végtelen sorokra vonatkozó Cauchy-féle gyökkritériumot

A :\= lim n→+∞ n√|aₙ| ∈ R
Ekkor:
1. 0 ≤ A < 1 esetén a Σaₙ sor abszolút konvergens
2. A \> 1 esetén a Σaₙ sor divergens
3. a \= 1 esetén a Σaₙ sor lehet divergens és konvergens is

Mit jelent az, hogy a Cauchy-féle gyökkritérium bizonyos esetekben nem alkalmazható? Illusztrálja példákkal mindezt

Tfh. valamely (aₙ) : N → K sorozat esetén létezik a lim n→+∞ n√ |aₙ| \= 1 határérték.
Ekkor a Σaₙ sor lehet konvergens is meg divergens is. Például legyen aₙ \= 1/n, bₙ \= 1/n^2, cₙ \= (-1)ⁿ / n
Ekkor lim n→+∞ n√ |aₙ| \= lim n→+∞ n√ |bₙ| \= lim n→+∞ n√ |cₙ| \= 1
Ugyanakkor a Σaₙ sor divergens, Σbₙ sor abszolút konvergens,Σcₙ konvergens, de nem abszolút konvergens.

Fogalmazza meg a végtelen sorokra vonatkozó D'Alembert-féle hányadoskirtériumot.

A :\= lim n→+∞ |aₙ₊₁/aₙ| ∈ R
1. 0 ≤ A < 1 esetén a Σaₙ sor abszolút konvergens
2. A \> 1 esetén a Σaₙ sor divergens
3. a \= 1 esetén a Σaₙ sor lehet divergens és konvergens is

Mit jelent az, hogy a D'Alembert-féle hányadoskirérium bizonyos esetekben nem alkalmazható? Illusztrálja példákkal mindezt.

Tfh. valamely (aₙ) : N → K sorozat esetén létezik a lim n→+∞ |aₙ₊₁/aₙ| \= 1 határérték.
Ekkor a Σaₙ sor lehet konvergens is meg divergens is. Például legyen aₙ \= 1/n, bₙ \= 1/n^2, zₙ \= (-1)ⁿ / n
Ekkor lim n→+∞ |aₙ₊₁/aₙ| \= lim n→+∞ |bₙ₊₁/bₙ| \= lim n→+∞ |zₙ₊₁/zₙ| \= 1
Ugyanakkor a Σaₙ sor divergens, Σbₙ sor abszolút konvergens, Σzₙ konvergens, de nem abszolút konvergens.

Mik a Leibniz-típusú sorok és milyen konvergenciatételt ismer ezekkel kapcsolatban?

A Leibniz-sor alakja:
Σₙ₌₁(−1)^(n+1)*aₙ
Akkor konvergens, ha lim n→+∞ aₙ \= 0

Adjon meg egy olyan végtelen sort, amelyik konvergens, de nem abszolút konvergens.

Σₙ₌₁ (−1)^(n+1) / n

Hogyan értelmezi egy végtelen sor zárójelezését?

Legyen Σaₙ egy végtelen sor, és (mₙ) : N → N egy szigorúan monoton növekvő indexsorozat, ahol m₀ \= 0. Ekkor az
aₙ :\=Σₖ₌ₘ_(ₙ₋₁)₊₁ mₙ-ig (aₖ) sorozattal definiált Σaₙ végtelen sort a Σaₙ sor mₙ indexsorozat által meghatározott zárójelezésének nevezzük

Tegyük fel, hogy a Σaₙ végtelen sor konvergens. Mit tud mondani a szóban forgó sor Σaₙ zárójelezésének konvergenciájáról?

Egy konvergens sor minden zárójelezése is konvergens sor, valamint összegük megegyezik.

Tegyük fel, hogy a Σaₙ végtelen sor valamely Σaₙ zárójelezett sora konvergens. Milyen feltételek mellett konvergens a Σaₙ végtelen sor?

Tegyük fel, hogy Σaₙ végtelen sorra és az (mₙ) indexsorozatra teljesülnek a következő feltételek:
1. m₀ \= 0 és (mₙ₊₁ − mₙ) korlátos sorozat
2. lim(aₙ) \= 0
3. a Σaₙ sor (mₙ) indexsorozat által meghatározott Pαn zárójelezése konvergens Ekkor a Σaₙ sor is konvergens.

Hogyan értelmezi egy végtelen sor átrendezését?

Legyen Σaₙ egy adott végtelen sor. Tegyük fel, hogy (pₙ) : N → N egy bijekció, (más szóval p egy permutációja N-nek). Ekkor a Σapₙ végtelen sort a Σaₙ sor (pₙ) által meghatározott átrendezésének nevezzük.

Milyen állítást ismer abszolút konvergens sorok átrendezéseit illetően?

Egy abszolút konvergens sor bármely átrendezése is abszolút konvergens sor, és összege ugyanaz, mint az eredeti soré.

Defniálja a Σaₙ, Σbₙ végtelen sorok téglányszorzatát.

Két tetszőleges sor: Σaₙ és Σbₙ esetén a téglányszorzat a
Σtₙ ; tₙ :\= Σₘₐₓ{ᵢ,ⱼ}₌ₙ( aᵢbⱼ )
végtelen sor.

Defniálja a Σaₙ, Σbₙ végtelen sorok Cauchy-szorzatát.

Két tetszőleges sor: Σaₙ és Σbₙ esetén a Cauchy-szorzat a
Σcₙ ; cₙ :\= Σᵢ+ⱼ₌ₙ( aᵢbⱼ ) \= Σₖ₌₀₋ₜₒₗ ₙ₋ᵢ₉ (aₖbₙ₋ₖ)
végtelen sor.

Milyen tételt ismer végtelen sorok téglányszorzatának a konvergenciáját illetően?

Tfh. Σaₙ, Σbₙ végtelen sorok konvergensek.Ekkor a téglányszorzatuk is konvergens,a szorzat összege pedig megegyezik a két sor összegének szorzatával.
Σtₙ :\= Σaₙ*Σbₙ

Fogalmazza meg az abszolút konvergens sorok szorzatára vonatkozó Cauchy-tételt.

Tfh. Σaₙ, Σbₙ sorok mindegyike abszolút konvergens.
Ekkor:
1. a Σtₙ téglányszorzatuk is abszolút konvergens.
2. a Σcₙ Cauchy-szorzatuk is abszolút konvergens.
3. az összes aᵢbⱼ szorzatból tetszés szerinti sorrendben képzett Σdₙ végtelen sor is abszolút konvergens.

Írja le a hatványsor definícióját.

Az (αₙ) : N → R sorozattal és az a ∈ R számmal képzett
Σαₙ(x-a)ⁿ, x ∈ R
végtelen sort az a középpontú, αₙ együttható hatványsornak nevezzük.

Hogyan szól a hatványsor konvergenciahalmazára vonatkozó, a konvergenciasugarát meghatározó tétel?

Σαₙ(x-a)ⁿ , x ∈ R
hatványsor konvergenciahalmaza a következő három egymást kizáró esetek egyike:
1. ∃! R \> 0 valós szám, hogy a hatványsor x ∈ R esetén abszolút konvergens, ha |x − a| < R és divergens, ha |x − a| \> R
2. a hatványsor csak az x \= a pontban konvergens (ekkor R :\= 0)
3. a hatványsor ∀x ∈ R pontban konvergens (ekkor R :\= +∞) 0 ≤ R ≤ +∞ a hatványsor konvergenciasugara

Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a (−1, 1) intervallum.

Σxⁿ
a Σ(+-1)ⁿ számsorok divergensek, mert a sorokat generáló (±1) sorozatok nem nullasorozatok, így
KH Σxⁿ \= (−1, 1)

Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a (−1, 1] intervallum.

Σ(-1ⁿ/n) * xⁿ
x \= 1: a Σ-1ⁿ/n végtelen sor konvergens, Leibniz-típusú sor;
x \= −1: a Σ-1ⁿ/n * -1ⁿ
végtelen sor divergens, harmonikus sor, így
KH Σ(-1ⁿ/n) * xⁿ \= (−1, 1].

Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a [−1, 1) intervallum.

Σ(1/n) * xⁿ
x \= 1: a Σ 1/n végtelen sor divergens,harmonikus sor
x \= −1: a Σ-1ⁿ/n végtelen sor konvergens, Leibniz-sor, így
KH Σ(1/n) * xⁿ \= [−1, 1).

Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a [−1, 1] intervallum.

Σ(1/n²) * xⁿ
x \= 1 : az Σ(1/n²) sor konvergens, szuperharmonikus sor
x \= -1: a (-1ⁿ)/n² sor sor abszolút konvergens, ezért konvergens; így
KH Σ(1/n²) * xⁿ \= [−1, 1].

Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyik csak az a \= 2 pontban konvergens

Σnⁿ*(x-2)ⁿ

Definiálja az exp függvényt.

exp(x) :\= Σxⁿ/n!

Definiálja a sin függvényt.

sin(x) :\= Σ(-1)ⁿ* (x²ⁿ⁺¹ / (2n+1)!)