MO 8. Przybliżenia różnicowe dla f'(x), błędy obcięcia przybliżeń T.

0.0(0)
studied byStudied by 0 people
learnLearn
examPractice Test
spaced repetitionSpaced Repetition
heart puzzleMatch
flashcardsFlashcards
Card Sorting

1/13

encourage image

There's no tags or description

Looks like no tags are added yet.

Study Analytics
Name
Mastery
Learn
Test
Matching
Spaced

No study sessions yet.

14 Terms

1
New cards

Problem wyznaczenia przybliżenia różnicowego pochodnych funkcji

Postawienie problemu :

Jak obliczyć przybliżone wartości pochodnych funkcji y = f(x), mając jedynie zadane wartości funkcji w punktach x0, x1... xn ?

Jest to trudny problem, bo nie mamy informacji o zachowaniu funkcji pomiędzy punktami xi.

<p></p><p>Postawienie problemu :</p><p>Jak obliczyć przybliżone wartości pochodnych funkcji y = f(x), mając jedynie zadane wartości funkcji w punktach x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>... x<sub>n</sub> ?</p><p></p><p>Jest to trudny problem, bo nie mamy informacji o zachowaniu funkcji pomiędzy punktami x<sub>i</sub>.</p>
2
New cards

Punkty x0, x1... xn

Węzły siatki dyskretnej.

3
New cards

Wzory na przybliżenia pochodnych dwupunktowych w węzłach wewnętrznych.

Różnica wsteczna,
Różnica progresywna.

Uwaga muszą ist. przybliżane wart. pochodnych - zmiany między węzłami nie mogą być za duże.

<p>Różnica wsteczna,<br>Różnica progresywna.<br><br>Uwaga muszą ist. przybliżane wart. pochodnych - zmiany między węzłami nie mogą być za duże.</p>
4
New cards

Przybliżenia pochodnych trzypunktowych

Różnica centralna

<p>Różnica centralna</p>
5
New cards

Przybliżenia pochodnych trzypunktowych dla 2 pochodnej

Różnica centralna dla 2 pochodnej

<p>Różnica centralna dla 2 pochodnej</p>
6
New cards

Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora i analiza błędu obcięcia (dyskretyzacji)

Uwaga:

  • zakładamy istnienie n-tej pochodnej

  • rozwijamy funkcję wokół punktu xi a liczymy dla np. xi+1 lub xi-1

  • O(h) - błąd obcięcia - pewna niewielka wartość proporcjonalna do h

<p>Uwaga:</p><ul><li><p>zakładamy istnienie n-tej pochodnej</p></li><li><p>rozwijamy funkcję wokół punktu x<sub>i</sub> a liczymy dla np. x<sub>i+1</sub> lub x<sub>i-1</sub></p></li><li><p>O(h) - błąd obcięcia - pewna niewielka wartość proporcjonalna do h</p></li></ul><p></p>
7
New cards

Błąd obcięcia dla różnic centralnych

knowt flashcard image
8
New cards

Ogólny wzór obcięcia dla przybliżeń różnicowych

p - rząd dokładności przybliżenia

A - współczynnik wyrazu dominującego

A, B, C,.. - współczynniki zależne od wyższych pochodnych f(x)

<p>p - rząd dokładności przybliżenia</p><p>A  - współczynnik wyrazu dominującego</p><p>A, B, C,..  - współczynniki zależne od wyższych pochodnych f(x)</p>
9
New cards

Wzory dwu - trzypunktowe dla pochodnych w węzłach końcowych siatki (prawostronne)

Rozwinięcie wokół x0

<p>Rozwinięcie wokół x<sub>0</sub></p><p></p>
10
New cards

Wzory dwu - trzypunktowe dla pochodnych w węzłach końcowych siatki (lewostronne)

knowt flashcard image
11
New cards

Analiza błędów z uwzględnieniem wpływu błędów maszynowych

e - błąd reprezentacji liczbowej

δO - błąd arytmetyczny odejmowania

δD - błąd arytmetyczny dzielenia

  • pomijamy błąd reprezentacji h

  • pomijamy błędy działań arytmetycznych δ

  • liczymy bewzgl. wart. z błędu przybliżenia |f’przyb(xi) - fprzyb(xi)|

  • wyznaczamy błąd maszynowy i obcięcia

  • Błąd maszynowy jest odwrotnie proporcjonalny do h

  • A błąd obcięcia jest wprost proporcjonalny do h

<p>e - błąd reprezentacji liczbowej</p><p><span>δ<sub>O</sub> - błąd arytmetyczny odejmowania</span></p><p>δ<sub>D</sub> - błąd arytmetyczny dzielenia</p><ul><li><p>pomijamy błąd reprezentacji h</p></li><li><p>pomijamy błędy działań arytmetycznych δ</p></li><li><p>liczymy bewzgl. wart. z błędu przybliżenia |f’<sub>przyb</sub>(x<sub>i</sub>) - f<sub>przyb</sub>(x<sub>i</sub>)|</p></li><li><p>wyznaczamy błąd maszynowy i obcięcia</p></li><li><p>Błąd maszynowy jest odwrotnie proporcjonalny do h</p></li><li><p>A błąd obcięcia jest wprost proporcjonalny do h</p></li></ul><p></p>
12
New cards

Zależności między błędami

Teoretycznie najlepszym wyborem jest hopt - odpowiada najmniejszemu błędowi całkowitemu.

Natomiast w praktyce należy wybierać h » hopt, bo mamy większą kontrolę nad błędem obcięcia.

<p>Teoretycznie najlepszym wyborem jest h<sub>opt</sub> - odpowiada najmniejszemu błędowi całkowitemu.</p><p>Natomiast w praktyce należy wybierać h » h<sub>opt</sub>, bo mamy większą kontrolę nad błędem obcięcia.</p>
13
New cards

Wyprowadzanie wzorów na pochodne

w ogólnym przypadku siatek niejednorodnych

Dwie alternatywne metody:

1) Rozwinięcia w szereg + warunki zgodności 2 pochodną + minimalizacja błędu obcięcia.
2) Różniczkowanie analityczne wzorów interpolacyjnych Lagrange’a

14
New cards

Metoda wyprowadzenia wzoru trzypunktowego na pierwszą pochodną w wewnętrznym węźle siatki niejednorodnej

  1. Rozwinięcie f(xi+1) i f(xi-1) wokół xi

  2. Mnożymy współczynniki do wyznaczenia (a,b,c) przez rozwinięcia funkcji. Otrzymujemy pochodną + T (błąd obcięcia)

  3. Grupujemy wyrazy zgodnie z kolejnymi pochodnymi

  4. Minimalizujemy T rozwiązując układ równiań

  5. Gotowy wzór na f’(xi)

<ol><li><p>Rozwinięcie f(x<sub>i+1</sub>) i f(x<sub>i-1</sub>) wokół x<sub>i</sub></p></li><li><p>Mnożymy współczynniki do wyznaczenia (a,b,c) przez rozwinięcia funkcji. Otrzymujemy pochodną + T (błąd obcięcia)</p></li><li><p>Grupujemy wyrazy zgodnie z kolejnymi pochodnymi</p></li><li><p>Minimalizujemy T rozwiązując układ równiań</p></li><li><p>Gotowy wzór na f’(x<sub>i</sub>)</p></li></ol><p></p>