1/13
Looks like no tags are added yet.
Name | Mastery | Learn | Test | Matching | Spaced |
---|
No study sessions yet.
Problem wyznaczenia przybliżenia różnicowego pochodnych funkcji
Postawienie problemu :
Jak obliczyć przybliżone wartości pochodnych funkcji y = f(x), mając jedynie zadane wartości funkcji w punktach x0, x1... xn ?
Jest to trudny problem, bo nie mamy informacji o zachowaniu funkcji pomiędzy punktami xi.
Punkty x0, x1... xn
Węzły siatki dyskretnej.
Wzory na przybliżenia pochodnych dwupunktowych w węzłach wewnętrznych.
Różnica wsteczna,
Różnica progresywna.
Uwaga muszą ist. przybliżane wart. pochodnych - zmiany między węzłami nie mogą być za duże.
Przybliżenia pochodnych trzypunktowych
Różnica centralna
Przybliżenia pochodnych trzypunktowych dla 2 pochodnej
Różnica centralna dla 2 pochodnej
Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora i analiza błędu obcięcia (dyskretyzacji)
Uwaga:
zakładamy istnienie n-tej pochodnej
rozwijamy funkcję wokół punktu xi a liczymy dla np. xi+1 lub xi-1
O(h) - błąd obcięcia - pewna niewielka wartość proporcjonalna do h
Błąd obcięcia dla różnic centralnych
Ogólny wzór obcięcia dla przybliżeń różnicowych
p - rząd dokładności przybliżenia
A - współczynnik wyrazu dominującego
A, B, C,.. - współczynniki zależne od wyższych pochodnych f(x)
Wzory dwu - trzypunktowe dla pochodnych w węzłach końcowych siatki (prawostronne)
Rozwinięcie wokół x0
Wzory dwu - trzypunktowe dla pochodnych w węzłach końcowych siatki (lewostronne)
Analiza błędów z uwzględnieniem wpływu błędów maszynowych
e - błąd reprezentacji liczbowej
δO - błąd arytmetyczny odejmowania
δD - błąd arytmetyczny dzielenia
pomijamy błąd reprezentacji h
pomijamy błędy działań arytmetycznych δ
liczymy bewzgl. wart. z błędu przybliżenia |f’przyb(xi) - fprzyb(xi)|
wyznaczamy błąd maszynowy i obcięcia
Błąd maszynowy jest odwrotnie proporcjonalny do h
A błąd obcięcia jest wprost proporcjonalny do h
Zależności między błędami
Teoretycznie najlepszym wyborem jest hopt - odpowiada najmniejszemu błędowi całkowitemu.
Natomiast w praktyce należy wybierać h » hopt, bo mamy większą kontrolę nad błędem obcięcia.
Wyprowadzanie wzorów na pochodne
w ogólnym przypadku siatek niejednorodnych
Dwie alternatywne metody:
1) Rozwinięcia w szereg + warunki zgodności 2 pochodną + minimalizacja błędu obcięcia.
2) Różniczkowanie analityczne wzorów interpolacyjnych Lagrange’a
Metoda wyprowadzenia wzoru trzypunktowego na pierwszą pochodną w wewnętrznym węźle siatki niejednorodnej
Rozwinięcie f(xi+1) i f(xi-1) wokół xi
Mnożymy współczynniki do wyznaczenia (a,b,c) przez rozwinięcia funkcji. Otrzymujemy pochodną + T (błąd obcięcia)
Grupujemy wyrazy zgodnie z kolejnymi pochodnymi
Minimalizujemy T rozwiązując układ równiań
Gotowy wzór na f’(xi)