09 ANOVA

Analýza rozptylu (ANOVA)

statistická metoda pro testování rozdílů mezi průměry více než dvou skupin
alternativa k provádění mnoha t-testů
testuje jedinou nulovou hypotézu o rovnosti všech průměrů

t-test

statistický test určený pro porovnání dvou průměrů
při více skupinách je nutné použít ANOVA

Problém vícenásobných t-testů

pravděpodobnosti v t-rozdělení platí pouze pro jediné srovnání
s rostoucím počtem testů roste riziko chyby I. druhu

Chyba I. druhu

zamítnutí pravdivé nulové hypotézy
při vícenásobném testování výrazně narůstá

Rozptyl uvnitř skupin (within-groups variance)

vyjadřuje variabilitu mezi jednotlivci uvnitř stejné skupiny
ukazuje, jak moc se liší osoby v rámci skupiny

Rozptyl mezi skupinami (between-groups variance)

vyjadřuje variabilitu mezi průměry jednotlivých skupin
odráží vliv nezávislé proměnné

Logika analýzy rozptylu

ANOVA netestuje přímo průměry, ale rozptyly
porovnává rozptyl mezi skupinami a uvnitř skupin

F-statistika

poměr rozptylu mezi skupinami a rozptylu uvnitř skupin
F = MSB / MSW

Interpretace F

F = 1 → žádné rozdíly mezi skupinami
F > 1 → možné systematické rozdíly
statistická významnost se ověřuje pomocí F-rozdělení

Celkový rozptyl (SST)

vyjadřuje celkovou variabilitu dat
platí: SST = SSB + SSW

Výpočet SST

SST = Σ(X − X̄)²
alternativně: SST = ΣX² − (ΣX)² / n

Rozptyl mezi skupinami (SSB)

vyjadřuje variabilitu mezi průměry skupin
SSB = Σ nk (X̄k − X̄)²

Rozptyl uvnitř skupin (SSW)

vyjadřuje variabilitu uvnitř jednotlivých skupin
SSW = Σ(X − X̄k)²
lze spočítat jako SSW = SST − SSB

Stupně volnosti – celkem

dfT = n − 1
n = celkový počet pozorování

Stupně volnosti – mezi skupinami

dfB = k − 1
k = počet skupin

Stupně volnosti – uvnitř skupin

dfW = n − k

Mean Square Between (MSB)

MSB = SSB / dfB
odhad rozptylu mezi skupinami

Mean Square Within (MSW)

MSW = SSW / dfW
odhad rozptylu uvnitř skupin

Test statistické významnosti v ANOVA

vypočtené F se porovnává s kritickou hodnotou F
kritická hodnota závisí na α a stupních volnosti

F-rozdělení

pravděpodobnostní rozdělení používané v ANOVA
závisí na dvou stupních volnosti (dfB, dfW)

Rozhodnutí o významnosti

pokud F > Fkrit → výsledek je statisticky významný
zamítáme nulovou hypotézu

Předpoklad normality

závislá proměnná má přibližně normální rozdělení

Homogenita rozptylů

rozptyly jednotlivých skupin jsou si podobné
testuje se např. Leveneovým testem

Leveneův test

test rovnosti rozptylů
nevýznamný výsledek → předpoklad homogenity splněn

Mnohonásobná porovnání (post-hoc testy)

používají se po statisticky významném F-testu
zjišťují, mezi kterými skupinami je rozdíl

Smysl post-hoc testů

ANOVA říká, že rozdíl existuje
post-hoc testy říkají, kde konkrétně

Fisherův LSD test

liberálnější post-hoc test
vyšší riziko chyby I. druhu

Bonferroniho test

přísnější post-hoc test
koriguje hladinu významnosti podle počtu porovnání

Tukeyho test

často používaný post-hoc test
vhodný pro všechny dvojice porovnání

Scheffeho test

velmi konzervativní post-hoc test
nižší riziko falešně pozitivních výsledků

Jednoduchá (one-way) ANOVA

jedna nezávislá proměnná
více než dvě skupiny

Opakovaná měření (Repeated Measures ANOVA)

stejný soubor osob měřen vícekrát
používá se při více než dvou měřeních

Faktor

nezávislá proměnná v analýze rozptylu
má několik úrovní

Faktoriální ANOVA

obsahuje více faktorů
testuje hlavní efekty a interakce

Hlavní efekt

vliv jedné nezávislé proměnné
zprůměrovaný přes úrovně ostatních faktorů

Interakce

účinek jednoho faktoru závisí na úrovni druhého
vlivy faktorů nejsou nezávislé

Smíšený design (mixed design)

kombinuje opakovaná měření a nezávislé výběry

Analýza kovariance (ANCOVA)

kombinuje ANOVA a regresi
obsahuje spojitou kovariátu

Kovariát

spojitá proměnná kontrolovaná v analýze
pomáhá odstranit vliv rušivých proměnných

Vícerozměrná analýza rozptylu (MANOVA)

více závislých proměnných současně
testuje jejich společnou variabilitu