Планиметрия

Вся теория по школьной планиметрии к экзаменам

Сумма углов треугольника

равна 180°

Внешний угол треугольника

равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним

Первый признак равенства треугольников

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Равнобедренный треугольник — это

треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья — основанием.

Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника

Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию равнобедренного треугольника, совпадают.

Свойство углов равнобедренного треугольника

Углы при основании равнобедренного треугольника равны

Центр описанной окружности треугольника

Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Заметим, что в общем случае серединный перпендикуляр к стороне треугольника не проходит через противоположную вершину треугольника.

Свойства параллельных прямых

При пересечении двух параллельных прямых секущей: накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, а сумма односторонних углов равна 180°

Признаки параллельных прямых

Если при пересечении двух прямых секущей:

• накрест лежащие углы равны

• соответственные углы равны

• сумма односторонних углов равна 180°

то такие две прямые параллельны.

Обобщенная теорема Фалеса

Параллельные секущие образуют на прямых пропорциональные отрезки

Обратная обобщенная теорема Фалеса

Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них пропорциональные между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.

Подобные треугольники

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны, лежащие против равных углов, относятся друг к другу с одним и тем же коэффициентом.

Первый признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между ними равны, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Средняя линия треугольника — это

отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Свойства средней линии треугольника

• Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне.

• Средняя линия треугольника равна половине третьей стороны

• Средняя линия треугольника отсекает от треугольника подобный ему треугольник, подобный данному с коэффициентом 1/2

Свойство средних линий треугольника

Средние линии треугольника разбивают его на четыре равных треугольника

Свойства медианы треугольника

• Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади (равновеликих)

• Медианы в треугольнике точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины

• Все три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников

Свойство медианы прямоугольного треугольника

Медиана треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы

Теорема Пифагора

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Обратная теорема Пифагора

если квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник является прямоугольным

Свойства высоты прямоугольного треугольника

• Высота из вершины прямого угла треугольника делит его на два треугольника, подобных исходному

• Квадрат высоты из прямого угла треугольника равен произведению длин отрезков, на которые она делит гипотенузу

• Проекция катета на гипотенузу равна частному квадрата катета и гипотенузы

• Высота из вершины прямого угла равна частному произведения катетов и гипотенузы

Вписанная окружность в прямоугольном треугольнике

Вершина прямого угла, точки касания вписанной окружности и катетов и центр вписанной окружности прямоугольного треугольника образуют квадрат.

Центр вписанной окружности треугольника

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис углов треугольника

Прямоугольный треугольник с острым углом в 30 градусов

• Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы

• Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла 30°

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

• Синус острого угла — это отношение противолежащего ему катета к гипотенузе

• Косинус острого угла — это отношение прилежащего к нему катета к гипотенузе

• Тангенс острого угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему

• Котангенс острого угла — это отношение прилежащего катета к противолежащему

Выпуклый четырехугольник

• весь четырехугольник находится по одну сторону от прямой, содержащей одну его сторону

• сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°

Параллелограмм — это

выпуклый четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Признаки параллелограмма

четырехугольник является параллелограммом, если

• противоположные стороны попарно равны.

• две стороны равны и параллельны.

• диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Свойства параллелограмма

• противоположные стороны попарно равны.

• противоположные углы попарно равны.

• диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Ромб — это

параллелограмм, у которого все стороны равны.

Признаки ромба

параллелограмм является ромбом, если

• диагонали взаимно перпендикулярны.

• диагонали являются биссектрисами его углов.

Свойства ромба

• диагонали взаимно перпендикулярны.

• диагонали являются биссектрисами его углов.

+ свойства параллелограмма

Трапеция — это

выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие непараллельны. Параллельные стороны называются основаниями, а две другие — боковыми.

Свойство трапеции

Сумма углов при боковой стороне равна 180°

Признаки равнобедренной трапеции

• углы при основании равны.

• диагонали равны.

Прямоугольник — это

параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой.

Признаки прямоугольника

• Если у выпуклого четырехугольника все углы прямые, то он является прямоугольником.

• Если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.

Свойство прямоугольника

Диагонали прямоугольника равны.

+ св-ва параллелограмма

Квадрат — это

прямоугольник, у которого все стороны равны.

ИЛИ

ромб, у которого хотя бы один угол прямой.

Свойства квадрата

• Диагональ квадрата со стороной a равна a√2

+ св-ва ромба и прямоугольника

Сумма углов выпуклого n-угольника

Сумма внутренних углов любого выпуклого n-угольника равна (n−2)·180°

Правильный многоугольник — это

многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Правильный треугольник

• Все углы правильного треугольника равны 60°

• Высота, медиана и биссектриса правильного треугольника равна a√3/2 , если сторона треугольника равна a.

• Площадь правильного треугольника со стороной a равна (a^2√3)/4.

Правильный шестиугольник

• Большие диагонали делят его на 6 равных равносторонних треугольников.

• Большая диагональ в два раза больше стороны.

• Центры вписанной и описанной окружностей совпадают — это точка пересечения больших диагоналей.

• Радиус описанной окружности равен стороне.

Площади треугольников, имеющих общую сторону

относятся как высоты, проведенные к этой стороне

Площади треугольников, имеющих общий угол

относятся как произведения сторон, образующих этот угол

Площади треугольников, имеющих общую высоту

относятся как основания, к которым эта высота проведена

Площади подобных треугольников

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия

Периметры подобных треугольников

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия

Вписанные углы

Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны половине центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Радиус и касательная

Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной

Равные хорды

• равные хорды стягивают равные дуги.

• обратно: равные дуги стягиваются равными хордами

Угол между хордой и касательной

Угол между хордой и касательной равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, отсеченную хордой.

Свойство касательной и секущей, проведенных из одной точки

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

Секущие, проведенные из одной точки

Для данной окружности и точки Oвне окружности произведение секущей на ее внешнюю часть — величина постоянная: OA·OB = OC·OD

Касательные, проведенные из одной точки

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны

Пересекающиеся хорды

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны

Угол между пересекающимися хордами

Угол между пересекающимися хордами окружности равен полусумме дуг, заключенных между ними

Угол между секущими, проведенными из одной точки

равен полуразности дуг, заключенных между ними

Радиус и хорда

• если радиус перпендикулярен хорде, то он делит ее пополам.

• обратное: если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.

Признаки вписанности многоугольников

• Углы, опирающиеся на одну сторону, равны

• Угол равен смежному с противолежащим

• Явно найдена точка, от которой равноудалены вершины

• Сумма противолежащих углов равна 180°

• Частный случай: два угла по 90° опираются на одну сторону, являющуюся диаметром.

Основные свойства биссектрисы

• каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.

• обратно: если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.

• если окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла.

• биссектрисы односторонних углов при параллельных прямых взаимно перпендикулярны.

• биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны

• в треугольнике стороны, заключающие угол, из которого проведена биссектриса, относятся друг к другу также, как отрезки третьей стороны, на которые биссектриса ее делит

Окружность, вписанная в многоугольник

Центр вписанной в четырехугольник (многоугольник) окружности лежит на пересечении биссектрис его углов.

Свойство описанного четырехугольника

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон четырехугольника равны.

Признак вписанного четырехугольника

Если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность

Средняя линия трапеции — это

отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Она параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме

Замечательное свойство трапеции

Середины оснований трапеции, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований

Формула длины медианы треугольника

Длина медианы треугольника равна ½ от корня из разности удвоенной суммы квадратов сторон, смежных с вершиной, из которой проведена медиана, и квадрата третьей стороны (той, которую медиана делит)

$$m=\frac{1}{2}\sqrt{2a² + 2b² - c²}$$

Формулы площади треугольника

• Формула Герона:

$$S =\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$$

• Площадь треугольника равна полупроизведению основания на высоту

$$S=\frac12ah$$

• Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла, заключенного между ними

$$S=\frac12ab\sin\alpha$$

• Площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной в треугольник окружности

$$S=pr$$

• Площадь треугольника равна произведению сторон, деленному на учетверенный радиус описанной около треугольника окружности

$$S=\frac{abc}{4R}$$

Площадь выпуклого четырехугольника

Равна полупроизведению диагоналей на синус угла между ними

$$S=\frac{1}{2}d_1d_2 \sin{\alpha}$$

Площадь параллелограмма

Равна произведению высоты на сторону, к которой она опущена

$$S=ah$$

Площадь ромба

Равна полупроизведению диагоналей

$$S=\frac{d_1d_2}{2}$$

Площадь прямоугольника

Равна произведению сторон прямоугольника

$$S=ab$$

Площадь квадрата

Равна квадрату длины стороны ЛИБО полупроизведению диагоналей

$$S=a^2=\frac{d_1d_2}{2}$$

Площадь трапеции

Равна полусумме оснований, умноженной на высоту

$$S=\frac{a + b}{2}h$$

Формула Брахмагупты

Площадь вписанного в окружность четырехугольника равна корню из произведения его полупериметра на разности полупериметра и каждой его стороны

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$$

Длина и координаты середины отрезка

Если O - середина отрезка AB, и концы отрезка имеют координаты

$A(x_1; y_1)$, $B(x_2;y_2)$

то верно следующее:

$$AB=\sqrt{(x_1 - x_2)² + (y_1 - y_2)²}$$

$$O \left( \frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$$

Правило треугольника суммы векторов

Отложить вектор $\vec{b}$ от конца вектора $\vec{a}$ , тогда $\vec{a}+\vec{b}$ будет равен вектору, начало которого совпадает с началом вектора $\vec{a}$ , а конец совпадает с концом вектора $\vec{b}$ .

Правило параллелограмма суммы векторов

Отложить вектор $\vec{b}$ от начала вектора $\vec{a}$ , построить на данных векторах параллелограмм. Тогда $\vec{a}+\vec{b}$ будет равен вектору, совпадающему с диагональю параллелограмма, начало которого совпадает с началом вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ .

Координаты вектора

Пусть даны точки $A(x_1;y_1), B(x_2;y_2)$ .

Тогда вектор $\overrightarrow{AB}$ имеет координаты:

$\overrightarrow{AB} = \left\{ x_2 - x_1; y_2 - y_1 \right\}$

Если $\overrightarrow{AB} = \{a, b\}$ , то его длина вычисляется по формуле:

$| \overrightarrow{AB} | = \sqrt{a² + b²}$

Сумма векторов в координатах

Пусть даны векторы $\overrightarrow{A_1A_2}(x_1;y_1), \overrightarrow{B_1B_2}(x_2;y_2)$ .

Тогда сумма этих векторов имеет координаты:

$\overrightarrow{A_1A_2} + \overrightarrow{B_1B_2} = \left\{ x_2 + x_1; y_2 + y_1 \right\}$

Скалярное произведение векторов

• равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

$$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\left\vert\overrightarrow{a}\right\vert\cdot\left\vert\overrightarrow{b}\right\vert\cdot\cos\alpha$$

• в координатах:

$$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}= x_a x_b + y_a y_b$$

Теорема Менелая

Если прямая пересекает стороны AB и BC в точках C1 и A1 соответственно, а также продолжение стороны AC в точке B1, то выполнено следующее соотношение:

$$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A} = 1$$

(удобнее с рисунком)

Теорема Чевы

Если AA1,BB1 и CC1 — чевианы (рандомные линии в треугольнике), пересекающиеся в одной точке, то для них выполнено следующее соотношение:

$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A} = 1$

(удобнее с рисунком)

Теорема Ван-Обеля

Если AA1, BB1 и CC1 — чевианы, пересекающиеся в одной точке O, то для них выполнено следующее соотношение:

$\frac{BO}{OB_1} = \frac{BC_1}{C_1A} + \frac{BA_1}{A_1C}$

(тоже удобнее с рисунком)

Теорема Стюарта

Длина чевиана вычисляется по формуле:

$$p^2=a^2 \cdot \frac{x}{x + y} + b² \cdot \frac{y}{x + y} - xy$$

Теорема косинусов

$$c^2=a² + b² - 2ab \cos{\alpha}$$

Теорема синусов

Отношение длин сторон треугольника к синусам противолежащих углов одинаково и равно удвоенному радиусу описанной окружности.

$$2R = \frac{a}{\sin{\alpha}} + \frac{b}{\sin{\beta}} + \frac{c}{\sin{\gamma}}$$

Теорема Птолемея

Во вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.

$$d_1d_2 = ac + bd$$

Теорема Вариньона

Середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.