Flashcard di Inferenza Statistica e Calcolo delle Probabilità

Flashcard di glossario e concetti chiave sui temi di Inferenza Statistica, Calcolo delle Probabilità, Campionamento, Stima Puntuale, Intervalli di Confidenza e Test di Ipotesi.

Statistica Descrittiva

Indagine totale condotta su tutte le unità della popolazione allo scopo di descriverne le caratteristiche.

Inferenza Statistica

Insieme degli strumenti statistici utilizzati quando non si può osservare l'intera popolazione, ma solo un campione di $n$ unità, per risalire attraverso un processo di induzione ai parametri della popolazione nel suo complesso.

Fatto Casuale

Qualsiasi avvenimento suscettibile di manifestazioni secondo una pluralità di alternative e del quale non è noto l'esito.

Esperimento Casuale

Esperimento di cui non è noto l'esito, ma che risulta ripetibile molteplici volte nelle medesime condizioni uniformi.

Spazio Campionario

L'insieme di tutti i risultati possibili di un fatto o esperimento casuale, indicato con il simbolo $S$ (o \text{\textOmega}).

Spazio Campionario Discreto Finito

Spazio campionario che contiene un numero finito di eventi elementari.

Spazio Campionario Discreto Numerabile

Spazio campionario formato da un numero infinito di eventi (senza limite superiore) che può essere messo in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali.

Spazio Campionario Continuo

Spazio campionario che contiene un'infinità non numerabile di eventi elementari, corrispondenti a tutti i possibili valori reali tra $0$ e \text{\textinfty}.

Evento Elementare

Ciascun singolo elemento dello spazio campionario $S$ (indicato con $e$), rappresentante un risultato dell'esperimento non ulteriormente decomponibile.

Evento Composto

Qualsiasi evento costituito da un insieme di due o più eventi elementari, rappresentando un sottoinsieme dello spazio campionario $S$.

Evento Impossibile

Evento che non contiene alcun evento elementare dello spazio campionario, indicato con l'insieme vuoto \text{\textemptyset}, la cui probabilità di verificarsi è pari a $0$.

Evento Certo

Evento coincidente con l'intero spazio campionario $S$, formato da tutti i possibili risultati dell'esperimento casuale, che si verifica sempre con probabilità pari a $1$.

Evento Complementare

L'evento $E'$ (o $\text{\textbar}E\text{\textbar}$) formato da tutti e soli gli eventi elementari dello spazio campionario $S$ che non appartengono ad $E$.

Evento Unione

L'evento E_1 \text{\textcup} E_2 \text{\textcup} \text{\textellipsis} \text{\textcup} E_n composto dagli eventi elementari che appartengono ad $E_1$, o ad $E_2$, o ad $E_n$, ovvero l'evento che si verifica quando si verifica almeno uno degli eventi.

Evento Intersezione

L'evento E_1 \text{\textcap} E_2 \text{\textcap} \text{\textellipsis} \text{\textcap} E_n composto dagli eventi elementari appartenenti contemporaneamente a tutti gli eventi $E_i$, ovvero l'evento che si verifica quando si verificano tutti gli eventi.

Eventi Incompatibili

Due o più eventi la cui intersezione è l'insieme vuoto (E_1 \text{\textcap} E_2 = \text{\textemptyset}), tali per cui il verificarsi di un evento esclude il verificarsi dei rimanenti.

Eventi Esaustivi

Insieme di $n$ eventi la cui unione comprende l'intero spazio campionario (\text{\textcup}_{i=1}^n E_i = S), ovvero tali per cui uno degli $n$ eventi si deve necessariamente verificare.

Partizione dello Spazio Campionario

Insieme di $n$ eventi tra loro incompatibili ed esaustivi, tale che si debba verificare sempre uno ed uno solo di tali eventi.

Teoria Classica della Probabilità

Impostazione che definisce la probabilità di un evento $A$ come il rapporto P(A) = \text{\textfrac}{n_A}{n} tra il numero dei casi favorevoli $n_A$ e il numero dei casi possibili $n$, ipotizzando esiti incompatibili ed ugualmente possibili.

Teoria Frequentista della Probabilità

Impostazione che stabilisce la probabilità di un evento in base all'osservazione empirica, definendola come la frequenza relativa con cui l'evento si manifesta quando l'esperimento viene ripetuto un numero elevato di volte in condizioni uniformi.

Teoria Soggettiva della Probabilità

Impostazione che definisce la probabilità come il grado di fiducia che un individuo coerente ha nel verificarsi di un evento, in base alle informazioni in suo possesso.

Teoria Assiomatica della Probabilità

Approccio matematico che definisce la probabilità come una funzione reale che soddisfa tre assiomi fondamentali: P(e_i) \text{\textge} 0, \text{\textsum} P(e_i) = 1 e P(E) = \text{\textsum}_{e_i \text{\textin} E} P(e_i).

Probabilità Condizionata

La probabilità del verificarsi dell'evento $A$ sotto la condizione che si sia già verificato l'evento $B$, definita come P(A|B) = \text{\textfrac}{P(A \text{\textcap} B)}{P(B)} per $P(B) > 0$.

Indipendenza Statistica

Proprietà per cui il verificarsi dell'evento $B$ non modifica la probabilità dell'evento $A$, ovvero $P(A|B) = P(A)$, il che implica P(A \text{\textcap} B) = P(A) \text{\texttimes} P(B).

Variabile Casuale

Funzione definita sullo spazio campionario $S$ che associa ad ogni evento E \text{\textsubset} S uno ed un solo numero reale.

Funzione di Probabilità

Funzione $f(x) = P(X = x)$ definita per variabili casuali discrete, che associa a ciascun possibile valore $x$ la rispettiva probabilità di essere assunto dalla variabile.

Funzione di Ripartizione

Funzione F(x) = P(X \text{\textle} x) che associa a ciascun valore $x$ la probabilità cumulata che la variabile casuale $X$ assuma un valore minore o uguale a $x$.

Valore Atteso

La media teorica di una variabile casuale $X$, indicata con $E(X)$ o \text{\textmu}_X, calcolata come \text{\textsum} x_i P(x_i) nel caso discreto.

Varianza di una Variabile Casuale

Misura di dispersione dei valori della variabile casuale $X$ attorno al suo valore atteso \text{\textmu}_X, definita come V(X) = E[(X - \text{\textmu}_X)^2] = \text{\textsum} (x_i - \text{\textmu}_X)^2 P(x_i) per variabili discrete.

Variabile Casuale di Bernoulli

Variabile casuale discreta dicotomica che assume valore $1$ (successo) con probabilità \text{\textpi} e valore $0$ (insuccesso) con probabilità 1 - \text{\textpi}.

Variabile Casuale Binomiale

Variabile casuale discreta che rappresenta il numero di successi $x$ ottenuti in $n$ prove indipendenti ed identicamente distribuite di Bernoulli, con funzione di probabilità f(x) = \text{\textbinom}{n}{x} \text{\textpi}^x (1 - \text{\textpi})^{n-x}.

Coefficiente Binomiale

Espressione \text{\textbinom}{n}{x} = \text{\textfrac}{n!}{x!(n-x)!} che indica il numero di modi possibili in cui si possono disporre $x$ successi in $n$ prove.

Funzione di Densità

Funzione f(x) \text{\textge} 0 per variabili casuali continue, la cui area totale sottesa è pari a $1$ e la cui area sottesa in un intervallo rappresenta la probabilità che la variabile assuma un valore in quell'intervallo.

Variabile Casuale Normale

Variabile casuale continua con funzione di densità campanulare simmetrica rispetto alla media \text{\textmu}, completamente definita dai parametri media \text{\textmu} e varianza \text{\textsigma}^2.

Standardizzazione

Trasformazione lineare di una variabile casuale $X$ (con media \text{\textmu} e sqm \text{\textsigma}) nella variabile standardizzata Z = \text{\textfrac}{X - \text{\textmu}}{\text{\textsigma}}, avente media pari a $0$ e varianza pari a $1$.

Campionamento Casuale Semplice

Metodo di campionamento probabilistico in cui ogni unità della popolazione ha la stessa probabilità di essere inclusa nel campione di ampiezza $n$.

Errore Campionario

Scostamento tra la stima calcolata sul campione e il parametro incognito della popolazione dovuto esclusivamente al fatto di osservare un sottoinsieme della popolazione scelto a caso.

Errore Non Campionario

Insieme di inesattezze che possono sorgere in un'indagine indipendentemente dal campionamento casuale, inclusi errori di copertura, di mancata risposta e di misurazione.

Statistica Campionaria

Qualsiasi funzione numerica definita sulle osservazioni del campione che non contiene parametri incogniti.

Stimatore

Variabile casuale funzione delle osservazioni campionarie utilizzata per stimare un parametro incognito della popolazione.

Stima

Singolo valore numerico assunto dallo stimatore in corrispondenza del campione effettivamente osservato.

Stimatore Corretto

Uno stimatore $T$ il cui valore atteso coincide con il parametro incognito \text{\texttheta} della popolazione per tutti i suoi possibili valori (E(T) = \text{\texttheta}).

Distorsione di uno Stimatore

La differenza tra il valore atteso dello stimatore $T$ e il parametro incognito \text{\texttheta}, definita come B(T) = E(T) - \text{\texttheta}.

Errore Quadratico Medio (MSE)

La media degli scarti al quadrato tra lo stimatore $T$ e il vero parametro \text{\texttheta}, espressa come \text{MSE}[T] = E[(T - \text{\texttheta})^2] = V[T] + (B[T])^2.

Stimatore Consistente

Uno stimatore $T_n$ il cui errore quadratico medio tende a zero al tendere dell'ampiezza campionaria $n$ all'infinito (\text{\textlim}_{n \text{\textrightarrow} \text{\textinfty}} \text{MSE}[T_n] = 0).

Varianza Campionaria Corretta

Lo stimatore corretto della varianza della popolazione \text{\textsigma}^2, espresso dalla formula S^2 = \text{\textfrac}{1}{n-1} \text{\textsum}_{i=1}^n (X_i - \text{\textbar}X\text{\textbar})^2.

Teorema del Limite Centrale

Teorema secondo cui la media campionaria $\text{\textbar}X\text{\textbar}$ di $n$ variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite tende a distribuirsi come una Normale al tendere di $n$ all'infinito (n \text{\textrightarrow} \text{\textinfty}).

Intervallo di Confidenza

Intervallo casuale determinato a partire dai dati campionari che contiene il parametro incognito della popolazione con un fissato livello di probabilità 1 - \text{\textalpha}.

Test di Ipotesi

Regola di decisione tra due ipotesi contrapposte ($H_0$ ed $H_1$) riguardanti una caratteristica della popolazione, basata sulle informazioni campionarie.

Ipotesi Nulla

Ipotesi preesistente $H_0$ sottoposta a verifica che specifica un valore del parametro della popolazione ed è ritenuta vera fino a prova contraria.

Ipotesi Alternativa

Ipotesi $H_1$ che contrasta l'ipotesi nulla e viene accettata quando l'evidenza campionaria porta a rifiutare $H_0$.

Errore del I Tipo

L'errore commesso rifiutando l'ipotesi nulla $H_0$ quando essa è in realtà vera; la sua probabilità è indicata con \text{\textalpha}.

Errore del II Tipo

L'errore commesso accettando l'ipotesi nulla $H_0$ quando essa è in realtà falsa; la sua probabilità è indicata con \text{\textbeta}.

Potenza del Test

La probabilità di rifiutare l'ipotesi nulla $H_0$ quando essa è falsa, pari a 1 - \text{\textbeta}.

p-value

La probabilità, calcolata sotto l'ipotesi nulla $H_0$, di osservare un valore della statistica test uguale o più estremo di quello ottenuto dal campione osservato.

Distribuzione t di Student

Distribuzione di probabilità simmetrica a campana con code più pesanti della Normale standard, utilizzata per l'inferenza sulla media quando la varianza della popolazione è incognita, dipendente da $n - 1$ gradi di libertà.