Flashcard di Inferenza Statistica e Calcolo delle Probabilità

Introduzione all'Inferenza Statistica e Concetti Fondamentali

• Statistica Descrittiva vs Inferenza Statistica:
  • Statistica Descrittiva: si occupa dell'indagine totale su tutte le $N$ unità che compongono la popolazione di interesse.
  • Inferenza Statistica: definisce l'insieme degli strumenti statistici utilizzati quando, per ragioni di impossibilità materiale o di convenienza economica e temporale, non si può osservare l'intera popolazione, ma soltanto un suo campione di $n$ unità ($n < N$).
  • Indagine Campionaria: i caratteri statistici d'interesse vengono rilevati ed osservati unicamente per le $n$ unità appartenenti al campione. Tramite opportune tecniche induttive, dagli indici calcolati sul campione si risale ai corrispondenti indici dell'intera popolazione per descrivere il fenomeno nel suo complesso.
  • Incertezza e Margine di Errore: il passaggio dal campione alla popolazione comporta inevitabilmente un margine di incertezza. La metodologia statistica fornisce gli strumenti idonei a stimare e quantificare tale margine di errore.

• Componenti del Modello di Inferenza Statistica:

  • $F$: Fenomeno o carattere/i di interesse rilevato nella popolazione.
  • $P$: Popolazione obiettivo di dimensione $N$.
  • $C$: Campione selezionato di dimensione $n$ ($n < N$).
  • $t_i(\text{cdot})$: Funzioni ed operazioni algebriche o logiche applicate alle unità campionarie.
  • $R_c$: Insieme caratteristico dei risultati calcolati sul campione.
  • $R$: Insieme dei parametri della popolazione da stimare mediante induzione.

• Concetti Chiave dello Studio dell'Inferenza:

  • Probabilità e Teoria della Misura dell'Incertezza.
  • Variabili Casuali (discrete e continue).
  • Distribuzioni Campionarie degli stimatori.
  • Stima dei Parametri (suddivisa in Stima Puntuale e Stima Intervallare).
  • Verifica delle Ipotesi (riferita a Medie e Proporzioni).

• Fatti ed Esperimenti Casuali:

  • Fatto Casuale: qualsiasi avvenimento suscettibile di manifestarsi secondo una pluralità di alternative, il cui esito specifico non è noto a priori. Esempi:
  • Il sesso di un nascituro.
  • L'altezza che un bambino raggiungerà da adulto.
  • Il valore del tasso di cambio euro/dollaro domani alle ore 12:00.
  • Il prezzo del barile di petrolio tra un mese esatto.
  • Esperimento Casuale (o Prova): esperimento di cui non è noto l'esito finale, ma che, a differenza del semplice fatto casuale, è pienamente ripetibile molteplici volte sotto medesime condizioni uniformi. Esempi:
  • Il lancio di una singola moneta o di due monete.
  • Il lancio ripetuto di una moneta.
  • Il lancio di uno o due dadi.
  • L'estrazione di una carta da un mazzo di carte.

Spazio Campionario, Eventi ed Insieme delle Parti

• Definizione di Spazio Campionario ($S$ o $\Omega$):

  • L'insieme matematico che racchiude la totalità dei risultati possibili di un fatto o di un esperimento casuale prende il nome di Spazio Campionario e viene simbolicamente indicato con $S$ o $\Omega$.
  • Esempi Immediati:
  • Lancio di una moneta: $S = \{T, C\}$ (con $2$ esiti possibili: testa o croce).
  • Lancio di un dado a sei facce: $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ (con $6$ esiti possibili).
  • Determinazioni Complesse (Spazi Continui ed Indefiniti):
  • Quando l'esito è frutto di una misurazione reale (ad esempio l'altezza di un individuo), il risultato è un numero reale positivo del quale non è noto teoricamente l'estremo superiore.
  • Per evitare l'assurdo logico di fissare una soglia arbitraria (come ammettere un'altezza di $2.5\,\text{m}$ e considerare impossibile un'altezza di $2.5\,\text{m} + 1\,\text{mm}$), è convenzione operativa considerare come ammissibile qualsiasi valore reale positivo ($[0, +\infty)$), assegnando successivamente probabilità nulle o infinitesimali ai valori biologicamente non riscontrabili.

• Classificazione Sistemativa degli Spazi Campionari:

  • Discreti Finiti: contengono un numero finito e numerabile di eventi elementari (es. lancio di monete, dadi, carte).
  • Discreti Numerabili: costituiti da un numero infinito di eventi che possono essere messi in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali $\mathbb{N}$. Esempio: il lancio di una moneta effettuato ad oltranza fino all'uscita della prima testa ($S = \{1, 2, 3, \dots, \infty\}$).
  • Continui: contengono un'infinità non numerabile di eventi elementari, corrispondenti a tutti i numeri reali compresi in un dato intervallo ($[0, +\infty)$ per peso ed altezza).

• Eventi Elementari e Composti:

  • Evento Elementare ($e_i$): ciascun singolo risultato individuale appartenente allo spazio campionario $S$, non ulteriormente decomponibile.
  • Evento Composto ($E$): qualsiasi insieme o sottoinsieme formato da due o più eventi elementari di $S$.
  • Esempi di eventi composti nel lancio di un dado:
  • $E_1 = \{\text{uscita di una faccia pari}\} = \{2, 4, 6\}$.
  • $E_2 = \{\text{uscita di una faccia} \ge 5\} = \{5, 6\}$.
  • Verificarsi di un Evento: un evento composto $E \subset S$ si dice verificato se l'esito reale dell'esperimento è un evento elementare $e_i$ tale che $e_i \in E$.

• Conteggio e Struttura dei Sottoinsiemi dell'Insieme delle Parti:

  • Dato uno spazio campionario finito $S$ composto da $n$ eventi elementari, il numero totale di sottoinsiemi (eventi elementari, composti, evento certo ed evento impossibile) che si possono definire è pari a $2^n$
  • Evento Impossibile (insieme vuoto, $\emptyset$): evento che non contiene alcun evento elementare ($E = \emptyset$). Esempio: nel lancio di un dado, l'uscita della faccia $7$
  • Evento Certo (spazio campionario, $S$): l'insieme di tutti i risultati possibili; poiché l'esperimento produrrà necessariamente un esito in $S$, esso si verifica sempre.
  • Dimostrazione del numero di eventi:
  • Moneta ($n = 2$, $S = \{T, C\}$): $2^2 = 4$ sottoinsiemi, ovvero $\{T\}$, $\{C\}$, $\{T, C\} = S$, e $\emptyset$
  • Dado ($n = 6$, $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$): $2^6 = 64$ sottoinsiemi possibili, inclusi i singoli singleton, le coppie, le terzine, fino a $S$ e $\emptyset$

Relazioni, Operazioni ed Algebra degli Eventi

• Implicazione tra Eventi ($E_2 \subset E_1$):

  • Dati due eventi $E_1, E_2 \subset S$, si dice che $E_2$ implica $E_1$ ($E_2 \subset E_1$) quando ogni evento elementare appartenente ad $E_2$ appartiene necessariamente anche ad $E_1$. Il verificarsi di $E_2$ comporta il contestuale verificarsi di $E_1$
  • Esempio: nel lancio del dado, $E_2 = \{2, 4\}$ implica l'evento $E_1 = \{2, 4, 6\}$.

• Uguaglianza tra Eventi ($E_1 = E_2$):

  • Due eventi sono uguali se e solo se sono composti dai medesimi eventi elementari, il che equivale ad affermare che $E_1 \subset E_2$ e $E_2 \subset E_1$

• Evento Complementare ($E'$ o $\bar{E}$):

  • Il complementare dell'evento $E$ è l'evento costituito da tutti e soli gli eventi elementari di $S$ che non appartengono ad $E$. $E'$ si verifica se e solo se $E$ non si verifica.
  • Relazioni con gli estremi dello spazio campionario:
  • $S' = \emptyset$
  • $\emptyset' = S$
  • Proprietà di ortogonalità e completezza:
  • $E \cup E' = S$
  • $E \cap E' = \emptyset$
  • Esempio: nel lancio del dado, se $A = \{1, 3, 5\}$ e $B = \{4, 6\}$, i rispettivi complementari sono $A' = \{2, 4, 6\}$ e $B' = \{1, 2, 3, 5\}$.

• Operazioni Insiemistiche sugli Eventi:

  • Evento Unione ($E_1 \cup E_2$ o $E_1 \text{ o } E_2$):
  • Evento composto dagli eventi elementari che appartengono ad $E_1$, ad $E_2$, o a entrambi. Si verifica quando si verifica almeno uno degli eventi considerati.
  • Notazione generale per $n$ eventi: $\bigcup_{i=1}^n E_i$
  • Evento Intersezione ($E_1 \cap E_2$ o $E_1 \text{ e } E_2$):
  • Evento composto dagli eventi elementari appartenenti simultaneamente sia ad $E_1$ sia ad $E_2$. Si verifica quando si verificano tutti gli eventi considerati.
  • Notazione generale per $n$ eventi: $\bigcap_{i=1}^n E_i$
  • Esempio pratico (lancio del dado):
  • Dati $A = \{1, 3, 5\}$ e $B = \{3, 4, 5, 6\}$, si ha:
    • $A \cup B = \{1, 3, 4, 5, 6\}$
    • $A \cap B = \{3, 5\}$

• Incompatibilità ed Esaustività:

  • Eventi Incompatibili (Disgiunti):
  • Due eventi $E_1, E_2 \subset S$ sono incompatibili se $E_1 \cap E_2 = \emptyset$. Il verificarsi dell'uno esclude tassativamente il verificarsi dell'altro.
  • Per $n$ eventi, l'incompatibilità a coppie richiede $E_i \cap E_j = \emptyset, \quad \forall i \neq j$.
  • Tutti gli eventi elementari $e_i$ sono a due a due mutuamente incompatibili.
  • Esempio: dati $A = \{1, 3, 5\}$, $B = \{4, 6\}$, $C = \{1, 2, 3\}$:
    • $A \cap B = \emptyset$ (incompatibili).
    • $A \cap C = \{1, 3\}$ (compatibili).
    • $B \cap C = \emptyset$ (incompatibili).
  • Eventi Esaustivi:
  • $n$ eventi sono esaustivi se la loro unione costituisce l'intero spazio campionario: $\bigcup_{i=1}^n E_i = S$. Almeno uno degli $n$ eventi deve necessariamente verificarsi.
  • Partizione dello Spazio Campionario:
  • Un insieme di $n$ eventi $E_1, E_2, \dots, E_n$ forma una partizione di $S$ se gli eventi sono simultaneamente incompatibili ed esaustivi ($E_i \cap E_j = \emptyset, \forall i \neq j$ e $\bigcup_{i=1}^n E_i = S$). Si verifica sempre uno ed un solo evento della partizione. L'insieme di tutti gli eventi elementari è una partizione naturale di $S$.

Il Concetto di Probabilità e le Impostazioni Filosofiche

• Concetto Primitivo e Proposizione Fondamentale:

  • La probabilità è una misura quantitativa del grado di verosimiglianza con cui si ritiene si possa verificare un dato evento.
  • Trattandosi di un concetto primitivo, non può essere definita se non mediante sinonimi quali verosimiglianza, plausibilità o possibilità.
  • Legame tra prova, evento e probabilità: la prova genera l'evento con una data probabilità.

• Le Tre Impostazioni Filosofiche della Probabilità:

  1. Teoria Classica:
  • Sviluppata in origine per la risoluzione dei problemi legati ai giochi d'azzardo (Pascal, Fermat, Laplace).
  • Definizione: Sia dato un esperimento casuale che può dar luogo ad $n$ risultati incompatibili ed equipossibili. Se $n_A$ è il numero di eventi elementari che compongono l'evento $A$, la probabilità di $A$ è pari a:        $P(A) = \frac{n_A}{n} = \frac{\text{numero di casi favorevoli al verificarsi di } A}{\text{numero totale di casi possibili}}$
  • Esempi:
    • Lancio di una moneta equilibrata: $S = \{T, C\} \implies P(T) = P(C) = \frac{1}{2}$.
    • Lancio di un dado: $A = \{\text{faccia pari}\} = \{2, 4, 6\} \implies n_A = 3, n = 6 \implies P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Se $B = \{\text{faccia} \ge 5\} = \{5, 6\} \implies n_B = 2 \implies P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
    • Estrazione da un mazzo di $40$ carte: $A = \{\text{carta di cuori}\} \implies P(A) = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$.
  • Limiti della Teoria Classica:        1) Circolarità logica: la definizione di casi "ugualmente possibili" presuppone l'idea stessa di equiprobabilità.        2) Inapplicabilità ad esiti non simmetrici: non consente di calcolare la probabilità per monete non bilanciate o dadi truccati.        3) Inapplicabilità a contesti non deduttivi: non è applicabile a fenomeni reali non deducibili teoricamente (es. la probabilità che un nato domani a Roma sia maschio, o che un individuo di $10\,\text{anni}$ viva fino a $70\,\text{anni}$).
  1. Teoria Frequentista:
  • Fondata sull'osservazione empirica e sulla legge della frequenza relativa (von Mises).
  • Definizione: La probabilità di un evento $A$ è il limite a cui tende la frequenza relativa del verificarsi di $A$ quando l'esperimento viene ripetuto un numero infinito di volte ($n \to \infty$) sotto condizioni rigorosamente uniformi:        $P(A) = \lim_{n \to \infty} \frac{n_A}{n}$
  • Applicazione Pratica: Poiché non è possibile eseguire infinite prove, la probabilità viene approssimata dalla frequenza relativa registrata su un numero finito ma sufficientemente elevato di prove $n$. L'approssimazione migliora al crescere di $n$
  • Esempi:
    • Lanciando una moneta per $100\,\text{volte}$ si osservano $f_T = 0.56$ e $f_C = 0.44$, assunte come approssimazioni empiriche della probabilità di ciascun evento.
    • Esaminando i registri delle nascite e riscontrando che il $54\%$ dei nati è di sesso maschile, si assume $0.54$ quale stima della probabilità che il prossimo nato sia maschio.
  1. Teoria Soggettiva:
  • Richiesta per valutare eventi unici, non ripetibili sotto condizioni uniformi e privi di simmetria deduttiva (de Finetti, Savage).
  • Esempi: la probabilità che il Governo in carica cada entro la fine dell'anno; la probabilità che il prezzo del petrolio aumenti di 10\,\ al barile il mese prossimo.
  • Definizione: La probabilità soggettiva è il grado di fiducia che un individuo coerente assegna al verificarsi di un dato evento, in funzione del complesso delle informazioni in suo possesso.

Teoria Assiomatica della Probabilità e Teoremi Fondamentali

• L'Impostazione Assiomatica di Kolmogorov:

  • La teoria assiomatica prescinde dall'interpretazione filosofica del concetto di probabilità e stabilisce una struttura matematica rigorosa idonea a formalizzare qualsiasi modello astratto.
  • Definizione Matematica: Dato uno spazio campionario finito $S = \{e_1, e_2, \dots, e_n\}$, la probabilità è una funzione avente per dominio l'insieme delle parti di $S$ (tutti i sottoinsiemi, ovvero gli eventi elementari e composti) e per codominio l'insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$, la quale soddisfa i tre assiomi fondamentali:     1) $P(e_i) \ge 0, \quad \forall i = 1, 2, \dots, n$ (Assioma di Non-negatività).     2) $\sum_{i=1}^n P(e_i) = 1$ (Assioma di Normalizzazione).     3) $P(E) = \sum_{e_i \in E} P(e_i), \quad \forall E \subset S$ (Assioma di Additività per eventi composti).

• Teoremi Fondamentali Derivati dagli Assiomi:

  • Probabilità dell'Evento Certo:     $P(S) = \sum_{e_i \in S} P(e_i) = 1$
  • Limitazione del Codominio della Probabilità:     $0 \le P(E) \le 1, \quad \forall E \subset S$     Il codominio Reale si restringe strettamente all'intervallo chiuso e limitato $[0, 1]$.
  • Teorema dell'Evento Complementare:
  • Per qualsiasi evento $E \subset S$ ed il suo complementare $E'$, poiché $E \cap E' = \emptyset$ e $E \cup E' = S$, si ha che $P(E) + P(E') = P(S) = 1$. Pertanto:       $P(E') = 1 - P(E)$
  • Probabilità dell'Evento Impossibile:     $P(\emptyset) = 1 - P(S) = 1 - 1 = 0$
  • Nota di distinzione: In uno spazio campionario discreto, un evento con probabilità zero è impossibile ($E = \emptyset$). In uno spazio campionario continuo, un evento con probabilità zero può comunque essere un evento possibile.

• Teoremi sulla Somma delle Probabilità (Unione):

  • Teorema dell'Unione per Eventi Incompatibili:
  • Dati due eventi $A$ e $B$ tali che $A \cap B = \emptyset$:       $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
  • Teorema Generale dell'Unione (Eventi Qualsiasi):
  • Dati due eventi $A$ e $B$ generici:       $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
  • Dimostrazione per riduzione: Se $A$ e $B$ sono incompatibili, $A \cap B = \emptyset \implies P(A \cap B) = P(\emptyset) = 0$, riconducendosi al teorema precedente.

• Verifiche ed Esempi Svolti:

  • Esempio del lancio di 3 monete (o 3 lanci consecutivi):
  • Spazio campionario equiprobabile di $2^3 = 8$ elementi con probabilità $P(e_i) = \frac{1}{8}$ per ciascun elemento:
    • $e_1 = (T, T, T)$, $e_2 = (T, T, C)$, $e_3 = (T, C, T)$, $e_4 = (T, C, C)$, $e_5 = (C, T, T)$, $e_6 = (C, T, C)$, $e_7 = (C, C, T)$, $e_8 = (C, C, C)$.
  • Sia E = \{\text{uscita di esattamente 2 teste}\} = \{e_2, e_3, e_5\} \implies P(E) = \frac{3}{8}$.\n - Il complementare è E' = {e_1, e_4, e_6, e_7, e_8} \implies P(E') = \frac{5}{8} = 1 - \frac{3}{8}$.
  • Sia G = \{\text{meno di 2 teste}\} = \{e_4, e_6, e_7, e_8\} \implies P(G) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.\n - Sia H = {\text{tutte le monete mostrano la stessa faccia}} = {e_1, e_8} \implies P(H) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
  • Evento G \cup H = \{e_1, e_4, e_6, e_7, e_8\} \implies P(G \cup H) = \sum_{e_i \in G \cup H} P(e_i) = \frac{5}{8}$.\n - Evento G \cap H = {e_8} \implies P(G \cap H) = P(e_8) = \frac{1}{8}$.
  • Verifica del Teorema Generale dell'Unione:       $P(G \cup H) = P(G) + P(H) - P(G \cap H) = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} - \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$

Probabilità Condizionata e Indipendenza Stocastica

• Probabilità Condizionata:

  • Definizione: Dato uno spazio campionario e due eventi $A$ e $B$ con $P(B) > 0$, la probabilità dell'evento $A$ condizionata al verificarsi dell'evento $B$ (indicata con $P(A \mid B)$) è definita come:     $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad \text{se } P(B) > 0$
  • Effetto della Condizione: Il verificarsi dell'evento condizionante $B$ altera lo spazio dei risultati possibili, ridimensionando lo spazio campionario originale $S$ al solo sottoinsieme $B$. Gli eventi elementari esterni a $B$ diventano impossibili.
  • Esempio (Lancio di 3 monete): Calcolare la probabilità dell'evento $H = \{\text{stessa faccia}\}$ condizionata a $G = \{\text{meno di 2 teste}\}$:
  • $P(H \mid G) = \frac{P(H \cap G)}{P(G)} = \frac{P(e_8)}{P(G)} = \frac{1/8}{4/8} = \frac{1}{4}$.

• Regola della Probabilità Composta (Moltiplicativa):

  • Dalla definizione di probabilità condizionata si deduce la formula per il calcolo della probabilità dell'intersezione di due eventi:     $P(A \cap B) = P(A \mid B) \times P(B) = P(B \mid A) \times P(A)$
  • L'ordine degli eventi è indifferente poiché $A \cap B = B \cap A$
  • Relazione con gli eventi incompatibili: se $A$ e $B$ sono incompatibili ($A \cap B = \emptyset$), allora $P(A \cap B) = 0 \implies P(A \mid B) = 0$. Sapendo che si è realizzato $B$, la probabilità che si realizzi $A$ si annulla.

• Indipendenza Statistica (o Stocastica):

  • Definizione: Un evento $A$ si dice stocasticamente indipendente da un evento $B$ (con $P(B) > 0$) se e solo se:     $P(A \mid B) = P(A)$     In altri termini, la conoscenza del verificarsi dell'evento $B$ non modifica minimamente la probabilità del verificarsi dell'evento $A$
  • Condizioni Necessarie e Sufficienti Equivalenti:     1) $P(A \mid B) = P(A)$     2) $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$     3) $P(B \mid A) = P(B)$
  • Reciprocità: L'indipendenza è una relazione simmetrica e reciproca: se $A$ è indipendente da $B$, allora $B$ è indipendente da $A$
  • Distinzione fondamentale tra Incompatibilità ed Indipendenza:
  • L'incompatibilità ($A \cap B = \emptyset$) non coincide con l'indipendenza, ma rappresenta al contrario una forma estrema di dipendenza. Se due eventi sono incompatibili e $P(A) > 0$, il verificarsi di $B$ annulla la probabilità di $A$ ($P(A \mid B) = 0 \neq P(A)$).

• Esercizi Completi e Casi Studio:

  • Estrazione senza reimmissione da mazzo di 52 carte (Calcolare probabilità di estrarre due assi consecutivi):
  • Spazio campionario di coppie ordinate pari a $2652$ esiti. A = \{\text{1ª carta è un asso\}, B = \{\text{2ª carta è un asso\}.
  • Conteggio mediante combinatoria: cardinalità $\#(A \cap B) = 12 \implies P(A \cap B) = \frac{12}{2652} = 0.0045$
  • Calcolo diretto con regola composta: $P(A) = \frac{4}{52}$, $P(B \mid A) = \frac{3}{51}$ (poiché senza reimmissione rimangono $51$ carte e $3$ assi):       $P(A \cap B) = P(B \mid A) \times P(A) = \frac{3}{51} \times \frac{4}{52} = \frac{12}{2652} \approx 0.0045$
  • Esercizio Personale Aziendale e Reparto Contabilità:
  • Azienda con $100\,\text{dipendenti}$: $75$ Uomini ($M$), $25$ Donne ($F$). Il reparto contabilità ($C$) impiega il $12\%$ degli uomini ed il $20\%$ delle donne.
  • Dati: $P(M) = 0.75$, $P(F) = 0.25$, $P(C \mid M) = 0.12$, $P(C \mid F) = 0.20$
  • Intersezioni: $P(M \cap C) = P(C \mid M) P(M) = 0.12 \times 0.75 = 0.09$; $P(F \cap C) = P(C \mid F) P(F) = 0.20 \times 0.25 = 0.05$
  • Probabilità totale del reparto contabilità: $P(C) = P(M \cap C) + P(F \cap C) = 0.09 + 0.05 = 0.14$
  • Probabilità condizionate inverse:
    • $P(M \mid C) = \frac{P(M \cap C)}{P(C)} = \frac{0.09}{0.14} \approx 0.64$
    • $P(F \mid C) = \frac{P(F \cap C)}{P(C)} = \frac{0.05}{0.14} \approx 0.36$
  • Esercizio del Lancio di 2 Dadi Regolari ($36$ coppie ordinate equiprobabili):
  • Eventi: $A = \{\text{totale dispari}\}$, B = \{1 \text{ con il 1° dado}\Configuration\}, $C = \{\text{totale} = 7\}$, $D = \{6 \text{ con il 2° dado}\}$.
  • $P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$, $P(D) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
  • Indipendenza di $B$ e $D$: $P(B \cap D) = P(\{(1, 6)\}) = \frac{1}{36} \implies P(D \mid B) = \frac{1/36}{1/6} = \frac{1}{6} = P(D)$. $B$ e $D$ sono indipendenti.
  • Indipendenza di $A$ e $B$: $P(A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$. A \cap B = \{(1,2), (1,4), (1,6)\} \implies P(A \cap B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$. Poiché P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$,$A$e$B sono indipendenti.\n - Indipendenza di A$e$C$:$P(C) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. Poiché ogni totale pari a 7 è dispari, A \cap C = C \implies P(A \cap C) = \frac{1}{6}$. Ma P(A) \times P(C) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \neq \frac{1}{6}$. $A$ e $C$ non sono indipendenti.
  • Indipendenza di $B$ e $C$: B \cap C = \{(1, 6)\} \implies P(B \cap C) = \frac{1}{36}$. Poiché P(B) \times P(C) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$,$B$e$C sono indipendenti.\n - *Campione di 500 Soggetti su Pubblicità ed Acquisto*:\n - Dati: P(\text{Pubblicità Si}) = P(A) = \frac{275}{500} = 0.55$;$P(\text{Acquisto Si}) = P(B) = \frac{220}{500} = 0.44\n - Intersezione osservata: P(A \cap B) = \frac{175}{500} = 0.35\n - Probabilità condizionata di acquisto data la pubblicità: P(B \mid A) = \frac{0.35}{0.55} \approx 0.636\n - Conclusione: Poiché P(B \mid A) = 0.636 \neq P(B) = 0.44$, l'acquisto dipende significativamente dall'esposizione alla pubblicità (la quale incrementa la probabilità di acquisto dal$44\%$al$63.6\%).\n\n# Variabili Casuali Discrete e Funzioni di Probabilità\n\n- Definizione di Variabile Casuale (X):\n - Una variabile casuale (o aleatoria/stocastica) X$è una funzione matematica definita sullo spazio campionario$S$che associa ad ogni evento$E \subset S$uno ed un solo numero reale appartenente a$\mathbb{R}.\n - Essa trasforma gli eventi elementari di natura astratta o qualitativa dello spazio S$in determinazioni numeriche reali (dette realizzazioni o determinazioni della variabile casuale,$x_i).\n - Convenzione notazionale: la maiuscola X$indica la variabile casuale in quanto funzione; la minuscola$x indica un generico valore numerico reale assunto dalla variabile.\n\n- Classificazione per Natura Matematica:\n - **Variabile Casuale Discreta**: può assumere un insieme discreto, ovvero finito o numerabile, di valori reali (x_1, x_2, \dots, x_n, \dots).\n - **Variabile Casuale Continua**: può assumere tutti i possibili valori reali compresi all'interno di un dato intervallo o unione di intervalli.\n\n- Funzione di Probabilità (f.p.) f(x) per V.C. Discrete:\n - La funzione di probabilità associa ad ogni possibile valore discreto x_i$assunto dalla variabile casuale$X la corrispondente probabilità di verificarsi:\n    f(x_i) = P(X = x_i)\n - Estendendo la funzione a tutto l'asse dei numeri reali \mathbb{R}, la f.p. rispetta le seguenti due proprietà fondamentali:\n    1) f(x) \ge 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}$(con$f(x) > 0$solo per i valori discreti$x_i$effettivamente realizzabili, e$f(x) = 0 altrimenti).\n    2) \sum_{i} f(x_i) = 1$(la somma delle probabilità associate a tutti i possibili valori discreti è pari ad$1).\n\n- Funzione di Ripartizione F(x) per V.C. Discrete:\n - La funzione di ripartizione F(x)$rappresenta la probabilità cumulata che la variabile casuale$X$assuma un valore minore o uguale ad una soglia specificata$x:\n    F(x) = P(X \le x) = \sum_{w \le x} P(X = w)\n - **Proprietà della Funzione di Ripartizione Discreta**:\n - È una funzione non decrecente a gradini, continua da destra.\n - Per x_1 < x_2 \implies F(x_1) \le F(x_2)$.
  • Comportamento ai limiti: $\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$ e $\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$
  • Calcolo di Probabilità su Intervalli:
  • $P(X \le x) = F(x)$
  • $P(x_1 < X \le x_2) = F(x_2) - F(x_1)$
  • $P(X > x) = 1 - F(x)$

• Parametri di Sintesi per V.C. Discrete (Media e Varianza):

  • Valore Atteso (Media) $E(X)$ o $\mu_X$:
  • Rappresenta la media ponderata dei valori che la variabile può assumere, pesati con le rispettive probabilità:       $E(X) = \sum_{i} x_i P(X = x_i) = \mu_X$
  • Varianza $V(X)$ o $\sigma_X^2$:
  • Misura la dispersione dei valori della variabile attorno al suo valore atteso:       $V(X) = \sum_{i} (x_i - \mu_X)^2 P(X = x_i) = E[X^2] - (E[X])^2 = \sigma_X^2$
  • Scarto Quadro Medio (Deviazione Standard): $\sigma_X = \sqrt{V(X)}$.
  • Proprietà Algebriche di Media e Varianza:
  • $E(aX + b) = a E(X) + b$ (omogeneità e traslatività).
  • $E\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i\right) = \sum_{i=1}^n a_i E(X_i)$.
  • $V(aX + b) = a^2 V(X)$ (invarianza rispetto alle traslazioni stazionarie).
  • Se $X_1, X_2, \dots, X_n$ sono variabili casuali indipendenti:       $V\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n V(X_i)$

• Esercizio Svolto Dettagliato (Concessionario Auto su 500 Giorni):

  • Rilevazione vendite auto quotidiane ($n_i$ su $500\,\text{giorni}$): $0\,\text{auto} (40)$, $1 (100)$, $2 (142)$, $3 (66)$, $4 (36)$, $5 (30)$, $6 (26)$, $7 (20)$, $8 (16)$, $9 (14)$, $10 (8)$, $11 (2)$.
  • Funzione di probabilità empirica $f(x_i) = \frac{n_i}{500}$: $f(0) = 0.08$, $f(1) = 0.20$, $f(2) = 0.284$, $f(3) = 0.132$, $f(4) = 0.072$, $f(5) = 0.06$, $f(6) = 0.052$, $f(7) = 0.04$, $f(8) = 0.032$, $f(9) = 0.028$, $f(10) = 0.016$, f(11) = 0.004$.\n - Valore Atteso: \mu = E[X] = \sum x_i f(x_i) = 3.056\,\text{auto/giorno}.\n - Varianza e SQM: V(X) = \sum (x_i - \mu)^2 f(x_i) = 6.069 \implies \sigma = \sqrt{6.069} = 2.463\,\text{auto}.\n - Calcolo Probabilità con Funzione di Ripartizione F(x):\n - P(X < 4) = P(X \le 3) = F(3) = 0.696\n - P(X \le 4) = F(4) = 0.768\n - P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3) = 1 - F(3) = 1 - 0.696 = 0.304\n - P(X = 4) = f(4) = 0.072\n - P(X > 4) = 1 - F(4) = 1 - 0.768 = 0.232\n\n# Principali Distribuzioni Discrete: Uniforme, Bernoulli e Binomiale\n\n- Distribuzione Uniforme Discreta:\n - Una variabile casuale X$ha distribuzione uniforme discreta se assume$s$valori distinti nell'intervallo$[a, a + s - 1]$tutti con la medesima probabilità pari ad$\frac{1}{s}.\n - Funzione di probabilità: f(x) = \frac{1}{s}$per$x = a, a+1, \dots, a+s-1$, e $f(x) = 0$ altrove.
  • Esempi: lancio di un dado equilibrato ($a = 1, s = 6 \implies f(x) = \frac{1}{6}$); lancio di una moneta ($a = 0, s = 2 \implies f(x) = \frac{1}{2}$).

• Distribuzione di Bernoulli (Dicotomica) $X \sim \text{Ber}(\pi)$:

  • Modella esperimenti casuali caratterizzati da due soli esiti esaustivi ed incompatibili: Successo ($X = 1$) ed Insuccesso ($X = 0$).
  • Parametro: $\pi$ rappresenta la probabilità di successo ($0 < \pi < 1$).
  • Funzione di probabilità:     $f(x_i) = P(X = x_i) = \pi^{x_i} (1 - \pi)^{1 - x_i}, \quad x_i \in \{0, 1\}$
  • $f(1) = P(X = 1) = \pi$
  • $f(0) = P(X = 0) = 1 - \pi$
  • Media e Varianza:
  • $E(X) = 0 \times (1 - \pi) + 1 \times \pi = \pi$
  • $V(X) = (0 - \pi)^2 (1 - \pi) + (1 - \pi)^2 \pi = \pi^2(1-\pi) + (1-\pi)^2 \pi = \pi(1-\pi)$

• Distribuzione Binomiale $X \sim \text{Bin}(n, \pi)$:

  • Definisce la variabile casuale $X$ che conteggia il numero totale di successi ottenuti in una serie di $n$ prove di Bernoulli indipendenti e ripetute sotto identiche condizioni con probabilità di successo $\pi$ costante.
  • Campo di esistenza: $x \in \{0, 1, 2, \dots, n\}$.
  • Funzione di probabilità:     $f(x) = P(X = x) = \binom{n}{x} \pi^x (1 - \pi)^{n - x}, \quad x = 0, 1, 2, \dots, n$
  • Coefficiente Binomiale $\binom{n}{x}$: esprime il numero di combinazioni possibili con cui $x$ successi si possono disporre su $n$ prove:     $\binom{n}{x} = \frac{n!}{x!(n - x)!}$     dove $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$, con le convenzioni generali $0! = 1$ e $1! = 1$
  • Proprietà dei coefficienti binomiali: $\binom{n}{0} = 1$, $\binom{n}{1} = n$, $\binom{n}{n} = 1$, $\binom{n}{x} = \binom{n}{n-x}$.
  • Media e Varianza della Binomiale:
  • Poiché $X = \sum_{i=1}^n Z_i$ dove $Z_i \sim \text{Ber}(\pi)$ i.i.d.:
  • $E(X) = E\left(\sum_{i=1}^n Z_i\right) = \sum_{i=1}^n E(Z_i) = n\pi$
  • $V(X) = V\left(\sum_{i=1}^n Z_i\right) = \sum_{i=1}^n V(Z_i) = n\pi(1 - \pi)$
  • Proprietà di Forma della Binomiale:
  • Se $\pi = 0.5$, la distribuzione è perfettamente simmetrica attorno alla media $\frac{n}{2}$.
  • Per $n \to +\infty$, la distribuzione tende alla forma simmetrica gaussiana anche per valori di $\pi \neq 0.5$

• Esercizi Svolti sulla Binomiale:

  • Pezzi difettosi su un campione di 5 estrazioni con reimmissione da lotto con 10% difettosi ($n = 5$, $\pi = 0.10$):
  • $f(0) = \binom{5}{0} (0.10)^0 (0.90)^5 = (0.90)^5 = 0.59049$
  • $f(1) = \binom{5}{1} (0.10)^1 (0.90)^4 = 5 \times 0.10 \times 0.6561 = 0.32805$
  • $f(2) = \binom{5}{2} (0.10)^2 (0.90)^3 = 10 \times 0.01 \times 0.729 = 0.07290$
  • $f(3) = \binom{5}{3} (0.10)^3 (0.90)^2 = 10 \times 0.001 \times 0.81 = 0.00810$
  • $f(4) = \binom{5}{4} (0.10)^4 (0.90)^1 = 5 \times 0.0001 \times 0.9 = 0.00045$
  • $f(5) = \binom{5}{5} (0.10)^5 (0.90)^0 = (0.10)^5 = 0.00001$
  • Probabilità di al massimo 2 pezzi difettosi: $P(X \le 2) = F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 0.59049 + 0.32805 + 0.07290 = 0.99144$
  • Probabilità di almeno 3 pezzi difettosi: $P(X \ge 3) = 1 - F(2) = 1 - 0.99144 = 0.00856$
  • Valore Atteso e Varianza: $E(X) = 5 \times 0.10 = 0.50$, $V(X) = 5 \times 0.10 \times 0.90 = 0.45$
  • Esame a risposta multipla su 5 domande con 4 opzioni ciascuna ($n = 5$, $\pi = 0.25$):
  • Probabilità di tutte corrette: $P(X = 5) = \binom{5}{5} (0.25)^5 (0.75)^0 = 0.00098$
  • Probabilità di almeno 4 corrette: $P(X \ge 4) = P(X = 4) + P(X = 5) = \binom{5}{4} (0.25)^4 (0.75)^1 + 0.00098 = 0.01468 + 0.00098 = 0.01563$
  • Probabilità di nessuna corretta: $P(X = 0) = \binom{5}{0} (0.25)^0 (0.75)^5 = 0.23731$
  • Probabilità di non più di 2 corrette: $P(X \le 2) = f(0) + f(1) + f(2) = 0.23731 + 0.39551 + 0.26367 = 0.89649$
  • Valore Atteso e SQM: $E(X) = 5 \times 0.25 = 1.25$, $V(X) = 5 \times 0.25 \times 0.75 = 0.9375 \implies \sigma_X = 0.9682$

Variabili Casuali Continue e Distribuzione Normale

• Funzione di Densità di Probabilità (f.d.) $f(x)$ per V.C. Continue:

  • Una variabile casuale continua $X$ definita su un intervallo $(a, b)$ possiede una funzione di densità $f(x)$ che soddisfa due condizioni tassative:     1) $f(x) \ge 0, \quad \forall x \in (a, b)$ ($f(x) = 0$ altrove).     2) $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = \int_{a}^{b} f(x)\,dx = 1$ (l'area totale racchiusa sotto la curva della densità è uguale ad $1$).
  • Differenza concettuale cruciale con le variabili discrete:
  • Nelle variabili continue la densità $f(x)$ non rappresenta la probabilità puntuale dell'evento ($f(x) \neq P(X = x)$).
  • La probabilità che una variabile casuale continua assuma un qualunque valore reale puntuale ed esatto è rigorosamente pari a zero: $P(X = x) = 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}$.
  • Ciò discende dal fatto che l'area sottesa ad un singolo punto privo di dimensione è nulla. Le probabilità si calcolano esclusivamente su intervalli reali ed equivalgono all'area sottesa dalla funzione di densità compresa tra gli estremi dell'intervallo:       $P(x_1 < X \le x_2) = \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx$
  • L'inclusione o l'esclusione degli estremi di un intervallo non varia la probabilità associata: $P(x_1 \le X \le x_2) = P(x_1 < X < x_2)$.

• Funzione di Ripartizione $F(x)$ per V.C. Continue:

  • $F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} f(w)\,dw$
  • Limiti: $\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$ e $\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$
  • Relazioni operative per l'I.C. e calcoli di probabilità su intervalli:
  • $P(X \le x_1) = F(x_1)$
  • $P(x_1 < X \le x_2) = F(x_2) - F(x_1)$
  • $P(X > x_2) = 1 - F(x_2)$

• Media e Varianza per V.C. Continue:

  • $E(X) = \mu_X = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,dx$
  • $V(X) = \sigma_X^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu_X)^2 f(x)\,dx$

• Distribuzione Normale (Gaussiana) $X \sim N(\mu, \sigma^2)$:

  • Una variabile casuale continua $X$ ha distribuzione Normale se la sua densità è della forma:     $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^2}, \quad -\infty < x < +\infty$     dove $\pi \approx 3.14159$ ed $e \approx 2.71828$
  • Parametri della Normale:
  • $\mu = E(X) = \text{Mediana} = \text{Moda}$ (parametro di posizione, centro di simmetria della curva campanulare).
  • $\sigma^2 = V(X)$ ($\sigma$ scarto quadratico medio, parametro di forma e di dispersione).
  • Proprietà di Forma della Curva Gaussiana:
  • La curva ha forma campanulare ed è perfettamente simmetrica rispetto all'asse $x = \mu$
  • Variazione di $\mu$ a $\sigma$ costante: la curva trasla sull'asse orizzontale senza modificare la propria forma o ampiezza.
  • Variazione di $\sigma$ a $\mu$ costante: la forma della curva muta. Per valori di $\sigma$ piccoli la curva è leptocurtica (appuntita e concentrata attorno a $\mu$); per valori di $\sigma$ grandi la curva è platicurtica (schiacciata e dispersa).
  • Proprietà della Trasformazione Lineare:
  • Ogni trasformazione lineare di una variabile Normale è ancora Normale: $Y = a + bX \implies Y \sim N(a + b\mu, b^2\sigma^2)$.
  • La somma di due variabili Normali indipendenti $X_1 \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$ e $X_2 \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$ è una variabile Normale con media $\mu_1 + \mu_2$ e varianza $\sigma_1^2 + \sigma_2^2$

• La Variabile Normale Standardizzata $Z \sim N(0, 1)$:

  • Applicando la trasformazione di standardizzazione $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$, si ottiene la variabile Normale Standard con media $\mu_Z = 0$ e varianza $\sigma_Z^2 = 1$
  • Funzione di densità di $Z$:     $f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}z^2}, \quad -\infty < z < +\infty$

• Uso delle Tavole della Normale Standard $Z$:
  • Le tavole della Normale Standard riportano la funzione di ripartizione $\Phi(z) = P(Z \le z)$ per valori di $z \ge 0$ compresi tra $0.00$ e $4.09$
  • Per calcolare le probabilità con valori negativi di $z$, si sfrutta la simmetria della densità attorno allo zero:     $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$$P(Z \le -z) = P(Z \ge z) = 1 - \Phi(z)$
  • Intervalli intermedi: $P(z_1 \le Z \le z_2) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1)$.