Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Flashcards de vocabulaire et propriétés fondamentales sur les représentations paramétriques de droites et les équations cartésiennes de plans dans l'espace.

Représentation paramétrique d'une droite

Système d'équations de la forme $\begin{cases}x = x_{A} + at \\ y = y_{A} + bt \\ z = z_{A} + ct\end{cases}$ avec $t \in \mathbb{R}$, où $A(x_{A}, y_{A}, z_{A})$ est un point de la droite et $\vec{u}(a, b, c)$ est un vecteur directeur.

Vecteur directeur

Vecteur $\vec{u}$ qui définit la direction d'une droite. Si $M$ appartient à la droite $d$ passant par $A$, alors les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{AM}$ sont colinéaires, soit $\vec{AM} = t\vec{u}$.

Équation cartésienne d'un plan

Équation de la forme $ax + by + cz + d = 0$ (avec $a$, $b$, $c$ non tous nuls) définissant un plan $P$ de vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$.

Vecteur normal $\vec{n}$

Vecteur non nul orthogonal à un plan $P$. Pour tout point $M$ du plan et un point $A$ fixé du plan, le produit scalaire $\vec{AM} \cdot \vec{n} = 0$.

Plans perpendiculaires

Deux plans sont perpendiculaires lorsqu'un vecteur normal de l'un est orthogonal à un vecteur normal de l'autre, c'est-à-dire que leur produit scalaire est nul : $\vec{n} \cdot \vec{n'} = 0$.

Intersection d'une droite et d'un plan (Sécants)

Une droite de vecteur directeur $\vec{u}$ et un plan de vecteur normal $\vec{n}$ sont sécants si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0$.

Droite et plan parallèles

Configuration où le vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite et le vecteur normal $\vec{n}$ du plan sont orthogonaux, impliquant $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$.

Droite et plan orthogonaux

Configuration où le vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite et le vecteur normal $\vec{n}$ du plan sont colinéaires.

Plans parallèles

Deux plans $P_1$ et $P_2$ sont parallèles si leurs vecteurs normaux respectifs $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ sont colinéaires.

Plans sécants

Deux plans sont sécants si leurs vecteurs normaux respectifs $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ ne sont pas colinéaires.

Projeté orthogonal d'un point sur une droite

Le point $H$ appartenant à la droite $(AB)$ tel que le vecteur $\vec{CH}$ est orthogonal au vecteur directeur $\vec{AB}$, satisfaisant $\vec{CH} \cdot \vec{AB} = 0$.