Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Représentation paramétrique d'une droite dans l'espace

• Propriété fondamentale :

  • L'espace est muni d'un repère $(O; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})$.
  • Soit une droite $d$ passant par un point $A(x_A, y_A, z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$.
  • Un point $M(x, y, z)$ appartient à la droite $d$ si et seulement s'il existe un réel $t$ (appelé paramètre) tel que :         $\begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \\ \end{cases}$
  • Ce système est appelé une représentation paramétrique de la droite $d$.

• Démonstration du cours :

  • $M \in d \iff \vec{u}$ et $\overrightarrow{AM}$ sont colinéaires.
  • $M \in d \iff$ Il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{AM} = t\vec{u}$.
  • En passant aux coordonnées :         $\begin{pmatrix} x - x_A \\ y - y_A \\ z - z_A \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$
  • Ce qui équivaut au système :         $\begin{cases} x - x_A = at \\ y - y_A = bt \\ z - z_A = ct \\ \end{cases} \iff \begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \\ \end{cases}$

• Exemple d'application directe :

  • Pour une droite passant par le point $A(1, -2, 3)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(4, 5, -3)$, la représentation paramétrique est :         $\begin{cases} x = 1 + 4t \\ y = -2 + 5t \\ z = 3 - 3t \\ \end{cases}$

Détermination du point d'intersection d'une droite avec un plan de repère

• Énoncé de l'exercice :

  • Soit les points $A(2, 3, -1)$ et $B(1, -3, 2)$.
  • Objectif : Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite $(AB)$ avec le plan de repère $(O; \vec{\imath}, \vec{\jmath})$.

• Méthode et Résolution :

  1. Détermination du vecteur directeur :
     • Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 1 - 2 \\ -3 - 3 \\ 2 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix}$.
  2. Représentation paramétrique de la droite (AB) :
     • En utilisant le point $A(2, 3, -1)$ et le vecteur $\overrightarrow{AB}$, on obtient :             $\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 3 - 6t \\ z = -1 + 3t \\ \end{cases}$ avec $t \in \mathbb{R}$.
  3. Condition d'appartenance au plan de repère :
     • Un point $M(x, y, z)$ appartient au plan $(O; \vec{\imath}, \vec{\jmath})$ si et seulement si sa côte est nulle : $z = 0$.
     • On résout donc l'équation : $-1 + 3t = 0$, ce qui donne $t = \frac{1}{3}$.
  4. Calcul des coordonnées finales :
     • $x = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$
     • $y = 3 - 6 \times \frac{1}{3} = 3 - 2 = 1$
     • $z = 0$
     • Le point d'intersection $M$ a pour coordonnées $(\frac{5}{3}, 1, 0)$.

Équation cartésienne d'un plan

• Propriété :

  • L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})$.
  • Un plan $P$ de vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ non nul admet une équation de la forme $ax + by + cz + d = 0$, avec $d \in \mathbb{R}$.
  • Réciproquement, si $a, b$ et $c$ sont non tous nuls, l'ensemble des points vérifiant cette équation est un plan de vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$.

• Démonstration du sens direct :

  • Soit un point $A(x_A, y_A, z_A)$ appartenant au plan $P$.
  • Un point $M(x, y, z)$ appartient à $P$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{n}$ sont orthogonaux.
  • $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 \iff a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$
  • En développant : $ax + by + cz - ax_A - by_A - cz_A = 0$.
  • En posant $d = -ax_A - by_A - cz_A$, on obtient l'équation : $ax + by + cz + d = 0$.

• Démonstration de la réciproque :

  • Supposons par exemple $a \neq 0$.
  • Soit $E$ l'ensemble des points vérifiant $ax + by + cz + d = 0$.
  • Le point $A(-\frac{d}{a}, 0, 0)$ vérifie l'équation car $a(-\frac{d}{a}) + b(0) + c(0) + d = -d + d = 0$. Donc $A \in E$.
  • Pour tout point $M(x, y, z)$, on a : $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = a(x + \frac{d}{a}) + b(y - 0) + c(z - 0) = ax + d + by + cz = 0$.
  • L'ensemble $E$ est donc le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$.

• Exemple :

  • Un plan d'équation $x - y + 5z + 1 = 0$ possède un vecteur normal $\vec{n}(1, -1, 5)$.

Déterminer l'équation cartésienne d'un plan à partir d'un point et d'un vecteur normal

• Exercice :
  • Données : Plan $P$ passant par $A(-1, 2, 1)$ de vecteur normal $\vec{n}(3, -3, 1)$.
• Correction :
  1. La forme de l'équation est $3x - 3y + z + d = 0$.
  2. Comme $A \in P$, ses coordonnées vérifient l'équation : $3 \times (-1) - 3 \times 2 + 1 + d = 0$.
  3. Calcul : $-3 - 6 + 1 + d = 0 \implies -8 + d = 0 \implies d = 8$.
  4. L'équation cartésienne finale de $P$ est : $3x - 3y + z + 8 = 0$.

Perpendicularité de deux plans

• Propriété :

  • Deux plans sont perpendiculaires lorsqu'un vecteur normal de l'un est orthogonal à un vecteur normal de l'autre.

• Exemple de démonstration :

  • Soient $P : 2x + 4y + 4z - 3 = 0$ et $P' : 2x - 5y + 4z - 1 = 0$.
  • Vecteur normal de $P$ : $\vec{n}(2, 4, 4)$.
  • Vecteur normal de $P'$ : $\vec{n'}(2, -5, 4)$.
  • Calcul du produit scalaire : $\vec{n} \cdot \vec{n'} = 2 \times 2 + 4 \times (-5) + 4 \times 4 = 4 - 20 + 16 = 0$.
  • Les vecteurs normaux étant orthogonaux, les plans $P$ et $P'$ sont perpendiculaires.

Intersection d'une droite et d'un plan

• Exercice :

  • Plan $P : 2x - y + 3z - 2 = 0$.
  • Points $A(1, 2, -3)$ et $B(-1, 2, 0)$.

• Question a) : Démontrer que la droite (AB) et le plan P sont sécants :

  • Vecteur normal de $P$ : $\vec{n}(2, -1, 3)$.
  • Vecteur directeur de $(AB)$ : $\overrightarrow{AB}(-2, 0, 3)$.
  • Calcul du produit scalaire : $\overrightarrow{AB} \cdot \vec{n} = -2 \times 2 + 0 \times (-1) + 3 \times 3 = -4 + 9 = 5$.
  • Comme $\overrightarrow{AB} \cdot \vec{n} \neq 0$, la droite et le plan ne sont pas parallèles, ils sont donc sécants.

• Question b) : Déterminer leur point d'intersection :

  1. Représentation paramétrique de (AB) :         $\begin{cases} x = 1 - 2t \\ y = 2 \\ z = -3 + 3t \\ \end{cases}$
  2. Substitution dans l'équation du plan :         $2(1 - 2t) - (2) + 3(-3 + 3t) - 2 = 0$$2 - 4t - 2 - 9 + 9t - 2 = 0$$5t - 11 = 0 \implies t = \frac{11}{5}$
  3. Calcul des coordonnées du point M :
     • $x = 1 - 2 \times \frac{11}{5} = \frac{5-22}{5} = -\frac{17}{5}$
     • $y = 2$
     • $z = -3 + 3 \times \frac{11}{5} = \frac{-15+33}{5} = \frac{18}{5}$
     • Le point d'intersection est $M(-\frac{17}{5}, 2, \frac{18}{5})$.

Coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droite

• Données :

  • Points $A(1, 0, 2)$, $B(-1, 2, 1)$ et $C(0, 1, -2)$.
  • Objectif : Trouver $H$, projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$.

• Démarche de résolution :

  1. Vecteur directeur et paramètre :
     • $\overrightarrow{AB}(-2, 2, -1)$.
     • Représentation de $(AB)$ : $\begin{cases} x = 1 - 2t \\ y = 2t \\ z = 2 - t \\ \end{cases}$.
     • Comme $H \in (AB)$, $H(1 - 2t, 2t, 2 - t)$.
  2. Vecteur CH :
     • $\overrightarrow{CH} = \begin{pmatrix} 1 - 2t - 0 \\ 2t - 1 \\ 2 - t - (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 2t \\ 2t - 1 \\ 4 - t \end{pmatrix}$.
  3. Condition d'orthogonalité :
     • $\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$
     • $(1 - 2t)(-2) + (2t - 1)(2) + (4 - t)(-1) = 0$
     • $-2 + 4t + 4t - 2 - 4 + t = 0$
     • $9t - 8 = 0 \implies t = \frac{8}{9}$.
  4. Coordonnées de H :
     • $x = 1 - 2 \times \frac{8}{9} = \frac{9-16}{9} = -\frac{7}{9}$
     • $y = 2 \times \frac{8}{9} = \frac{16}{9}$
     • $z = 2 - \frac{8}{9} = \frac{18-8}{9} = \frac{10}{9}$
     • $H(-\frac{7}{9}, \frac{16}{9}, \frac{10}{9})$.

Intersection de deux plans (Non exigible)

• Exercice :

  • $P : -x + 2y + z - 5 = 0$
  • $P' : 2x - y + 3z - 1 = 0$

• 1) Démontrer que les plans sont sécants :

  • $\vec{n}(-1, 2, 1)$ et $\vec{n'}(2, -1, 3)$.
  • Les coordonnées ne sont pas proportionnelles ($\frac{-1}{2} \neq \frac{2}{-1}$), donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.
  • Les plans sont donc sécants selon une droite $d$.

• 2) Déterminer la représentation paramétrique de d :

  • On résout le système :         $\begin{cases} -x + 2y + z - 5 = 0 \\ 2x - y + 3z - 1 = 0 \\ \end{cases}$
  • On choisit $x = t$ comme paramètre.
  • On exprime $z$ en fonction de $y$ et $t$ dans la 1ère équation : $z = -2y + t + 5$.
  • On remplace dans la 2ème équation :         $-y + 3(-2y + t + 5) = 1 - 2t$$-y - 6y + 3t + 15 = 1 - 2t$$-7y = -14 - 5t \implies y = 2 + \frac{5}{7}t$
  • On remplace $y$ pour trouver $z$ :         $z = -2(2 + \frac{5}{7}t) + t + 5 = -4 - \frac{10}{7}t + t + 5 = 1 - \frac{3}{7}t$
  • Système final :         $\begin{cases} x = t \\ y = 2 + \frac{5}{7}t \\ z = 1 - \frac{3}{7}t \\ \end{cases}$

Résumé des positions relatives

• Droite $d$ (vecteur $\vec{u}$) et Plan $P$ (vecteur normal $\vec{n}$) :

  • Parallèles : $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$
  • Sécants : $\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0$
  • Orthogonaux : $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires.

• Plan $P_1$ ($\vec{n_1}$) et Plan $P_2$ ($\vec{n_2}$) :

  • Parallèles : $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ sont colinéaires.
  • Sécants : $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ ne sont pas colinéaires.
  • Perpendiculaires : $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$