Toán

^{Nguyên lí Dirichlet}

nếu nhốt n vật thể vào m chuồng, với n>m thì chắc chắn có ít nhất 1 chuồng chứa từ 2 vật thể trở lên

Đường trung bình của hình thang

là đoạn thẳng nối trung điểm của 2 cạnh bên. Nó song song với 2 cạnh đáy và có độ dài một nửa tổng độ dài 2 đáy

Bất đẳng thức Caunchy

với các số thực không âm ta có:
a+b ≥ 2√a.b

Định lí Bézout

cho đa thức f(x). Số dư trong phép chia f(x) cho nhị thức x- a là f(a)

aⁿ - bⁿ =

(a - b)(a^n-1 + a^n-2b + a^n-3b² +…+ ab^n-2 + b^n-1)

Bậc của đa thức dư

luôn nhỏ hơn bậc của đa thức chia

2abc + a²c + a²b + b²c + b²a + c²a + c²b =

(a + b)(b+c)(c+a)

a²c + b²a + c²b - b²c - a²b - c²a =

(a - b)( b - c)(c - a)

a³ + b³ + c³ - 3abc =

(a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)

(a + b + c)³ =

(a³ + b³ + c³) + 3(a + b)(b + c)(c + a)

với a + b + c = 0

a³ + b³ + c³ = 3abc
a² - b² - c² = 2bc
b² - a² - c² = 2ac
c² - b² - a² = 2ab

Tổng 2 luỹ thừa bậc lẻ n

aⁿ + bⁿ = (a + b)(a^n-1 - a^n-2b + a^n-3b² - … + b^n-1)

(a + b + c)² =

a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

a² + b² + c² - ab - bc - ca =

½ ((a - b)² + (b - c)² + (c - a)²)

Hằng đẳng thức Sophie Germain

a⁴ + 4b⁴ = (a² + 2b² + 2ab)(a² + 2b² - 2ab)

a² + b² + c² = ab + bc + ca

suy ra a = b = c

Đường phân giác góc trong và góc ngoài tại cùng 1 đỉnh của tam giác

luôn vuông góc với nhau

Nếu AD là đường phân giác trong và AE là đường phân giác ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC thì

DB/DC = AB/AC = EB/EC

Một tam giác vuông có 1 góc nhọn bằng 30 độ

thì cạnh góc vuông đối diện nó bằng nửa cạnh huyền

Công thức tổ hợp

Ck/n = n! / k!.(n-k)!