Physique Général II - Théorie

Champ électrique

Une structuration de l'espace éléctro-statique produite par une charge éléctrique Q

Charge d'essai/fictive

q_ess

Formule du champ éléctrique en 1 point

E \= F_E/q_ess \=\> la force éléctrique par unité de charge

Force éléctrique

F_E = k.|Q.q_ess|/r²

Formule du champ éléctrique produit par une charge ponctuelle

E = k.|Q|/r²

Propritétés des lignes de champ

1. Dirigées d'un charge positive vers une charge négative
2. Nombre de lignes qui partent ou convergent vers une charge proportionnel à la grandeur de la charge
3. Direction du champ tangente à la ligne
4. Module du vecteur champ proportionnel à la densité de ligne de champ
5. Ne se coupent jamais
6. Le champ présente la même symétrie que la distribution spatiale des charges
7. Satisfait à des comportements limites : radial au voisinage et très loin des charges

Les propriétés de l'équilibre éléctrostatique

1. Le champ électrique macroscopique résultant est nul à l'intérieur d'un conducteur homogène.
2. Le champ électrique macroscopique résultant est perpendiculaire à la surface du conducteur
3. La charge portée par un conducteur se répartit sur sa surface

Une particule de masse m et de charge q placée dans un champ électrique est soumise à une force et subit une accélération donnée par

F_E \= q.E \= m.a donc a \= qE/m

Densité de charge linéique

λ \= q/l

Densité de charge surfacique

σ \= q/A

Densité de charge volumique

ρ \= q/V

Plaque infinie

E = 2.π.k.|σ| = |σ|/2ε₀

Dipôle électrique

Ensemble constituté par 2 charges de même grandeur mais de signe opposés, séparées par une certaine distance

Formule de Taylor

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Moment dipolaire éléctrique

p \= Q.d (par convention dirigé de la charge négative vers la charge positive)

Moment de force d'un dipôle dans un champ uniforme

τ \= p.E

Energie potentielle d'un dipôle dans un champ éléctrique

U_E \= -p.E.cos θ \= −p.E

Force d'un dipole dans un champ non uniforme

F \=( p⋅∇)E

Flux électrique

champ électrique qui traverse une surface

Formule du flux électrique dans un champ uniforme

ΦE = E . A . cos (o)

Formule du flux électrique pour les sphères et surfaces courbées

ΦE = ∫∫E. dA

Théorème de gauss

ΦE = ∮∮E⋅dA = Q/ε₀

Angle solide

La surface interceptée sur une sphère divisée par le carée du rayon de celle)ci; Ω = A . cos(o)/r² (pas mesuré sur une sphère)

Le flux dans un angle solide donné est constant et ne dépend pas de la forme ni de l’orientation de la surface

Symétrie cylindrique : fil uniformément chargé

E = 2k |λ| /r

Symétrie plane : feuille plane infinie chargée

E = σ /2 ε₀

Conducteur plan infini

E = |σ|/ ε₀ = champ électrique au voisinage d’un conducteur

Charges Q à l’intérieur d’une cavité à l’intérieur d’un conducteur

Apparition d’une charge +Q en surface extérieure du conducteur

Potentiel éléctrique

Energie potentielle éléctrique par unité de charge

Formule du potentiel éléctrique

V = U_E / q_ess

Théorème de l’énergie cinétique

K= ½ mv²

Travail d’une force

W = F . s (avec F une force uniforme et s vecteur déplacement de l'objet.)

Forces conservatrices

Le travail ne dépend que de la position initiale et de la

position finale de la particule

Travail en présence de forces non-conservatives

∆K + ∆U = W_nc

Charges en déplacement sous contrainte

électronvolt (eV)

L’énergie cinétique d’une particule de charge e accélérée à partir du repos sous une différence de potentiel de 1V

1 eV

1,602 x 10^-¹⁹ J

∆U = q∆V

énergie potentielle augmente si q > 0 et diminue si q < 0

∆K = -q∆V

énergie cinétique diminue si q > 0 et augmente si q < 0

Relation potentiel - champ électrique

V_b - V_a = ∫_{a}{b} dV = - ∫_{a}{b} E . ds (intégrale de la ligne de A vers B)
et E = -∇V (gradient du potentiel)

2eme equation de Maxwell

∫ E . ds =0 (Sur une trajectoire fermée)

Potentiel dans le champ de charges ponctuelles et au voisinage d’une charge ponctuelle

V( r) = kq/r (quand r→ ∞ : V = 0) ↔ ∑_i kQ_i /(r_i) (k=8.99×109)

L’énergie potentielle du système formé par les 2 charges q et Q

Le travail extérieur qu’il faut fournir pour amener les charges de l’infini jusqu’à la distance r sans variation d’énergie cinétique.

U = qV = kqQ/R

Distribution continu de charges

dv = kdq/r → V = k∫∫∫_volume dq/r

Potentiel d’un conducteur

∆V=0 → tt le conducteur est au même potentiel

Accumulation de charges

Dans les regions de faible rayon de courbure (ex: effet de pointe)

Capacité d’un condensateur

Mesure de la charge et de l’énergie électrostatique qu’il est capable d’emmagasiner [F] C = Q/∆V

Condensateur plan

C = Q/∆V = ∈₀ A /d

Condensateur sphérique

C = R₁.R₂ /k(R₂-R₁)

Condensateur cylindrique

C= 2π∈₀ L / ln(b/a)

Association de C en série

1 / C_eq = ∑ₙ 1/Cₙ

Association de C en parallèle

C_eq = ∑ Cₙ

Energie du condensateur

U_E =1/2 . C.∆V²

Densité d’énergie du champ éléctrique

u_E = ½ .∈₀ .E²

Energie potentielle d’une sphère métallique

U_E = kQ²/2R

Matériaux diélectriques (isolants)

Matériaux portant des charges liées

Capacité avec un diélectrique

C_d = k.C₀ (avec k : constante diélectrique)

Polarisation

apparition d’un champ électrique de polarisation à l’intérieur du matériau qui est de sens opposé au sens du champ extérieur

Théorème de Gauss dans les diélectriques

La charge induite dans le diélectrique est inférieur à la charge sur les armatures du condensateur. E_d = σ_libre /K ∈₀

Intensité du courant éléctrique, I=

dq/dt

Intentsité moyenne

∆Q/∆t (∆Q traverse la surface pendant un intervalle de temps ∆t)

Sens du courant

Du potentiel élevé vers potentiel faible (mouvement des charges positives)

Vitesse de dérive

vitesse moyenne des e^- en ∆v ≠ 0

Vitesse de dérive dans le calcul de l’intensité

∆Q = n.A.l.e et ∆t = l/v_d => I = n.A.e.v_d

Densité de courant moyenne

J = I/A [A/m²]

Densité de courant

J = -n.e.v_d = n.q.v_d
Densité des porteurs de charge (𝑛) : Le nombre de porteurs de charge (comme les électrons dans un métal ou les ions dans un électrolyte) par unité de volume.

Charge des porteurs (𝑞) : La charge électrique portée par chaque porteur. Par exemple, pour les électrons, 𝑞=−𝑒q=−e, où 𝑒≈1.6×10−19 Ce≈1.6×10−19C est la charge élémentaire.

Vitesse de dérive (𝑣𝑑​) : La vitesse moyenne à laquelle les porteurs de charge se déplacent sous l'influence d'un champ électrique.

Résistance électrique, R

∆V/I [ohm = Ω]

La résistance d’un conducteur dépend

• de la nature du matériau

• de ses caractéristiques géométriques (elle est directement proportionnelle à la longueur du conducteur)

Loi de Pouillet

R = p l/A (p : résistivité du matériau)

Lien avec la densité de courant

J = E * 1/p =σE

Influence de ↑température sur les métaux

p↑(résistivité) (car collisions ↑ car ions positifs vibrent plus)

Influence de la température sur les semi-conducteurs

p↓ si semi conducteur pur sinon conduit

Influence de la température sur les supraconducteur

p s’annule brutalement en dessous d’une témpérature critique T_c

Théorie microscopique

En présence de E; a = - e.E/m et ∆v = a.∆t et

v_d = -eE/m.τ(τ = temps moyen entre les collisions)

Conduction à l’échelle microscopique

J = E * n . e²τ/m => P = m /n.e²τ

Théorème d’équipartition de l’énergie

K_moy = ½ mv² = 3/2 k.T

Effet joule

p = R.I² = ∆V²/R (l'énergie électrique est convertie en énergie thermique dans un conducteur électrique lorsqu'un courant le traverse. Cette dissipation d'énergie sous forme de chaleur est due à la résistance électrique du matériau)

Loi d’Ohm

∆V = I*R = Le courant qui traverse un dispositif est directement proportionnel à la différence de potentiel entre les bornes de ce dispositif

Energie potentielle électrique, ε

W_né /q (W = travail nécessaire pour déplacer la charge q contre le champ électrique jusqu’au point en question)

Pile

fournit un travail pour séparer les charges positives des charges négatives et les accumuler aux bornes en surmontant la répulsion (source idéale de f.é.m)

La force électromotrice

Source d'énergie, comme une pile ou une batterie, à générer un courant électrique dans un circuit

∆V = V_B - V_A = ε -r.I (la différence de potentiel aux bornes est inférieur à la f.é.m)

Résistance en série

R_eq = ∑_i R_i

Résistance en parallèle

1/R_eq = ∑_i 1/R_i

Noeud

Point d’un circuit où 3 fils ou plus se rencontrent.

Branche

Portion du circuit reliant 2 noeuds consécutifs.
Le courant est partout le même dans une même branche.

Maille

N’importe quel parcours fermé dans un circuit

Loi des noeuds:

Σ I = 0
La somme algébrique des courants qui entrent dans un noeud et qui en sortent est nulle

Loi des mailles

Σ∆V = 0

La somme algébrique des variations de potentiel dans un parcours fermé (maille) est nulle.

Loi des mailles : conventions

1. Ne pas confondre le sens du courant (réel ou présumé) et le sens de parcours de la maille

2. Si le déplacement dans la maille se fait dans le sens du courant (réel ou présumé), la variation de potentiel dans une résistance (interne ou externe) est négative

3. Lorsqu’on traverse une source idéale de f.é.m. le signe de la variation de potentiel est fonction de l’ordre dans lequel on rencontre les bornes (ne dépend pas du sens du courant) : positif de la borne «-» à la borne «+».

Circuits purement résistifs

courant est constant dans le temps

Décharge d’un condensateur à travers une résistance

Q(t) = Q₀ * e^-t/RC (t : Temps écoulé depuis le début de la décharge, R : Résistance dans le circuit, C : Capacité du condensateur, τ = RC : Constante de temps du circuit = vitesse de décharge)

La charge initiale 𝑄₀​ diminue exponentiellement, et après chaque intervalle de temps τ, la charge est réduite à environ 36.8 % de la charge à l'instant précédent t=0.