Стереометрия

Вся теория по стереометрии для ЕГЭ

Аксиома (о задании плоскости)

Через любые три точки в пространстве, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, причем только одна.

Аксиома (о прямой и плоскости)

Если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.

Аксиома (о пересечении плоскостей)

Если две несовпадающие плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по некоторой прямой.

Способы задать плоскость

• три точки, никакие две из которых не лежат на одной прямой;

• прямая и точка вне этой прямой;

• пара пересекающихся прямых;

• пара параллельных прямых.

Параллельность прямых

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Свойства параллельных прямых

• Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

• Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

• Если$a \parallel b, b \parallel c$ , то $a \parallel c$.

• Пусть три плоскости попарно пересекаются по трем различным прямым. Тогда либо эти три прямые попарно параллельны, либо все три пересекаются в одной точке.

Взаимное расположение прямой и плоскости

• прямая имеет с плоскостью две общие точки (то есть лежит в плоскости);

• прямая имеет с плоскостью ровно одну общую точку (то есть пересекает плоскость);

• прямая не имеет с плоскостью общих точек (то есть параллельна плоскости).

Параллельность прямой и плоскости

Прямая параллельна плоскости, если она либо лежит в этой плоскости, либо не имеет с ней общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая $a$ , не лежащая в плоскости $\pi$ , параллельна некоторой прямой $p$ , лежащей в плоскости $\pi$ , то она параллельна данной плоскости.

Параллельные плоскости

Плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.

Признак параллельных плоскостей

Если две пересекающиеся прямые из одной плоскости соответственно параллельны двум другим пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Свойства параллельных плоскостей

• Если две параллельные плоскости α и β пересечены третьей плоскостью γ, то линии пересечения плоскостей также параллельны

• Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны

Скрещивающиеся прямые

Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых

Если прямая l лежит в плоскости λ, а прямая s пересекает плоскость λ в точке S, не лежащей на прямой l, то прямые l и s скрещиваются.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Свойства перпендикулярной прямой и плоскости

• Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны.

• Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости

Признак перпендикулярности двух плоскостей

Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах (ТТП)

Пусть AH — перпендикуляр к плоскости β. Пусть AB, BH — наклонная и ее проекция на плоскость β.

Прямая x в плоскости β перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции:

Прямая ТТП: $AH\perp\beta,BH\perp x\Rightarrow AB \perp x$

Обратная ТТП: $AH \perp \beta, AB \perp x \Rightarrow BH \perp x$

Расстояние между параллельными прямыми/плоскостями

Расстояние между двумя объектами (прямой или плоскостью) — это длина отрезка, перпендикулярного обоим объектам.

Расстояние между параллельными прямыми

Для того, чтобы найти расстояние между параллельными прямыми, нужно из любой точки одной прямой опустить перпендикуляр на другую прямую.

Расстояние между параллельными прямой и плоскостью

Для того, чтобы найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой, нужно из любой точки прямой опустить перпендикуляр на эту плоскость.

Расстояние между параллельными плоскостями

Для того, чтобы найти расстояние между параллельными плоскостями, нужно из любой точки одной плоскости опустить перпендикуляр к другой плоскости.

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра из точки на эту плоскость.

Расстояние между скрещивающимися прямыми —

это длина отрезка, перпендикулярного обеим скрещивающимся прямыми.

Способы определить расстояние между скрещивающимися прямыми

Способ 1:

• Через одну из двух скрещивающихся прямых $a$ провести плоскость $\pi$ параллельно другой прямой $b$. Как это сделать: проведем плоскость $\beta$ через прямую $b$ так, чтобы она пересекала прямую $a$ в точке $P$ ; через точку $P$ проведем прямую $p \parallel b$ ; тогда плоскость, проходящая через $a$ и $p$, и есть плоскость $\pi$.

• Найти расстояние от любой точки прямой $a$ до плоскости $\pi$. Это расстояние и есть расстояние между скрещивающимися прямыми $a$ и $b$.

Способ 2:

• Через одну из двух скрещивающихся прямых, например, чем прямую $b$ , провести плоскость $\beta$, перпендикулярную прямой $a$. Тогда прямая $a$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в $\beta$ . Пусть $P$ — точка пересечения прямой $a$ с плоскостью $\beta$.

• Провести перпендикуляр $PH$ на прямую $b$ . Тогда $PH \perp a$ и $PH \perp b$, следовательно, $PB$ — искомое расстояние.

Угол между скрещивающимися прямыми —

это угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.

Алгоритм нахождения угла между скрещивающимися прямыми a и b

• Через одну из двух скрещивающихся прямых $a$ провести плоскость $\pi$ параллельно другой прямой $b$ . Как это сделать: проведем плоскость $\beta$ через прямую $b$ так, чтобы она пересекала прямую $a$ в точке $P$ ; через точку $P$ проведем прямую $p \parallel b$ ; тогда плоскость, проходящая через $a$ и $p$ , и есть плоскость $\pi$.

• В плоскости $\pi$ найти угол между прямыми $a$ и $p; (p \parallel b)$. Угол между ними — угол между скрещивающимися прямыми $a$ и $b$.

Угол между наклонной прямой и плоскостью —

это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Угол между плоскостями —

это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.

Площадь проекции фигуры на плоскость

равна произведению площади фигуры и косинуса угла между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

Основные принципы построения сечений

• Если две точки A и B принадлежат плоскости сечения, то и вся прямая AB принадлежит плоскости сечения. Пользуясь этим принципом, можно в любой непонятной ситуации перебирать пары точек, про которые мы уже знаем, что они принадлежат сечению, проводить через них прямые и таким образом искать новые точки сечения.

• Плоскость сечения пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. На практике это означает, что, например, плоскости, содержащие противоположные грани параллелепипеда, будут пересекаться с плоскостью сечения по параллельным прямым.

• Если плоскость сечения содержит прямую a, параллельную некоторой плоскости α, то она сечет α по прямой, параллельной a.

Объем и площадь поверхности пирамиды

$$V=\frac{1}{3} S_{\text{осн}} h$$

$$S_{\text{пов}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}$$

Объем и площадь поверхности конуса

$$V=\frac{1}{3} S_{\text{осн}} h = \frac{1}{3} \pi r² h$$

$$S_{\text{бок пов-ти}} = \pi r l$$

$$S_{\text{пов}} = \pi r (r + l)$$

Объем и площадь поверхности шара

$$V = \frac{4}{3} \pi r³$$

$$S_{\text{пов}} = 4 \pi r²$$

Объем и площадь поверхности призмы

$$V= S_{\text{осн}} h$$

$$S_{\text{пов}} = 2 S_{\text{осн}} + n \cdot S_{\text{бок гр}} = 2 S_{\text{осн}} + n \cdot ah$$

Объем и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

$$V= abh$$

$$S_{\text{пов}} = 2(ab + ah + bh)$$

Объем и площадь поверхности цилиндра

$$V = \pi r² h$$

$$S_{\text{бок пов-ти}} = 2 \pi r h$$

$$S_{\text{пов-ти}} = 2 \pi r (r + h)$$