il lavoro e l'energia

Che cos’è il lavoro in fisica e come si calcola in generale?

Il lavoro è una grandezza scalare che misura il trasferimento di energia tra un corpo e una forza durante uno spostamento. Dipende dall’intensità della forza, dalla lunghezza dello spostamento e dall’angolo tra i due vettori. È positivo se la forza favorisce il moto, negativo se vi si oppone. In generale il lavoro si calcola come integrale del prodotto scalare tra forza e spostamento infinitesimo.

Formula:

dL=F⃗⋅dr⃗=∣F⃗∣ ∣dr⃗∣cos⁡α

L1→2​=∫r1​r2​​F⋅dr

Quali sono i casi particolari del lavoro a seconda dell’angolo αα tra forza e spostamento?

• α=0∘: lavoro massimo positivo (forza parallela e concorde).

• α=90∘α=90∘: lavoro nullo (forza perpendicolare).

• α=180∘α=180∘: lavoro massimo negativo (forza opposta).
  Tra 0° e 90° → lavoro positivo. Tra 90° e 180° → lavoro negativo.

• Formula:

  L=Fs cos⁡α

Come si esprime il lavoro infinitesimo in coordinate cartesiane?

Se la forza ha componenti Fx,Fy,FzFx​,Fy​,Fz​ e lo spostamento infinitesimo dx,dy,dz, allora il lavoro infinitesimo è la somma dei prodotti delle componenti. È utile quando la forza non è costante o lo spostamento è curvilineo.

Formula:

dL=F_xdx +F_ydy+F_zdz

L=∫C​(Fx​dx+Fy​dy+Fz​dz)

Come si calcola il lavoro di una forza costante?

Se la forza è costante e lo spostamento rettilineo, il lavoro è il prodotto scalare tra la forza e lo spostamento complessivo. Caso particolare: se forza e spostamento sono paralleli, il lavoro si riduce a forza × spostamento.

Formula:

L=F⃗⋅s= Fs cos⁡α

Se paralleli: L=Fs

Che cos’è il lavoro unitario o specifico?

Il lavoro unitario è il lavoro per unità di massa del corpo su cui agisce la forza. È utile in termodinamica e in meccanica dei fluidi, ma anche come grandezza di confronto in meccanica.

Formula:

w=L/m[J/kg]

dove:

• w = lavoro unitario [J/kg]

• L = lavoro compiuto dalla forza

• m = massa del corpo [kg]

Che cosa sono le forze conservative e quali sono le loro proprietà?

Una forza è conservativa se il lavoro che compie tra due punti dipende solo dalla posizione iniziale e finale, non dal percorso. Proprietà fondamentali:

• esiste un’energia potenziale U associata;

• il lavoro su un percorso chiuso è nullo;

• la forza si può scrivere come gradiente negativo del potenziale (F⃗=−∇U).
  Esempi: forza gravitazionale, forza elastica, forza elettrica (campo elettrostatico).

Formula: ∮ F ⃗ ⋅ d r ⃗ = 0 ∮ F ⋅d r =0

F=−∇U

Che cosa sono le forze non conservative e che differenza hanno con le conservative?

Le forze non conservative sono quelle per cui il lavoro dipende dal percorso e non si può definire un potenziale globale. Il lavoro su un percorso chiuso è diverso da zero, spesso negativo perché dissipa energia. Esempio tipico: l’attrito, che trasforma energia meccanica in calore.

Formula:

∮Fnc​⋅dr≠0

Cos’è l’energia cinetica e quale teorema la collega al lavoro?

L’energia cinetica è l’energia del moto di un corpo, proporzionale alla sua massa e al quadrato della velocità. Il teorema lavoro-energia afferma che il lavoro totale compiuto dalle forze esterne è uguale alla variazione dell’energia cinetica.

Formula:

K=1/2mv² Wtot=ΔK

Che cos’è l’energia potenziale e come si definisce operativamente?

L’energia potenziale è una funzione scalare che descrive la capacità di una forza conservativa di compiere lavoro. È definita in modo che la variazione tra due punti sia l’opposto del lavoro della forza. La scelta dello zero di energia potenziale è arbitraria.

U(r2​)−U(r1​)=−∫r1​r2​​Fcons​⋅dr

Quali sono le principali forme di energia potenziale?

Gravitazionale (vicino alla Terra): U = m g h

Elastica (molla): U = 1/2 k x² 

Gravitazionale universale (corpo celeste): U ( r ) = − GMm/ r

Elettrica: U = k q_¹q₂/r ​ ​ 

Qual è il lavoro della forza elastica e come si calcola l’energia potenziale associata?

La forza elastica segue la legge di Hooke: F=−kxF=−kx. Il lavoro compiuto dalla forza elastica quando la molla si sposta da x¹ a x​² è l’integrale della forza. L’energia potenziale elastica immagazzinata in una molla allungata o compressa è proporzionale al quadrato della deformazione.

W=∫x1^×2(−k/x)dx=−1/2​k(x^₂2−x₁²)

U(x)=1/2kx²

Quali sono le condizioni di equilibrio di un sistema in termini di energia potenziale?

Un corpo è in equilibrio quando la forza risultante è nulla, cioè quando la derivata prima dell’energia potenziale è zero:

F=dU​/dx=0

sistono tre tipi di equilibrio:

1. Stabile

   • Corrisponde a un minimo di energia potenziale.

   • Se il corpo è spostato di poco, torna verso la posizione iniziale.

Instabile

• Corrisponde a un massimo di energia potenziale.

• Se il corpo è spostato di poco, si allontana dalla posizione iniziale.

Indifferente

• Si ha se l’energia potenziale è costante in una regione.

• Spostando il corpo, rimane in equilibrio ovunque.

Che cos’è l’energia meccanica e quando si conserva?

L’energia meccanica è la somma di energia cinetica e potenziale. Si conserva se agiscono solo forze conservative. Se ci sono forze non conservative, la variazione dell’energia meccanica è uguale al lavoro compiuto da queste ultime.

Formula:

E=K+U

ΔE=0(se solo forze conservative)

Δ(K+U)=Wconservativo

Come si applica il teorema dell’energia in presenza di forze non conservative?

l teorema del lavoro dice che il lavoro fatto dalle forze equivale alla variazione di energia cinetica del corpo.
Se però dividiamo le forze in conservative (gravità, molla) e non conservative (attrito, resistenze), la situazione cambia:

• Le forze conservative non “distruggono” energia, ma la trasformano continuamente tra cinetica e potenziale.

• Le forze non conservative invece dissipano o assorbono energia (per esempio trasformandola in calore).

Quindi:

• Se agiscono solo forze conservative, l’energia meccanica E=K+U si conserva.

• Se ci sono forze non conservative, l’energia meccanica varia di una quantità pari al lavoro di queste forze.

Formula riassuntiva:

Δ(K+U)=Wnc

Quali sono le caratteristiche energetiche del pendolo semplice?

Nel pendolo semplice, l’energia si scambia continuamente tra potenziale e cinetica. Al punto più alto tutta energia potenziale, al punto più basso tutta energia cinetica. Se non ci sono attriti, l’energia meccanica si conserva. Per piccole oscillazioni, il pendolo si comporta come un oscillatore armonico.

Formula:

K=1/2ml²θ²

U(θ)=mgl(1−cosθ)

E=K+U=costante

• m = massa del pendolo [kg][kg]

• v = velocità tangenziale [m/s]

• g = accelerazione di gravità [m/s²]

• l = lunghezza del filo [m]

• θ = angolo di spostamento rispetto alla verticale

• h=l(1−cos⁡θ)h= altezza rispetto alla posizione di equilibrio