Algebraic Sums, Products & Binomial Coefficients – Core Vocabulary

Vocabulary flashcards summarizing key definitions, formulas and rules from the lecture on algebraic sums, products, binomial coefficients, and Gaussian elimination.

Somme Finie (notation Σ)

Notation
Ai pi
pour la somme d'un ensemble fini de nombres réels (ou complexes) a_i indexés par un ensemble fini I. Par convention, si l'ensemble I est vide (I = \emptyset), la somme est égale à 0.

Indice de Sommation (Compteur)

La variable muette (par exemple, i, k) utilisée à l'intérieur d'une somme
Sigma
; elle est locale à la somme et peut être renommée (par exemple, de i à j) sans changer la valeur de la somme calculée.

Bornes de Sommation

Les entiers fixes inférieur (m) et supérieur (n) dans une somme de la forme
Ai pi
. Contrairement à l'indice de sommation, ces bornes ne peuvent être librement modifiées sans altérer la somme.

Convention de la Somme Vide

Si la borne supérieure d'une somme est strictement inférieure à la borne inférieure (par exemple,
Ai pi
) ou si l'ensemble d'indexation est vide, la somme finie est définie par convention comme étant égale à 0.

Produit Fini (notation Π)

Notation
Ai pi
pour le produit d'un ensemble fini de nombres a_i indexés par un ensemble fini I. Par convention, si l'ensemble I est vide (I = \emptyset), le produit est égal à 1.

Convention du Produit Vide

Si la borne supérieure d'un produit est strictement inférieure à la borne inférieure (par exemple,
Ai pi
) ou si l'ensemble d'indexation est vide, le produit fini est défini par convention comme étant égal à 1.

Règle de Regroupement (ou de Partition) pour les Sommes

Si un ensemble d'indices I peut être partitionné en deux sous-ensembles disjoints I1 et I2 (c'est-à-dire I = I1 \sqcup I2 où \sqcup indique une union disjointe), alors la somme sur I peut être exprimée comme la somme des sommes sur I1 et I2:
Ai pi = Ai p1 + Ai p2
.

Linéarité de la Sommation

Pour des constantes \alpha et \beta qui ne dépendent pas de l'indice de sommation, la somme d'une combinaison linéaire de termes est la combinaison linéaire des sommes des termes. C'est-à-dire :
Ai( a + Ab) = AAi
a + BA_i
b
.

Nombre de Termes dans une Somme

Pour des entiers m \le n, le nombre de termes dans une somme indexée de m à n (inclusivement) est donné par la formule :
\sum_{k=m}^n 1 = n - m + 1
. Ceci correspond au nombre d'entiers dans l'intervalle [m, n].

Formule de la Série Arithmétique

La somme des premiers entiers naturels (de 0 à n) est donnée par la formule :
\sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2}
. C'est la somme d'une série arithmétique simple.

Formule de la Somme des Carrés

La somme des carrés des premiers entiers naturels (de 0 à n) est donnée par la formule :
\sum_{k=0}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
.

Formule de la Somme des Cubes

La somme des cubes des premiers entiers naturels (de 0 à n) est donnée par la formule :
\sum_{k=0}^n k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2
. On peut remarquer qu'elle est égale au carré de la somme des entiers.

Formule de la Série Géométrique

Pour tout nombre réel x \ne 1, la somme des termes d'une série géométrique (de k=0 à n) est donnée par :
\sum_{k=0}^n x^k = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x}
. Lorsque x = 1, la somme est simplement n+1 (parce que chaque terme est 1).

Identité Géométrique (x^n - 1)

Une identité utile découlant de la formule de la série géométrique est :
x^n - 1 = (x - 1) \sum_{k=0}^{n-1} x^k
. Cette identité est valable pour tout x et tout entier n \ge 1.

Identité Géométrique (x^n - y^n)

La différence de puissances n-ièmes peut être factorisée en utilisant l'identité géométrique ou la somme des termes du binôme:
x^n - y^n = (x - y) \sum_{k=0}^{n-1} x^k y^{n-1-k}
.

Réindexation (Changement d'Indice)

Technique consistant à remplacer l'indice de sommation (par exemple, k) par k \pm c ou -k \pm c afin de décaler les bornes de la somme et potentiellement simplifier l'expression à sommer ou à la mettre sous une forme reconnaissable.

Somme Arithmétique Décalée

Pour des entiers m \le n, la somme des entiers de m à n est donnée par la formule :
\sum_{k=m}^n k = \frac{(n-m+1)(n+m)}{2}
. Cette formule dérive de la formule de la série arithmétique en considérant le nombre de termes et la somme du premier et du dernier terme.

Somme Géométrique Décalée

Pour des entiers m \le n et x \ne 1, la somme des termes d'une série géométrique commençant à x^m est donnée par :
\sum_{k=m}^n x^k = x^m \frac{1 - x^{n-m+1}}{1 - x}
.

Somme Télescopique

Une somme télescopique est une somme où la plupart des termes s'annulent mutuellement lorsqu'on décompose chaque terme en une différence. Cela ne laisse généralement que le premier et le dernier terme (ou un petit nombre de termes initiaux et finaux). Exemple:
\sum_{k=1}^n [(k+1)^3 - k^3] = (n+1)^3 - 1
.

Factorielle (n!)

La factorielle d'un entier naturel n, notée n!, est le produit de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à n (1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n). Par convention, 0! = 1. Elle est récursivement définie par (n+1)! = (n+1) \cdot n!.

Règle du Produit avec Constante

Lorsqu'une constante \lambda est un facteur dans chaque terme d'un produit, elle peut être extraite du produit avec une puissance égale au nombre de termes. C'est-à-dire :
Ai( Aa) = A^A_iA
.

Somme Double (par Lignes d'abord)

La notation
Ai Aj
a_{ij}
signifie qu'on somme d'abord les éléments de chaque ligne (pour un i fixe, on somme sur j), puis on additionne les totaux de chaque ligne. C'est une façon de sommer les éléments d'une matrice par lignes.

Somme Double (par Colonnes d'abord)

La notation
Aj Ai
a_{ij}
signifie qu'on somme d'abord les éléments de chaque colonne (pour un j fixe, on somme sur i), puis on additionne les totaux de chaque colonne. C'est une façon de sommer les éléments d'une matrice par colonnes. L'ordre de sommation peut être modifié pour les sommes finies (Théorème de Fubini).

Somme Triangulaire Supérieure

La notation
Ai Aj
a{ij} représente la somme des éléments d'une matrice carrée qui sont sur ou au-dessus de la diagonale principale. On peut la développer comme Ai
Aj a{ij}
.

Coefficient Binomial (n parmi p)

Le coefficient binomial \binom{n}{p}, souvent noté C(n,p), représente le nombre de façons de choisir un sous-ensemble de p éléments à partir d'un ensemble de n éléments distincts, sans tenir compte de l'ordre. La formule est \binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}. Il est défini comme 0 si p < 0 ou p > n.

Symétrie des Coefficients Binomiaux

Les coefficients binomiaux possèdent une propriété de symétrie : choisir p éléments parmi n est équivalent à choisir les n-p éléments à exclure de la sélection. Donc, \binom{n}{p} = \binom{n}{n-p}.

Règle de Pascal

La règle de Pascal établit une relation fondamentale entre les coefficients binomiaux consécutifs, qui est la base de la construction du Triangle de Pascal : \binom{n}{p-1} + \binom{n}{p} = \binom{n+1}{p}.

Théorème Binomial

Le Théorème Binomial décrit l'expansion algébrique des puissances de (x+y)^n : (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k y^{n-k}. Il montre comment les coefficients binomiaux apparaissent dans ces expansions.

Formule des "Chefs" (ou Absorption/Extraction)

Une identité utile pour les coefficients binomiaux est : k \cdot \binom{n}{k} = n \cdot \binom{n-1}{k-1}. Cette formule est souvent appelée "formule des chefs" ou d'absorption/extraction car elle est utile pour extraire ou absorber un terme k de l'expression.

Somme Binomiale Liée à une Dérivée

Des identités de sommation importantes impliquant les coefficients binomiaux sont :

• \sum_{k=1}^n k \cdot \binom{n}{k} = n \cdot 2^{n-1} (dérivée du Théorème Binomial évalué en x=1).
• \sum_{k=1}^n (-1)^k k \cdot \binom{n}{k} = 0 pour n \ge 2 (dérivée du Théorème Binomial évalué en x=-1).

Élimination de Gauss (Méthode du Pivot)

Une méthode systématique pour résoudre les systèmes d'équations linéaires. Elle consiste à appliquer une séquence d'opérations élémentaires sur les lignes (échange de lignes, multiplication d'une ligne par un scalaire non nul, addition d'un multiple d'une ligne à une autre) pour transformer la matrice augmentée du système en une forme triangulaire supérieure (ou échelonnée), puis à résoudre le système résultant par substitution inverse.

Système Linéaire Compatible

Un système d'équations linéaires est dit compatible s'il possède au moins une solution (une solution unique ou une infinité de solutions). Un système est dit incompatible s'il n'a aucune solution.

Somme Vide vs Produit Vide

Par convention, une somme vide (sans aucun terme à additionner) est égale à 0. Un produit vide (sans aucun facteur à multiplier) est égal à 1.

Règle de Regroupement pour les Produits

Si un ensemble d'indices I peut être partitionné en deux sous-ensembles disjoints I1 et I2 (I = I1 \sqcup I2), alors le produit sur I peut être exprimé comme le produit des produits sur I1 et I2:
Ai ai = \left(\prod{i\in I1} ai\right) \left(\prod{i \in I2} ai\right)
.

Astuce du Logarithme pour les Produits

Pour simplifier le calcul ou l'analyse d'un produit complexe (surtout les produits télescopiques), on peut appliquer le logarithme naturel (ou tout autre logarithme) aux deux côtés de l'équation. Cela convertit le produit en une somme de logarithmes des termes, ce qui peut rendre les annulations plus évidentes : \ln\left(\prod ai\right) = \sum \ln(ai). Ceci est particulièrement utile pour les produits où les termes sont positifs.

Identité de la Somme de Cardinalité

Pour un ensemble fini I, la somme de 1 pour chaque élément de I est égale au nombre d'éléments dans l'ensemble I. C'est-à-dire :
\sum_{i\in I} 1 = |I|
, où |I| désigne la cardinalité de l'ensemble (son nombre d'éléments).

Somme Double de la Fonction Min

La somme de la fonction \min(i,j) pour tous les couples d'entiers (i,j) où 1 \le i,j \le n est donnée par la formule :
\sum_{1\le i,j \le n} \min(i,j) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
. Cette somme est égale à la somme des carrés des premiers n entiers.

Mise en Garde Somme–Produit

Il est important de noter qu'en général, la somme des produits n'est pas égale au produit des sommes :
A uk vk \ne \left(\sum uk\right)\left(\sum vk\right)
. De même, le produit des sommes n'est pas la somme des produits des termes :
\prod (uk+vk) \ne \sum \prod
(ni d'autres combinaisons simples). Il faut être vigilant avec les opérations distributives.

Programmation : range(n+1)

Dans de nombreux langages de programmation, comme Python, la fonction range(n+1) génère une séquence d'entiers de 0 jusqu'à n inclus (0, 1, \ldots, n). C'est une fonctionnalité très utile pour implémenter des boucles pour le calcul de sommes ou de produits allant de k=0 à n.

Exemple de Produit Télescopique

Un exemple classique de produit télescopique est:
\prod{j=1}^n \left(1 + \frac{1}{j}\right) . En réécrivant chaque terme comme \frac{j+1}{j}, le produit devient: \prod{j=1}^n \frac{j+1}{j} = \left(\frac{2}{1}\right) \cdot \left(\frac{3}{2}\right) \cdot \left(\frac{4}{3}\right) \cdot \ldots \cdot \left(\frac{n+1}{n}\right)

où les termes intermédiaires s'annulent, ne laissant que \frac{n+1}{1} = n+1.