i vettori

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che cos’è un vettore?

Un vettore è un ente matematico che rappresenta una grandezza con direzione e verso, non solo con un valore numerico (come accade per gli scalari).

Un vettore è caratterizzato da:

• Modulo → quanto è grande (la lunghezza della freccia).

• Direzione → la retta lungo cui agisce.

• Verso → da che parte punta lungo quella direzione.

cos’è la componente di un vettore e come si calcola?

Un vettore nello spazio può essere “scomposto” lungo gli assi del sistema di riferimento (ad esempio assi x,y,z).
Le componenti sono i valori del vettore su ciascun asse.

• Un vettore v⃗ in 2D si scrive come v⃗=(vx,vy)

• In 3D si scrive come v⃗=(vx,vy,vz)

come si calcolano le componenti di un vettore?

vx=∣v∣cosθsinϕ

vy=∣v⃗∣sin⁡θsin⁡ϕ

vz=∣v⃗∣cos⁡ϕ

oppure

vx= ∣v∣cosθ

vy= v⃗∣sin⁡θ

vx/vy= tgθ

che cos’è un versore?

un versore è un vettore di lunghezza 1 (modulo unitario) che serve a indicare solo la direzione e il verso, senza informazioni sulla grandezza.

v^=v/∣v∣

come si calcolano le componenti di un vettore?

Se il vettore è v⃗=(vx,vy). il modulo è:

∣v⃗∣=√vx²+vy²

Se il vettore è v⃗=(vx,vy,vz) il modulo è:

∣v⃗∣=√vx²+vy²+vz²

come si calcola la somma di un vettore sia con metodo grafico che analitico?

metodo grafico:

• Disegna i due vettori con freccia proporzionale al modulo e orientamento corretto.

• Posiziona la coda del secondo vettore sulla punta del primo (metodo “testa-coda”).

• Il vettore somma R^—>=A^—>+ B^—> va dalla coda del primo alla punta del secondo.

Variante: puoi usare il parallelogramma:

• Disegna entrambi i vettori con la stessa origine.

• Completa il parallelogramma e traccia la diagonale → è il vettore somma.

metodo analitico:

1. Somma le componenti omologhe:

vx=v1x+v2x, vy=v1y+v2y

2. Poi calcola il modulo:

∣v⃗∣=√vx²+vy²

come si calcola la differenza di un vettore sia con metodo grafico che analitico?

metodo grafico:

1. fai la differenza delle componenti omologhe:

vx=v1x-v2x, vy=v1y-v2y

2. Poi calcola il modulo:

∣v⃗∣=√vx²-vy²

metodo grafico:

differenza v⃗1−v⃗2

1. Inverti il secondo vettore

   • Disegna v⃗2 con la direzione opposta → diventa −v⃗2.

2. Somma grafica

   • Metti la coda di −v⃗2 sulla punta di v⃗1​.

3. Disegna il vettore risultante

   • Il vettore differenza v⃗3=v⃗1−v⃗2−v2​ va dalla coda di v⃗1 alla punta di −v⃗2.

     stessa cosa con il metodo del parallelogramma

come si calcola il prodotto scalare e vettoriale?

il prodotto scalare è un’operazione tra due vettori che restituisce un numero e che si ottiene moltiplicando il modulo del primo vettore per il modulo del secondo e per il coseno dell’angolo formato tra i due vettori

Prodotto scalare

• Formula:

v⃗1⋅v⃗2= ∣v⃗1∣*∣v⃗2∣cos⁡θ

• Con componenti:

v⃗1⋅v⃗2=v1x v2x+v1y v2y (+v1z v2z)

• Risultato = numero

• Serve a misurare quanto due vettori puntano nella stessa direzione.

il prodotto vettoriale è un’operazione tra due vettori che restituisce un nuovo vettore e si ottiene moltiplicando il modulo del primo vettore per il modulo del secondo vettore per il seno dell’angolo adiacente.

il vettore risultante è perpendicolare al piano formato dai 2 vettori iniziali e il suo verso si determina con la regola della mano dx

Prodotto vettoriale

• Modulo:

∣v⃗1×v⃗2∣= ∣v⃗1∣ ∣v⃗2∣ sin⁡θ

• Direzione = perpendicolare al piano dei due vettori

• Con componenti (3D):

v⃗1×v⃗2=

(v1y v2z −v1z v2y )

(v1zv 2x −v1x v2z)

(v1x v2y −v1y v2x)

cos’è un vettore gradiente, e come si calcola?

Un vettore gradiente è un vettore che indica la direzione in cui una funzione aumenta più rapidamente e il cui modulo è la velocità di aumento in quella direzione.

v=grad f(x)= modulo df(x)/dx

direzione: asse x

verso Δf(x)/Δx>0

v=grad f(X,y,z)

vx= δf(x,y,z)δx

vy=δ(x,y,z)δy

vz= δ(x,y,z)δz

cos’è un campo vettoriale, il flusso di un vettore attraverso una superficie?

il campo vettoriale è una regione dello spazio in cui in ogni punto è definibile un vettore v.

si chiamano linee di forza del vettore v le linee tangenti punto per punto alla direzione del vettore v

Il flusso di un vettore attraverso una superficie misura quanto il vettore “attraversa” la superficie.

• Formula:

Φ=v⃗⋅S⃗=∣ v⃗∣ ∣S⃗∣ cos⁡θ

• θ = angolo tra il vettore e la normale alla superficie.

• Positivo se passa nella direzione della normale, negativo se opposta.

se la superficie S è chiusa, il flusso del vettore è nullo, a meno che al suo interno no ci sia una sorgente o un buco del campo vettoriale