Valódi tör
Ha a törtfüggvény számlálója alacsonyabbfokú mint a nevezője.
Függvénygörbe alatti terület
Az [a, b] intervallumon értelmezett, nemnegatív, folytonos f függvény grafikonja alatti terület, azaz az y = f (x) egyenletu görbe, az ̋ x = a, x = b egyenesek és az abszcisszatengely által határolt tartomány területe alatt az f függvény [a, b] intervallumon vett határozott integrálját értjük.
Függvénygörbe feletti terület
Ha a g függvény az [a, b] intervallumon értelmezett, folytonos és csak negatív értékeket vesz fel, akkor integrálja negatív, de integráljának abszolút értéke ekkor is a megfelelo síkidom területe.
Két függvénygörbe közé zárt terület
Ha f és g az [a, b] intervallumon értelmezett és ott integrálható valós-valós függvények, amelyekre ∀x ∈ [a, b] esetén f (x) ≤ g (x), akkor a függvénygörbék által meghatározott normáltartomány területe: 𝑇 = ∫^b_a(𝑔 − 𝑓)
Rektifikálható
Egy folytonos síkgörbét rektifikálhatónak nevezünk, ha a görbéhez írt poligonok hosszának szuprémuma véges. Ha a görbe rektifikálható, akkor ívhosszán éppen a fenti szuprémumot értjük.
Folytonosan differenciálható:
Az f függvényt folytonosan differenciálhatónak nevezzük az I intervallumon, ha f differenciálható ∀x ∈ I esetén és f deriváltfüggvénye folytonos I-n.
Improprius Integrál fajtái
Függvényegyenlet
Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük.
Differenciálegyenlet
Az olyan függvényegyenletet, amelynek felírásában az ismeretlen függvény mellett annak (valahányadrendu) ̋ deriváltfüggvénye is szerepel differenciálegyenletnek nevezzük.
Függvényváltozó:
x
Függvény
y(x) -> y
Rend
A differenciálegyenlet rendje az ismeretlen függvény deriváltjai rendjének maximuma az egyenletben
Lineáris
A differenciálegyenlet lineáris, ha benne az ismeretlen függvénynek és deriváltjainak csak elso hatványa szerepel, és nem ̋ fordul elo ezek szorzata sem.
Algebrai differenciálegyenlet
A differenciálegyenlet algebrai, ha benne az ismeretlen függvénynek és deriváltjainak csak polinomja szerepel.
Transzcendens
A differenciálegyenlet transzcendens, ha nem algebrai
Közönséges differenciálegyenlet
Közönséges differenciálegyenletnek nevezzük az olyan differenciálegyenletet, amelyben az ismeretlen függvény egyváltozós
Parciális differenciálegyenlet
Parciális differenciálegyenletnek nevezzük az olyan differenciálegyenletet, amelyben az ismeretlen függvény többváltozós.
Integrálgörbe
A differenciálegyenlet egy partikuláris megoldását ábrázolhatjuk a szokásos derékszögu koordinátarendszerben. Az így kapott grafikont szokás integrálgörbének nevezni.
Elsőrendű differenciálegyenlet
Elsőrendű lineáris differenciálegyenletnek nevezzük az olyan differenciálegyenletet, amely elsorendű és elsőfokú is.
Állandó együtthatósnak nevezzük
Ha az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet általános alakjában a g függvény konstans, akkor állandó együtthatósnak nevezzük.
Állandó variálás módszere
A differenciálegyenlethez rendelt homogén egyenlet általános megoldásában a paraméter helyébe egy ismeretlen k (x) függvényt írunk. Az így kapott függvényt és deriváltját behelyettesítve a differenciálegyenletbe meghatározzuk az ismeretlen függvényt. A (mostmár ismert) k (x) függvényt a homogén egyenlet általános megoldásában a paraméter helyébe írva megkapjuk a differenciálegyenlet egy partikuláris megoldását.
Homogén-inhomogén
Ha az elsorendű lineáris differenciálegyenletben a h függvény (az ún. zavaró függvény) azonosan 0, akkor a differenciálegyenlet homogén, ellenkezo esetben inhomogén
Próba függvény módszer
Abban az esetben, ha a lineáris differenciálegyenlet állandó együtthatós, akkor használhatjuk az ún. Próbafüggvénymódszert. Ez azt jelenti, hogy a partikuláris megoldást olyan alakban keressük, ami „hasonló" a zavaró függvényhez.
Hiányos differenciálegyenletek:
Ha a másodrendű differenciálegyenletben az ̋ x változó az y függvény és annak yʹ deriváltfüggvénye közül valamelyik (esetleg közülük több) nem szerepel, akkor hiányos másodrendu differenciálegyenletr ̋ -ől ̋ beszélünk.
Lineárisan független - Lineárisan összefüggő
Az I intervallumon értelmezett y1 és y2 függvényeket lineárisan függetleneknek nevezzük, ha a c1y1 + c2y2 = 0 (c1, c2 ∈ R) azonosság csak akkor teljesül, ha c1 = c2 = 0. Ha két függvény nem lineárisan független, akkor lineárisan összefüggok ̋ a kérdéses intervallumon.
Karakterisztikus egyenlet
Az ayʹʹ + byʹ + cy = 0 másodrendu, lineáris, állandó együtthatós, homogén differenciálegyenlet karakterisztikus egyenletén az aλ2 + bλ + c = 0 másodfokú egyenletet értjük.
Rezonancia
Ha a differenciálegyenlethez rendelt homogén egyenlet megoldásában van olyan tag, amely nem lineárisan független a felírt próbafüggvény valamely tagjától (hányadosuk állandó), akkor rezonancia esete áll fenn. Ilyenkor a próbafüggvényben a lineárisan függo tagot x-szel megszorozzuk.
Laplace-integrál
A Laplace-transzformált definíciójában szereplő integrált Laplace-integrálnak nevezzük. f függvény Laplace-transzformáltja: 𝐹 (s)= 0->∞ INT f(t)*e^-st
Laplace-integrál konvergenciája
A Laplace-integrál vagy minden valós számra konvergens, vagy egy valós számra sem konvergens, vagy létezik olyan a ∈ R szám, hogy minden Re s > a számra az integrál konvergens, de minden Re s < a számra az integrál divergens.
A Laplace-integrál konvergenciájának elégséges feltétele
Ha létezik olyan 𝛼 ∈ R, 𝑘 ∈ R+ és 𝑡 ∈ R+ szám, hogy t > t0 esetén |𝑓(t)| ≤ 𝑘 ⋅ e^at , akkor Re s > α esetén az f függvény Laplace-integrálja abszolút konvergens.
A Laplace-transzformáció homogén, lineáris
L[f1(t) + f2(t)] = L[f1(t)] + L[f2(t)] L[c · f(t)] = c · L[f(t)]
Inverz Laplace-transzformáció
Ha az f (t) függvény laplace-transzformáltja F (s), akkor f (t)-t az F (s) függvény inverz Laplace-transzformáltjának nevezzük.
Függvénysorozat
Függvénysorozatnak nevezzük az olyan pozitív egész számok halmazán értelmezett függvényt, ami minden pozitív egész számhoz hozzárendel egy
függvényt: 𝑛 ↦ 𝑓
Függvénysorozat értelmezési tartománya
A függvénysorozat értelmezési tartományán a sorozatban szereplo egyes függvények értelmezési tartományainak metszetét ér
tjük:
Függvénysorozat konvergenciatartománya
Az (𝑓n ) függvénysorozat konvergenciatartományán azt a halmazt értjük, amely (𝑓n ) értelmezési tartományyának pontosan azokból a pontjaiból áll, amelyekben a függvénysorozat konvergens.
Függvénysorozat határfüggvénye
Az (𝑓n ) függvénysorozat határfüggvényén azt az f függvényt értjük, amelynek értelmezési tartománya megegyezik (fn) konvergenciatartományával és amelyre 𝑓(x) = limn→ +∞ 𝑓n (𝑥) a függvénysorozat konvergenciatartományának minden x pontjában.
Függvénysorozat egyenletesen konvergens
Az (fn) függvénysorozat egyenletesen konvergens az I intervallumon, ha minden 𝜖 > 0 számhoz megadható olyan n𝜖 ∈ Z+ küszöbindex, amelyre teljesül hogy n>n𝜖 esetén az I intervallum bármely x helyén | fn(x) - f(x) | < 𝜖.
Függvénysor:
Legyen az f1, f2, . . . , fn . . . függvények értelmezési tartományainak közös része nem üres. Ekkor a ∑∞k=1 𝑓k formális összeget függvénysornak nevezzük.
Függvénysor tagjai
Az f1, f2, . . . , fn . . . függvényeket a függvénysor tagjainak nevezzük.
Függvénysor n-edik részletösszege
Függvénysor n-edik maradékösszegének
Függvénysor értelmezési tartománya
Függvénysor értelmezési tartományán a tagjai értelmezési tartományának metszetét értjük.
Függvénysor konvergens X0 pontban
Függvénysor konvergencia-tartománya
Az a halmaz, amely az értelmezési tartományának azon pontjaiból áll, amelyekben a függvénysor konvergens.
Függvénysor egyenletesen konvergens
függvénysor egyenletesen konvergens az I intervallumon, ha bármely 𝜖 > 0 számhoz található olyan n𝜖 ∈ Z+ küszöbindex, amelyre teljesül hogy n>n𝜖 esetén | sn(x) - s(x) | < 𝜖.
Függvénysor abszolút konvergens
Függvénysor egyenletesen konvergens
Ha a ∑∞ 𝑓 függvénysor egyenletesen konvergens az I intervallumon és tagjai folytonosak ezen az intervallumon, akkor a függvénysor S összegfüggvénye is folytonos I-n.
Függvénysor differenciálhatósága
Hatványsor
Abel-tétel
Konvergenciasugár
Az r számot konvergenciasugárnak nevezzük. Ha a hatványsor konvergencia-tartománya R, akkor r = ∞.
Abszolút és egyenletesen konvergens
Ha egy hatványsor konvergenciasugara r > 0, akkor ez a hatványsor abszolút és egyenletesen konvergens minden [a; b] ⊆] − r; r[ zárt intervallumon.
Taylor - sor
Taylor polinom
Taylor - formula
Lagrange féle maradéktag
Taylor-sor maradéktag
Ha az f valós-valós függvény az x0 hely egy környezetében végtelen sokszor differenciálható, és ezen környezet minden x pontjában a az x0-körüli Taylor-formula Lagrange-féle maradéktagja a 0-hoz tart n → ∞ esetén, akkor f Taylor-sora konvergens ebben a környezetben és eloállítja az f függvényt.
Páros és páratlan függvények Maclaurin-sora
: Ha az f valós-valós függvény páros és sorba fejthető a 0 körül, akkor Maclaurin sora csak páros (vagy csak páratlan) kitevőjű tagokat tartalmaz