Sistemi Lineari, Geometria e Algebra Lineare

Flashcard di terminologia e concetti chiave tratti dalle lezioni di sistemi lineari, geometria proiettiva, coniche, quadriche, strutture algebriche e algebra lineare.

Fascio proprio di piani

Configurazione geometrica di tre piani che si intersecano lungo una stessa retta comune, corrispondente al caso $r(A) = 2 = r(B)$.

Stella propria di piani

Configurazione geometrica in cui tre piani si intersecano in un unico punto dello spazio, corrispondente al caso $r(A) = 3 = r(B)$, con una sola soluzione.

Punti impropri

In coordinate omogenee $(x_1, x_2, x_3)$, sono i punti caratterizzati da $x_3 = 0$ che formano la retta all'infinito.

Coniche

Curve algebriche di secondo grado nel piano, classificate come circonferenza, ellisse, parabola e iperbole.

Eccentricità (Ellisse)

Rapporto $e = c/a$ che misura lo schiacciamento dell'ellisse; per l'ellisse reale è compreso tra $0$ e $1$.

Asintoti dell'iperbole

Rette tangenti all'iperbole nei suoi punti impropri, che sono reali e distinti.

Conica degenere

Una conica il cui polinomio rappresentativo è scomponibile nel prodotto di due polinomi lineari; si verifica quando la matrice associata ha $\text{det}(A) = 0$.

Invariante quadratico ($A_{33}$)

Il complemento algebrico dell'elemento $a_{33}$ nella matrice della conica, utilizzato per distinguere ellisse ($>0$), iperbole ($<0$) e parabola ($=0$).

Quadriche degeneri

Superfici algebriche di secondo grado che possiedono almeno un vertice (coni, cilindri o quadriche spezzate).

Insieme delle parti ($P(A)$)

L'insieme costituito da tutti i sottoinsiemi di un insieme $A$; se $A$ ha $n$ elementi, $P(A)$ ne ha $2^n$.

Relazione di equivalenza

Relazione binaria su un insieme non vuoto che gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.

Gruppo Abeliano

Struttura algebrica $(G, \times)$ in cui l'operazione è associativa, ammette elemento neutro, ammette l'inverso per ogni elemento ed è commutativa.

Campo (Campo)

Anello commutativo unitario in cui ogni elemento non nullo ammette l'inverso rispetto alla seconda operazione.

Unità immaginaria

Numero complesso $i$ definito dalla coppia $(0, 1)$, tale che $i^2 = -1$.

Piano di Argand-Gauss

Piano complesso in cui l'asse delle ascisse rappresenta la parte reale $Re(z)$ e l'asse delle ordinate rappresenta il coefficiente della parte immaginaria $Im(z)$.

Modulo di un numero complesso

Numero reale positivo definito come $|z| = \text{OP} = \text{sqrt}(a^2 + b^2)$, che rappresenta la distanza del punto dall'origine.

Formula di Eulero

Relazione fondamentale nella forma esponenziale dei complessi: $e^{ix} = \text{cos}(x) + i\text{sin}(x)$.

Rango o caratteristica

L'ordine massimo dei minori di una matrice $A$ aventi determinante diverso da zero.

Teorema di Rouché-Capelli

Un sistema lineare è compatibile se e solo se il rango della matrice incompleta è uguale al rango della matrice completa ($r(A) = r(A')$).

Matrice di cambiamento di base

Matrice le cui colonne sono le coordinate dei vettori della base di partenza $B_1$ espressi rispetto alla base di arrivo $B_2$.

Teorema di Cramer

Metodo per risolvere sistemi lineari di $n$ equazioni in $n$ incognite con $\text{det}(A) \neq 0$, dove ogni incognita $x_i$ è il rapporto tra $\text{det}(A_i)$ e $\text{det}(A)$.

Prodotto scalare (euclideo)

Numero reale definito come $v \bullet w = ||v|| \times ||w|| \times \text{cos}(\theta)$, o in coordinate come $v_x w_x + v_y w_y + v_z w_z$.

Formula di Grassmann

Relazione tra le dimensioni di sottospazi vettoriali: $\text{dim}(W_1 + W_2) = \text{dim}(W_1) + \text{dim}(W_2) - \text{dim}(W_1 \text{ ∩ } W_2)$.

Nucleo (Ker f)

Sottospazio vettoriale del dominio costituito da tutti i vettori $v$ tali che $f(v) = 0_W$.

Autovalore

Scalare $\text{λ}$ tale che esiste un vettore non nullo $v$ per cui $f(v) = \text{λ}v$; è radice del polinomio caratteristico $\text{det}(A - \text{λ}I)$.

Parametri direttori

Le componenti $(l, m, n)$ di un qualsiasi vettore parallelo a una retta, utilizzate nelle equazioni parametriche.

Rette sghembe

Rette nello spazio che non hanno punti in comune e non appartengono allo stesso piano.