Funktionen und Abbildungen

Was ist eine Funktion?

eine Funktion oder Abbildung ist ein Tripel (M,N,f) bestehend aus zwei Menge M und N und einer Zuordnungsvorschrift f, die jedem m ev M ein eindeutiges Element f(m) ev N zuordnet. M heißt dann Definitionsbereich der Funktion, N heißt ihr Zielbereich und (M,N,f) heißt eine Funktion von M nach N. Die Menge

gr(f):= {(m,n) ev M x N | n = f(m)} Tmv M x N

heißt der Graph der Funktion.

Wie spricht man… aus?

• f(A)

• f^(-1)(B)

• F|A

• F|^(B)

• das Bild von A unter f

• das Urbild von B unter f

• die Einschränkung (oder Restriktion) von f auf A

• die Koeinschränkung (oder Korestriktion) von f auf B

Sprechweise für die Verkettung von Funktionen

Was ist einen Identitätsabbildung?

• idM : M —> M, m—> m,

Es sei M eine Menge. Dann heißt die Funktion, die jedes Element auf sich selbst abbildet die Identitätsabbildung (oder einfach Identität) auf der Menge M.

Was ist… ?

• Injektion

• Surjektiv

• Bijektiv

Injektiv

für jedes n ev N gibt es höchstes ein m mit f(m)= n.

(f(m1) = f(m2)) —> (m1 = m2);

Surjektiv

für jedes Element von N ein Urbild hat, d.h. für jedes n ev N gibt es mindestens ein m ev M mit f(m)= n

Bild(f) = f(M) = N;

Bijektiv

für jedes Elememt gibt es genau ein m ev M gibt mit f(m) = n.

injektiv und surjektiv

Beweisen, dass eine Funktion injektiv ist?

Beweisen, dass eine Funktion surjektiv ist?

Wenn…

• wenn f und g beide injektiv sind

• wenn f und g beide surjektiv sind

• Wenn g o f injektiv ist

• Wenn g o f surjektiv ist

• ist g o f injektiv

• ist g o f surjektiv

• Ist f injektiv

• Ist g surjektiv