Les Polynômes - PCSI

Flashcards de vocabulaire et définitions fondamentales sur les polynômes (PCSI) basées sur le cours.

Polynôme à coefficients dans K

Toute suite $(a_k)_{k \in \mathbb{N}}$ d'éléments de $K$, nulle à partir d'un certain rang.

Degré d'un polynôme non nul

Le plus grand entier $n$ tel que $a_n \neq 0$. Il est noté $\text{deg}(A) = n$. Par convention, le degré du polynôme nul est $-\infty$.

Coefficient dominant

Le coefficient $a_n$ correspondant au degré $n$ du polynôme. On le note $\text{cdom}(A) = a_n$.

Polynôme unitaire

Un polynôme dont le coefficient dominant est égal à $1$.

Indéterminée

Le polynôme particulier noté $X$, défini par la suite $(0, 1, 0, 0, \dots)$, ce qui n'est pas un scalaire.

Base canonique de $K_n[X]$

La famille de polynômes $(1, X, X^2, \dots, X^n)$. La dimension de $K_n[X]$ est $n + 1$.

Famille de degrés échelonnés

Une famille $(P_0, P_1, \dots, P_n)$ de polynômes telle que $\forall i \in \{0, \dots, n-1\}$, $\text{deg}(P_i) < \text{deg}(P_{i+1})$.

Base de Taylor

La famille de polynômes $\mathcal{B}_a = ((X - a)^k)_{0 \leq k \leq n}$ pour un $a \in K$, qui constitue une base de $K_n[X]$.

Fonction polynomiale associée

L'application $\tilde{P} : K \rightarrow K$ définie par $x \mapsto \sum_{k=0}^n a_k x^k$.

Polynôme dérivé

Pour $P = \sum_{k=0}^n a_k X^k$, c'est le polynôme $P' = \sum_{k=1}^n k a_k X^{k-1}$. Si $\text{deg}(P) \leq 0$, alors $P' = 0$.

Formule de Leibniz

Formule calculant la dérivée $n$-ième d'un produit de deux polynômes : $(PQ)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} P^{(k)} Q^{(n-k)}$.

Division euclidienne

Pour deux polynômes $A$ et $B$ ($B \neq 0$), il existe un unique couple $(Q, R)$ tel que $A = BQ + R$ avec $\text{deg}(R) < \text{deg}(B)$. $Q$ est le quotient et $R$ le reste.

Racine d'un polynôme

Un élément $a \in K$ tel que $(X - a)$ divise $P$, ce qui est équivalent à $\tilde{P}(a) = 0$.

Ordre de multiplicité $m$

Entier $m \in \mathbb{N}^*$ tel que $(X - a)^m$ divise $P$ mais $(X - a)^{m+1}$ ne divise pas $P$. Équivaut à $\tilde{P}(a) = \tilde{P}'(a) = \dots = \tilde{P}^{(m-1)}(a) = 0$ et $\tilde{P}^{(m)}(a) \neq 0$.

Polynôme irréductible

Un polynôme non constant dont les seuls diviseurs sont les polynômes de degré $0$ ou ses propres associés (proportionnels).

Théorème de d'Alembert-Gauss

Tout polynôme non constant de $\mathbb{C}[X]$ admet au moins une racine dans $\mathbb{C}$. Tout polynôme de $\mathbb{C}[X]$ est donc scindé.

Polynôme scindé

Polynôme qui peut s'écrire comme un produit de polynômes de degré $1$. Sur $\mathbb{R}[X]$, un polynôme est scindé si toutes ses racines complexes sont réelles.

Relations entre racines et coefficients (degré 2)

Pour $P = aX^2 + bX + c$, on a $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ et $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$.