Mathe test

m4

$$V=\pi\cdot\int_{a}^{b}f\left(x\right)^2\cdot dx$$

Funktionen beschreiben Zusammenhänge zwischen Größen:

• Temperatur in Abhängigkeit der Tageszeit

• Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit

• Kosten in Abhängigkeit vom Preis

Wichtig! Eine Funktion ist immer eindeutig!

• Jedem X-Wert wird genau ein Y-Wert zugeordnet.

ist eine Funktion

Wichtig! Eine Funktion ist immer eindeutig!

• Jedem X-Wert wird genau ein Y-Wert zugeordnet.

ist auch eine Funktion

Wichtig! Eine Funktion ist immer eindeutig!

• Jedem X-Wert wird genau ein Y-Wert zugeordnet.

ist KEINE Funktion!!

Es gibt verschiedene Darstellungsarten:

Funktionsgleichung:

$f\left(x\right)=$ “Formel mit x”

$f$ = Funktion

$\left(x\right)=$ = unabhängige Variable

zum Beispiel im Graph dargestellt:

$$f\left(x\right)=x^{2}+2x+3$$

Lineare Funktion

$$f\left(x\right)=k\cdot x+d$$

Graph einer linearen Funktion

= Gerade

Parameter einer linearen Funktion

k = Steigung

d = Ordinatenabstand; Funktion geht durch den Punkt (0/d)

Bedeutung von k:

• je größer k, desto steiler der Graph

• je näher k bei 0, desto flacher der Graph

• wenn k > 0; dann steigt die Funktion

• wenn k < 0; dann sinkt die Funktion

Funktion zeichnen:

$$f\left(x\right)=2x+3$$

k = 2; d = 3

Markiere Punkt (0/d) —> (0/3)

und gehe 1 in x-Richtung und k (2) in y-Richtung

lineare Gleichungssysteme:

$y=2x+1$ /-2x

$$-2x+y=1$$

• lineare Gleichung in 2 Unbekannte

• Lösung ist ein Punkt, es gibt unendlich viele

lineare Gleichungssysteme

sind mehrere Gleichungen in mehreren Unbekannten gegeben, liegt ein Gleichungssystem vor

• für eine eindeutige Lösung braucht es gleichviele Gleichungen wie Unbekannte

Überlegung bei 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten

Lineares Gleichungssystem:

1. Gleichsetzungsverfahren

Bringe bei beiden Gleichungen y auf eine Seite, dann nehme den X-Term der 1.Gleichung und setze es gegenüber [=] den
X-Term der 2.en Gleichung so erhältst du x.

Beide Gleichungen y auf eine Seite:

$I:y=2x-1$ Rechte Seite muss übereinstimmen

$$II:y=-x+2$$

Beide x-Terme gegenüberstellen:

=> $2x-1=-x+2$ => /+x/+1 nur mehr 1 Gleichung mit 1 Unbekannte

x=1

Lineares Gleichungssystem:

2. Einsetzungsverfahren

beim Einsetzungsverfahren wird die 2.e Gleichung x in die 1.e Gleichung anstatt dem x

eingesetzt, quasi als Ersatz sodass nur noch y übrig bleibt.

Lineares Gleichungssystem:

3. Additionsverfahren

beim Additionsverfahren muss man als erstens eine Gleichung so oft multiplizieren bis eine

Variable gleich groß ist wie dieselbe Variable bei der anderen Gleichung, in diesem Beispiel

wird y hergenommen. sodass eine negative und eine positive 8 herauskommt, die sich

gegenseitig auflösen.

lineares Gleichungssystem:

Steigung zwischen 2 Punkten

$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ —> Steigung zwischen A & B

A (-4/1)

B (2/4)

$$k1=\frac{4-1}{2-\left(-4\right)}=\frac36=\frac12$$

dies bedeutet um $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ zu erhalten muss man y(A)-y(B)/x(A)-x(B) rechnen.

Eigenschaften von Funktionen:

1. Nullstellen

graphisch: Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse

rechnerisch: f(x)=0

Bemerkung: Stelle —> x-Wert
Punkt —> x&y-Wert

Eigenschaften von Funktionen:

1. Nullstellen

Bestimmung rechnerisch

$$f\left(x\right)=2x+3$$

$$x=-\frac23$$

$$g\left(x\right)=2x^{2}+3x+4=0$$

Eigenschaften von Funktionen:

2. Extremstellen

• (lokales) MAXIMUM: In einer Umgebung von x_max sind alle Funktionswerte kleiner als f(x_max) —> trauriger Smiley =(

• (lokales) MINIMUM: In einer Umgebung von x_min sind alle Funktionswerte größer als f(x_min) —> happy Smily =)

Min ist der tiefstgelegene Wert bei einem Graph,

Max ist der höchstgelegene Wert eines Graphs