Chapitre 1 - Les ensembles et les relations

Qu’est-ce qu’un ensemble ?

Une collection d’éléments.

Que signifie B ⊆ A ?

Tous les éléments de $B$ appartiennent à $A$ : $\forall x, x \in B$

Comment définit-on la réunion B ∪ C ?

B ∪ C = {a ∈ A : a ∈ B ou a ∈ C}. Le « ou » est inclusif.

Comment définit-on l’intersection B ∩ C ?

B ∩ C = {a ∈ A : a ∈ B et a ∈ C}.

Comment définit-on le complémentaire de B dans A ?

Bᶜ = A \ B = {a ∈ A : a ∉ B}.

Comment définit-on le complémentaire relatif B \ C ?

B \ C = {a ∈ B : a ∉ C} = B ∩ Cᶜ.

Quelles propriétés définissent une relation d’ordre ?

La réflexivité, l’antisymétrie et la transitivité.

Qu’est-ce que la réflexivité ?

Chaque élément est en relation avec lui-même : ∀x ∈ E, x ≼ x.

Qu’est-ce que l’antisymétrie ?

Si x ≼ y et y ≼ x, alors x = y.

Qu’est-ce que la transitivité ?

Si x ≼ y et y ≼ z, alors x ≼ z.

Qu’est-ce qu’un majorant de A ⊆ ℝ ?

Un réel M tel que ∀a ∈ A, a ≤ M.

Qu’est-ce qu’un minorant de A ⊆ ℝ ?

Un réel m tel que ∀a ∈ A, m ≤ a.

Qu’est-ce que le maximum de A ?

Un élément M ∈ A qui est aussi un majorant de A : ∀a ∈ A, a ≤ M.

Qu’est-ce que le minimum de A ?

Un élément m ∈ A qui est aussi un minorant de A : ∀a ∈ A, m ≤ a.

Qu’est-ce que le supremum de A ?

Le plus petit majorant de A : sup(A) = min{M ∈ ℝ : M est un majorant de A}.

Qu’est-ce que l’infimum de A ?

Le plus grand minorant de A : inf(A) = max{m ∈ ℝ : m est un minorant de A}.

Quelle différence entre maximum et supremum ?

Le maximum appartient nécessairement à A. Le supremum peut ne pas appartenir à A.

Quelle différence entre minimum et infimum ?

Le minimum appartient nécessairement à A. L’infimum peut ne pas appartenir à A.

Quand un ensemble A est-il minoré ?

Lorsqu’il possède au moins un minorant.

Quand un ensemble A est-il majoré ?

Lorsqu’il possède au moins un majorant.

Quand un ensemble A est-il borné ?

Lorsqu’il est à la fois minoré et majoré.

Combien de maximums un sous-ensemble de ℝ peut-il avoir ?

Zéro ou un seul. S’il existe, le maximum est unique.

Combien de minimums un sous-ensemble de ℝ peut-il avoir ?

Zéro ou un seul. S’il existe, le minimum est unique.

Quel type de preuve utilise-t-on pour montrer l’unicité du maximum ?

Une preuve par l’absurde : supposer deux maximums distincts, puis utiliser qu’ils majorent chacun l’autre.

Quel type de preuve utilise-t-on pour montrer l’unicité du minimum ?

Une preuve par l’absurde : supposer deux minimums distincts, puis utiliser qu’ils minorent chacun l’autre.

Si inf(A) et sup(A) existent, quelle inégalité vérifient-ils ?

inf(A) ≤ sup(A).

Si un ensemble possède un majorant, combien en possède-t-il ?

Une infinité : si M est un majorant, alors M + i est aussi un majorant pour tout i ∈ ℕ₀.

Si un ensemble possède un minorant, combien en possède-t-il ?

Une infinité : si m est un minorant, alors m − i est aussi un minorant pour tout i ∈ ℕ₀.