mathmetical analysis

0.0(0)
studied byStudied by 3 people
learnLearn
examPractice Test
spaced repetitionSpaced Repetition
heart puzzleMatch
flashcardsFlashcards
Card Sorting

1/80

flashcard set

Earn XP

Description and Tags

Study Analytics
Name
Mastery
Learn
Test
Matching
Spaced

No study sessions yet.

81 Terms

1
New cards

операції з множинами

обʼєднання
перетин
різниця
доповнення (через універсальну множину Х)
декартовий добуток

2
New cards

означення скінченної та нескінченної множини

скінченна - множина, яка складається зі скінченної кількості елементів
нескінченна - множина, яка складається зі нескінченної кількості елементів

3
New cards

означення функції (відображення f:X→Y)

це правило, яке кожному елементу x∈X, ставить у відповідність один і лише один елемент у∈Y

4
New cards

образ множини А

knowt flashcard image
5
New cards

прообраз множини В

knowt flashcard image
6
New cards

інʼєктивне відображення

для кожного х різні у (у набуває різних значень на всіх області визначення)

7
New cards

сюрʼєктивне відображення

х існує на всій області значень (для кожного у існує хоча б один х)

8
New cards

бієктивне відображення

інʼєктивне і сюрʼєктивне відображення водночас

9
New cards

умова існування оберненої функції

якщо існує бієкція даної функції

10
New cards

множини А і В називають рівнопотужними,

якщо існує бієкція f:A→B

11
New cards

(!!!) теорема(1.4.3) про обʼєднання зліченної кількості зліченних множин

обʼєднання зліченної кількості зліченних множин є зліченною множиною

<p>обʼєднання зліченної кількості зліченних множин є зліченною множиною<br></p>
12
New cards

(!!!) теорема(1.4.4) про існування незліченних множин

існують незліченні множини

<p>існують незліченні множини<br></p>
13
New cards

множину A⊂R називають обмеженою зверху, якщо

<p></p>
14
New cards

множину A⊂R називають обмеженою знизу, якщо

knowt flashcard image
15
New cards

множину A⊂R називають обмеженою,

якщо вона обмежена і зверху, і знизу

16
New cards

означення максимального (найбільшого) елемента (с) множини A⊂R

knowt flashcard image
17
New cards

означення мінімального (найменшого) елемента (d) множини A⊂R

knowt flashcard image
18
New cards

означення точної верхньої межі множини A⊂R

knowt flashcard image
19
New cards

означення точної нижньої межі множини A⊂R

knowt flashcard image
20
New cards

лема(1.6.1) принцип точної верхньої межі

кожна непорожня обмежена зверху підмножина множини дійсних чисел має точну верхню межу і до того ж лише одну

21
New cards

теорема(1.8.1) принцип Архімеда

knowt flashcard image
22
New cards

наслідки з принципу Архімеда

knowt flashcard image
23
New cards

теорема(1.9.1) принцип вкладених відрізків

knowt flashcard image
24
New cards

означення границі числової послідовності

knowt flashcard image
25
New cards

ε-окіл числа а

knowt flashcard image
26
New cards

(!!!) теорема(2.2.1) про єдиність границі послідовності

knowt flashcard image
27
New cards

означення обмеженої послідовності (зверху/знизу/обм)

knowt flashcard image
28
New cards

(!!!) теорема(2.2.2) про обмеженість збіжної послідовості

knowt flashcard image
29
New cards

(!!!) теорема(2.2.8) про двох поліцаїв і пʼяного викладача з політєху

knowt flashcard image
30
New cards

означення нескінченно малої послідовності

knowt flashcard image
31
New cards

означення нескінченно великої послідовності

knowt flashcard image
32
New cards

розширена множина дійсних чисел

множина дійсних чисел, включаючи {+∞} та {-∞}

33
New cards

невизначеності

(+∞) + (+∞) = +∞
∞ * ∞ = ∞
0/∞ = 0
∞/0 = ∞

34
New cards

означення зростаючої монотонної послідовності

knowt flashcard image
35
New cards

означення неспадної монотонної послідовності

knowt flashcard image
36
New cards

означення спадної монотонної послідовності

knowt flashcard image
37
New cards

означення незростаючої монотонної послідовності

knowt flashcard image
38
New cards

теорема(2.6.1) про збіжність монотонної обмеженої послідовності

монотонна обмежена послідовність має границю

39
New cards

означення підпослідовності послідовності

knowt flashcard image
40
New cards

теорема(2.8.2) принцип Больцано-Вейєрштрасса

із будь-якої обмеженої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність

<p>із будь-якої обмеженої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність</p>
41
New cards

означення фундаментальної послідовності

knowt flashcard image
42
New cards

теорема(2.9.1) критерій Коші

для того, щоб послідовність збігалася, необхідноі достатньо, щоб вона була фундаментальною

<p>для того, щоб послідовність збігалася, необхідноі достатньо, щоб вона була фундаментальною</p>
43
New cards

означення границі функції

за Коші: (∀ε>0)(∃δ>0)(∀x∈(U⁰δ)(x₀)){f(x)∈Uε(A)}

<p>за Коші: (∀ε&gt;0)(∃δ&gt;0)(∀x∈(U⁰δ)(x₀)){f(x)∈Uε(A)}</p>
44
New cards

(!!!) перша важлива границя

knowt flashcard imageknowt flashcard image

<p><img src="https://knowt-user-attachments.s3.amazonaws.com/659e3c85-d741-4180-b981-78076d0a7d48.jpeg" alt="knowt flashcard image" width="150" height="150"><img src="https://knowt-user-attachments.s3.amazonaws.com/930b8db8-b064-404a-b1c2-80333c163453.jpeg" alt="knowt flashcard image" width="150" height="150"></p>
45
New cards

друга важлива границя

knowt flashcard image
46
New cards

означення неперервної функції в точці х₀

<p></p>
47
New cards

приріст аргумента

∆x=x-x₀

48
New cards

приріст функції

∆y=f(x)-f(x₀)

49
New cards

означення неперервності в точці х₀ зліва/справа

<p></p>
50
New cards

означення точки розриву на інтервалі (a,b)

knowt flashcard image
51
New cards

означення точки розриву першого роду

це точка, яка
1) є точкою розриву
2) існують скінченні односторонні границі

→ пр: y = sgnx

52
New cards

означення точки усувного розриву

це точка розриву першого роду, величина стрибка(різниця право і лвосторонньої границь) якої = 0
→ пр: y = (x+3)/(x²+x-6), x=-3

53
New cards

означення точки розриву другого роду

це точка, яка
1) є точкою розриву
2) одна з односторонніх границь, або не існує, або = ∞
→ пр: y= x/(x²-1)

54
New cards

(!!!) теорема(4.4.1) Вейерштрасса

Якщо функція f(x) є неперервною на відрізку [a,b], то вона обмежена і досягає на ньому своїх верхньої і нижньої точних меж, тобто

<p>Якщо функція f(x) є неперервною на відрізку [a,b], то вона обмежена і досягає на ньому своїх верхньої і нижньої точних меж, тобто</p>
55
New cards

(!!!) теорема(4.4.2) Больцано-Коші

нехай функція f(x) неперервна на відрізку [a,b], f(a)=A, f(b)=B; тоді для будь-якого числа С, що лежить між А та В, знайдеться точка x₀∈[a,b] така, що f(x₀)=C

<p>нехай функція f(x) неперервна на відрізку [a,b], f(a)=A, f(b)=B; тоді для будь-якого числа С, що лежить між А та В, знайдеться точка x₀∈[a,b] така, що f(x₀)=C</p>
56
New cards

означення рівномірно неперервної функції

knowt flashcard image
57
New cards

теорема(4.9.1) Кантора

(f(x) - неперервна на [a,b]) (f(x) - рівномірно неперервна на [a,b])

58
New cards

означення похідної функції

knowt flashcard image
59
New cards

геометричний зміст похідної

k(∆x) = ∆y/∆x = tga(∆x)

<p>k(∆x) = ∆y/∆x = tga(∆x)</p>
60
New cards

означення диференційовної функції в точці х₀

<p></p>
61
New cards

(!!!) теорема(5.3.1) про похідну диференційовної функції

для того, щоб функція f(x) була диференційовною в точці х₀, необхідно і досить, щоб вона мала в цій точці похідну

<p>для того, щоб функція f(x) була диференційовною в точці х₀, необхідно і досить, щоб вона мала в цій точці похідну</p>
62
New cards

(!!!) теорема(5.3.2) про неперервність диференційовної функції

якщо функція f(x) диференційовна в точці х₀, то вона неперервна в точці х₀

63
New cards

(!!!) теорема(5.4.1) арифметичні дії з функціями

knowt flashcard image
64
New cards

формула Лейбніца

knowt flashcard image
65
New cards

(!!!) теорема(6.1.1) про зростання і спадання диференційовної функції

knowt flashcard image
66
New cards

(!!!) теорема(6.1.2) Ферма

knowt flashcard image
67
New cards

(!!!) теорема(6.2.1) Ролля

knowt flashcard image
68
New cards

(!!!) теорема(6.2.2) Лагранжа

knowt flashcard image
69
New cards

(!!!) теорема(6.2.3) Коші

knowt flashcard image
70
New cards

(!!!) наслідок 1 з теореми Лагранжа

knowt flashcard image
71
New cards

(!!!) наслідок 2 з теореми Лагранжа

knowt flashcard image
72
New cards

(!!!) теорема(6.5.1) перше правило Лопіталя

knowt flashcard image
73
New cards

(!!!) теорема(6.6.1) формула Тейлора

knowt flashcard image
74
New cards

(!!!) теорема(7.2.1) перша достатня умова екстремуму

knowt flashcard image
75
New cards

(!!!) теорема(7.2.2) друга достатня умова екстремуму

knowt flashcard image
76
New cards

означення опуклої функції

функцію f(x), що визначена на інтервалі (a,b), називають опуклою вниз (опуклою вгору), якщо графік функції лежить не нижче (не вище) від совєї дотичної, проведеної в будь-якій точці інтервалу (a,b)

77
New cards

(!!!) теорема(7.3.1) про характер опуклості функції

knowt flashcard image
78
New cards

теорема (7.4.1) перша двостатня умова перегину

knowt flashcard image
79
New cards

теорема (7.4.2) друга двостатня умова перегину

knowt flashcard image
80
New cards

означення вертикальної асимптоти

knowt flashcard image
81
New cards

означення похилої асимптоти

knowt flashcard image