MATHS BAC

Utiliser la loi binomiale

Sucession d'épreuves / indépendantes / à deux issues / proba réussite

Loi binomiale

p(X=k) = (k parmi n) p^k (1-p)^n-k

P(X=k) calculatrice

binomFdp(n,p,k)

P(X<=k) calculatrice

binomFrép(n,p,k)

Produit cartésien

A1 x A2 x … x An ou Ak

k-uplet d'un ensemble

n^k

Arrangement

Ordre

Nombre d'arrangements

A^k_n = n!/(n-k)!

Parties

Pas d'ordre

Nombre de parties

2^n

Combinaison

Pas d'ordre

Nombre de combinaisons

(k parmi n) = (n-k parmi n) = n!/(n-k)!k!

Relation de Pascal

(k parmi n) = (k parmi n-1) + (k-1 parmi n-1)

Espérance

E(X) = p1x1 + p2x2 + … + pnxn

Variance

V(X) = M((X-E(X))^2)

Écart-type

ō = sqrt(V(X))

Linéarité? espérance

E(X+Y) = E(X) + E(Y) et E(aX) = aE(X)

Linéarité? variance (indépendantes)

V(X+Y) = V(X) + V(Y) et V(aX) = a^2(V(X))

Espérance loi binomiale

E(X) = np

Variance loi binomiale

V(X) = np(1-p)

Écart-type loi binomiale

ō = sqrt(np(1-p)

Espérance de somme/moyenne de variables (Bernoulli)

E(Sn) = n x E(X) / E(Mn) = E(X)

Variance de somme/moyenne de variables (Bernoulli)

V(Sn) = n x V(X) / V(Mn) = V(X)/n

Écart-type de somme/moyenne de variables (Bernoulli)

ō(Sn) = sqrt(n) x ō(X) ō(Mn) = ō(X)/n

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

p(|X-E(X)|>= d) <= V(X)/d^2

Inégalité de concentration

p(|Mn-E(X)|>= d) <= V(X)/nd^2

Loi faible des grands nombres

lim(n->+infini) p(|Mn-E(X)|>= d) = 0

Dérivée sqrt(u)

u'/2sqrt(u)

Dérivée u^n

nu'u^n-1

Dérivée u(v)

u'(v) x v'

Dérivée ln(u)

u'/u

Convexe milieu d'une corde

f(a+b/2) <= (f(a)+f(b))/2

Primitive x^n

(x^n+1)/n+1 + c

Primitive u'/u^2

-1/u + c

Primitive u'/sqrt(u)

2sqrt(u) + c

Primitive u'u^n

u^n+1/n+1 + c

Equadiff y' = ay + b

y = ke^ax -b/a

Equadiff étapes

Résolution équation homogène / recherche solution particulière / addition des deux résultats précédents

Integrale Int(a~b)f(t)dt

F(b) - F(a) = F(t)

Moyenne de f sur [a;b]

m = 1/b-a • Int(a~b)f(t)dt

Linéarité intégrales?

Somme + multiplication par un réel

Intégration par partie

Int(a~b)u'(t)v(t)dt = u(t)v(t) - Int(a~b)u(t)v'(t)dt

Dérivée cos(u) / sin(u)

-u'sin(u) / u'cos(u)

Integrale Int(a~b)f(t)dt

F(b) - F(a) = F(t)

Primitive qui s'annule en a

F(X) = Int(a~x)f(t)dt

Primitive lnx

xlnx-x + c

Primitive sqrt(x)

2/3 • xsqrt(x) + c

Primitive Intégration par partie

u'v = (uv)' - uv' donc Prim(u'v) = uv - Prim(uv')

Lim(+infini) lnx/x

0

Lim(-infini) x^n • e^x

0

f'(a) formules

lim(x->a) (f(x)-f(a))/x-a = lim(h->0) (f(a+h)-f(a))/h

lim(0) (e^x -1)/x = lim(0) (ln(x+1))/x = lim(0) sinx/x

1

lim(-infini) ue^u

0

Passage à la limite

limun = l / un+1= f(un) / f continue / passage à la limite / l = f(l)

Forme canonique

a(x-alpha)^2 + beta

avec alpha = -b/2a et beta = f(alpha)

Complétion du carré

x^2 - 2alphax = (x - alpha)^2 - alpha^2

Somme et produit des racines

s = -b/a et p = c/a

a^3 + b^3

(a + b)(a^2 - ab + b^2)

a^3 - b^3

(a - b)(a^2 + ab + b^2)

a^3 + b^3 + c^3 - 3abc

(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)

Somme suite arithmétique

s = nbtermes • (1er + dernier)/2

somme suite géométrique

s = 1er • (1-q^nbtermes)/1-q

Cercle de centre O(a;b)

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

cos(pi-x) / cos(pi+x)

-cosx / -cosx

sin(pi-x) / sin(pi+x)

sinx / -sinx

cos/sin(?) = sin/cos(x)

pi/2 - x

Produit scalaire distances et angle

AB.AC = AB • AC • cosÂ

Produit scalaire projeté orthogonal

AB.AC = AB • (-)AH

Produit scalaire polarisation (x3)

u.v = 1/2(||u + v||^2 - ||u||^2 - ||v||^2)

u.v = 1/2(||u||^2 + ||v||^2 - ||u - v||^2)

u.v = 1/4(||u + v||^2 - ||u - v||^2)

Produit scalaire coordonnées (orthonormé)

u.v = xx' + yy' +zz'

Binôme de Newton

(a+b)^n = S(k=0~n)(k parmi n)a^k • b^n-k

Inégalité triangulaire

|z + z'| <= |z| + |z'|

arg(-z)

argz + pi [2pi]

arg(\z)

-argz [2pi]

arg(zz')

argz + argz' [2pi]

arg(z^n)

nargz [2pi]

Ensemble U (module 1)

Stable par produit et inverse

cos(a+b)

cosacosb - sinasinb

cos(a-b)

cosacosb +sinasinb

sin(a+b)

sinacosb + sinbcosa

sin(a-b)

sinacosb - sinbcosa

cos2a (x3)

(cosa)^2 -(sina)^2

1 - 2(sina)^2

2(cosa)^2 -1

sin2a

2sinacosa

|e^iØ|

1

Formule de Moivre

e^iØ • e^iØ' = e^i(Ø+Ø')

Formules d'Euler

cosØ = (e^iØ + e^-iØ)/2

sinØ = (e^iØ - e^-iØ)/2i

Factoriser un trinôme

az^2 + bz + c = a(z-z1)(z-z2)

z^n - a^n

(z-a)(z^n-1 + az^n-2 + … + za^n-2 + a^n-1)

z^n admet n racines n-ièmes (Un) de forme

e^i(2kpi)/n

Si a|b et a|c (permet de supprimer une inconnue)

a|bu+cv

a==b[n] et c==d[n]

a (+/•/^) c == b (+/•/^) d [n]

Lemme d'Euclide

PGCD(a;b) = PGCD(b;r)

Identité de Bézout

Ē(u;v) au +bv = PGCD(a;b)

Théorème de Bézout

PGCD(a;b)= 1 si ssi Ē(u;v) au + bv = 1