Chapitre 5 - Suites bornés, monotones et sous-suites

Quand une suite $(u_{n})$ est-elle minorée ?

Lorsque l’ensemble {u_{n} : n \in \mathbb{N}_0\} possède un minorant.

Quand une suite $(u_n)$ est-elle majorée ?

Lorsque l’ensemble {u_{n} : n \in \mathbb{N}_0\} possède un majorant.

Quand une suite $(u_n)$ est-elle bornée ?

Lorsque $(u_n)$ est à la fois minorée et majorée.

Théorème : Soit $(u_n)$ une suite réelle. Si la suite $(u_n)$ converge dans $\mathbb{R}$, alors $(u_n)$ est bornée.

Démonstration directe :

Supposons que $u_n\longrightarrow u$

Par définition de la convergence,

$\forall \varepsilon>0,\quad \exists n^{*}\in\mathbb{N}$ tel que $\forall n\geq n^{*},\quad u_n\in [u-\varepsilon,u+\varepsilon].$

Ainsi, pour tout $n\geq n^{*}$,

$$u-\varepsilon\leq u_n\leq u+\varepsilon$$

Les termes situés avant le rang $n^{*}$ sont en nombre fini :

$$u_1,u_2,\ldots,u_{n^{*}-1}$$

On pose alors $m=\min\left\{u_1,u_2,\ldots,u_{n^{*}-1},u-\varepsilon\right\}$ et $M=\max\left\{u_1,u_2,\ldots,u_{n^{*}-1},u+\varepsilon\right\}$

On obtient donc, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $m\leq u_n\leq M.$

Par conséquent, la suite $(u_n)$ est bornée.

Quelle est la réciproque du théorème : $(u_n)$ est bornée $\quad\Longrightarrow\quad(u_n)$ converge dans $\mathbb{R}$

La réciproque est

$(u_n)$ est bornée $\Longrightarrow (u_n)$ converge dans $\mathbb{R}$

Cette réciproque est fausse

Un contre-exemple est la suite :

$$u_n=(-1)^n$$

Cette suite est bornée puisque :

$$-1\leq u_n\leq 1,\qquad \forall n\in\mathbb{N}$$

Cependant, elle ne converge pas, car ses termes alternent entre

$-1$ et $1$ :

$$-1,1,-1,1,\ldots$$

Donc :

$$\boxed{(u_n)\text{ bornée}\Leftarrow (u_n)\text{ convergente}}$$

Quelle est la contraposée du théorème $(u_n)$ converge dans $\mathbb{R} \Longrightarrow (u_n)$ est bornée

Pour une implication $A\Longrightarrow B$, la contraposée est $\neg B\Longrightarrow \neg A.$

Ici, la contraposée du théorème est donc $(u_n)$ n'est pas bornée $\Longrightarrow (u_n)$ ne converge pas dans $\mathbb{R}.$

On peut aussi l'écrire :

$(u_n)$ ne converge pas dans $\mathbb{R} \Longleftarrow (u_n)$ n'est pas bornée.

$</p><p>Cette contraposée est toujours vraie.</p><p>EXP : Considérons la suite$u_n=n.$</p><p>Ses termes sont$(u_n)=(1,2,3,4,\ldots).$</p><p>Cette suite n'est pas bornée, car$\forall M\in\mathbb{R}, \quad \exists n\in\mathbb{N}$tel que$u_n>M$</p><p>Par la contraposée du <strong><mark data-color="green" style="background-color: green; color: inherit;">théorème</mark></strong>$(u_n)$converge dans$\mathbb{R} \Longrightarrow (u_n)$est bornée : </p><p>$\boxed{(u_n)\text{ n'est pas bornée}\Longrightarrow (u_n)\text{ ne converge pas dans }\mathbb{R}}$$

Quand une suite $(u_n)$ est-elle croissante ?

La suite $(u_n)$ est croissante lorsque :

$$\forall n_1,n_2\in\mathbb{N}, \qquad n_1<n_2 \Longrightarrow u_{n_1}\leq u_{n_2}.$$

Quand une suite $(u_n)$ est-elle strictement croissante ?

La suite $(u_n)$ est strictement croissante lorsque :

$$\forall n_1,n_2\in\mathbb{N},\qquad n_1<n_2 \Longrightarrow u_{n_1}<u_{n_2}.$$

Quand une suite $(u_n)$ décroissante ?

La suite $(u_n)$ est décroissante lorsque :

$$\forall n_1,n_2\in\mathbb{N},\qquad n_1<n_2 \Longrightarrow u_{n_1}\geq u_{n_2}.$$

Quand une suite $(u_n)$ strictement décroissante ?

La suite $(u_n)$ est décroissante lorsque :

$$\forall n_1,n_2\in\mathbb{N},\qquad n_1<n_2 \Longrightarrow u_{n_1}>u_{n_2}$$

Quand une suite est-elle (strictement) monotone ?

La suite $(u_n)$ est monotone lorsqu'elle est croissante ou décroissante :

$$(u_n)\text{ est monotone} \Longleftrightarrow (u_n)\text{ est croissante ou décroissante}.$$

Elle est strictement monotone lorsqu'elle est strictement croissante

ou strictement décroissante :

$$(u_n)\text{ est strictement monotone} \Longleftrightarrow (u_n)\text{ est strictement croissante ou strictement décroissante}.$$

Théorème : Soit $(u_n)$ une suite réelle. Si la suite $(u_n)$ est croissante

et majorée, alors elle converge vers $u=\sup\{u_n:n\in\mathbb{N}_0\}$

Démonstration directe : Posons $u=\sup\{u_n:n\in\mathbb{N}_0\}$

Soit $\varepsilon>0$. Comme $u$ est le supremum de l'ensemble des termes de la suite,

le nombre $u-\varepsilon$ n'est pas un majorant de cet ensemble.

Il existe donc un rang $n^{*}\in\mathbb{N}_0$ tel que $u-\varepsilon<u_{n^{*}}.$

Comme la suite $(u_n)$ est croissante, pour tout $n\geq n^{*}$, $u_{n^{*}}\leq u_n.$

On obtient alors $u-\varepsilon<u_{n^{*}}\leq u_n.$

D'autre part, puisque $u$ est un majorant de la suite,

$$u_n\leq u<u+\varepsilon, \qquad \forall n\in\mathbb{N}_0.$$

Par conséquent, pour tout $n\geq n^{*}$, $u-\varepsilon<u_n<u+\varepsilon.$

Cela équivaut à $|u_n-u|<\varepsilon.$

Ainsi,

$$\boxed{u_n\longrightarrow u}.$$

Théorème : Soit $(u_n)$ une suite réelle. Si la suite $(u_n)$ est décroissante

et minorée, alors elle converge vers $u=\inf\{u_n:n\in\mathbb{N}_0\}$

Démonstration directe : Posons $u=\inf\{u_n:n\in\mathbb{N}_0\}.$

Soit $\varepsilon>0$. Comme $u$ est l'infimum de l'ensemble des termes de la suite,

le nombre $u+\varepsilon$ n'est pas un minorant de cet ensemble.

Il existe donc un rang $n^{*}\in\mathbb{N}_0$ tel que $u_{n^{*}}<u+\varepsilon$

Comme la suite $(u_n)$ est décroissante, pour tout $n\geq n^{*}$, $u_n\leq u_{n^{*}}.$

On obtient alors $u_n\leq u_{n^{*}}<u+\varepsilon.$

D'autre part, puisque $u$ est un minorant de la suite, $u\leq u_n, \qquad \forall n\in\mathbb{N}_0$

Ainsi, pour tout $n\geq n^{*}$, $u\leq u_n<u+\varepsilon.$

Comme $u-\varepsilon<u,$

on obtient finalement $u-\varepsilon<u_n<u+\varepsilon.$

Cela équivaut à $|u_n-u|<\varepsilon.$

Par conséquent,

$$\boxed{u_n\longrightarrow u}.$$

Théorème : Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $u_n\longrightarrow u, \qquad u\in\mathbb{R}$

Alors toute sous-suite $(u_{n_k})$ de $(u_n)$ converge également vers $u$ :

$$\boxed{u_n\longrightarrow u \quad\Longrightarrow\quad u_{n_k}\longrightarrow u}$$

Démonstration directe : Supposons que $u_n\longrightarrow u$

Soit $\varepsilon>0$. Par définition de la convergence, il existe $N\in\mathbb{N}_0$ tel que $\forall n\geq N,\qquad |u_n-u|<\varepsilon.$

Soit $(u_{n_k})$ une sous-suite de $(u_n)$.

Comme la suite des indices $(n_k)$ est strictement croissante,

$$n_k\longrightarrow +\infty.$$

Il existe donc $K\in\mathbb{N}_0$ tel que $\forall k\geq K,\qquad n_k\geq N$

Par conséquent, pour tout $k\geq K$, $|u_{n_k}-u|<\varepsilon.$

Ainsi,

$$\boxed{u_{n_k}\longrightarrow u}$$

Toute sous-suite de $(u_n)$ converge donc vers la même limite $u$.

La contaposée de ce théorème : Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $u_n\longrightarrow u, \qquad u\in\mathbb{R}$

Alors toute sous-suite $(u_{n_k})$ de $(u_n)$ converge également vers $u$ :

$$\boxed{u_n\longrightarrow u \quad\Longrightarrow\quad u_{n_k}\longrightarrow u}$$

Si une suite possède une sous-suite qui ne converge pas dans $\mathbb{R}$, alors la suite elle-même ne converge pas dans

$\mathbb{R}$ :

$$(u_{n_k})\text{ ne converge pas dans }\mathbb{R} \quad\Longrightarrow\quad (u_n)\text{ ne converge pas dans }\mathbb{R}.$$

Théorème : Limite d'une somme - Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles telles que $u_n\longrightarrow u \qquad\text{et}\qquad v_n\longrightarrow v,$

où $u,v\in\mathbb{R}$.

Alors,

$$\boxed{u_n+v_n\longrightarrow u+v}$$

Démonstration directe : Soit $\varepsilon>0$. Comme $u_n\longrightarrow u$, il existe

$N_u\in\mathbb{N}_0$ tel que $\forall n\geq N_u, \qquad |u_n-u|<\frac{\varepsilon}{2}$

Cela équivaut à $u-\frac{\varepsilon}{2}<u_n<u+\frac{\varepsilon}{2}.$

Comme $v_n\longrightarrow v$, il existe $N_v\in\mathbb{N}_0$ tel que $\forall n\geq N_v,\qquad |v_n-v|<\frac{\varepsilon}{2}$

Cela équivaut à $v-\frac{\varepsilon}{2}<v_n<v+\frac{\varepsilon}{2}.$

Posons $N=\max\{N_u,N_v\}.$

Pour tout $n\geq N$, on peut additionner les deux encadrements :

$$u+v-\varepsilon<u_n+v_n<u+v+\varepsilon.$$

En soustrayant $u+v$, on obtient $-\varepsilon<(u_n+v_n)-(u+v)<\varepsilon.$

Donc, $\left|(u_n+v_n)-(u+v)\right|<\varepsilon.$

Par conséquent,

$$\boxed{u_n+v_n\longrightarrow u+v}$$

Quel est la limite d’un produit de suites $(u_n)$ et $(v_n)$ ?

$(u_n) \rightarrow u \; (\in \mathbb{R})$ et $(v_n) \rightarrow v \; (\in \mathbb{R})$. Alors $(u_n v_n) \rightarrow uv.$

Quelle est la limite d'une suite $(u_n)$ multipliée par une constante $c$ ?

Quelle est la limite d'une suite multipliée par une constante ?

Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $u_n\longrightarrow u,\qquad u\in\mathbb{R},$ et soit $c\in\mathbb{R}$ une constante.

Alors,

$$\boxed{cu_n\longrightarrow cu}$$

Autrement dit,

$$\lim_{n\to+\infty}(cu_n)= c \qquad \lim_{n\to+\infty}u_n = cu.$$

Quelle est la limite d'une combinaison linéaire de plusieurs suites

convergentes ?

Soient $k$ suites réelles

$\left(u_n^{(1)}\right),\left(u_n^{(2)}\right),\ldots, \left(u_n^{(k)}\right)$ telles que, pour tout $i\in\{1,\ldots,k\}$,

$$u_n^{(i)}\longrightarrow u^{(i)}.$$

Soient également $c^{(1)},c^{(2)},\ldots,c^{(k)}\in\mathbb{R}$, des constantes.

Alors,

$$\boxed{c^{(1)}u_n^{(1)}+c^{(2)}u_n^{(2)}+\cdots+c^{(k)}u_n^{(k)} \longrightarrow c^{(1)}u^{(1)} +c^{(2)}u^{(2)} +\cdots +c^{(k)}u^{(k)}}$$

Sous forme de somme :

$$\boxed{\sum_{i=1}^{k}c^{(i)}u_n^{(i)}\longrightarrow\sum_{i=1}^{k}c^{(i)}u^{(i)}}$$

Autrement dit, $\lim_{n\to+\infty}\left(\sum_{i=1}^{k}c^{(i)}u_n^{(i)}\right)=\sum_{i=1}^{k} c^{(i)}\lim_{n\to+\infty}u_n^{(i)}.$

Quelle est la limite de l'inverse d'une suite convergente ?

Soit $(v_n)$ une suite de réels non nuls telle que $v_n\longrightarrow v, \qquad v\neq 0.$

Alors,

$$\boxed{\frac{1}{v_n}\longrightarrow\frac{1}{v}}$$

Autrement dit,

$$\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{v_n}=\frac{1}{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n}.$$

Conditions importantes : $v_n\neq 0 \qquad\text{et}\qquad v\neq 0.$

Théorème : Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles telles que $u_n\longrightarrow u, \qquad u\in\mathbb{R},$ et $v_n\longrightarrow v, \qquad v\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.$

On suppose également que $v_n\neq 0,\qquad \forall n\in\mathbb{N}_0.$

Alors,

$$\boxed{\frac{u_n}{v_n}\longrightarrow\frac{u}{v}}$$

Démonstration directe : On écrit $\frac{u_n}{v_n}=u_n\cdot\frac{1}{v_n}.$

Comme $v_n\longrightarrow v \qquad$ avec $v\neq 0,$ le lemme sur la limite d'un inverse donne $\frac{1}{v_n}\longrightarrow\frac{1}{v}.$

De plus,$u_n\longrightarrow u.$

En appliquant le théorème sur la limite d'un produit, on obtient $u_n\cdot\frac{1}{v_n} \longrightarrow u\cdot\frac{1}{v}.$

Par conséquent,

$$\boxed{\frac{u_n}{v_n}\longrightarrow\frac{u}{v}}$$

Limite d’un quotient de polynômes de même degré ?

Soient deux polynômes de même degré $\ell$ :

$P(n)=c_{\ell}n^{\ell}+c_{\ell-1}n^{\ell-1}+\cdots+c_1n+c_0$ et $Q(n)=d_{\ell}n^{\ell}+d_{\ell-1}n^{\ell-1}+\cdots+d_1n+d_0,$ avec $d_{\ell}\neq 0$

Alors,

$$\boxed{\frac{P(n)}{Q(n)}\longrightarrow \frac{c_{\ell}}{d_{\ell}}}$$

Lemme de comparaison : Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles telles que $v_n\longrightarrow 0.$

Supposons qu'il existe $N\in\mathbb{N}_0$ tel que

$$\forall n\geq N,\qquad 0\leq u_n\leq v_n.$$

Alors,

$$\boxed{u_n\longrightarrow 0}.$$

Démonstration directe : Soit $\varepsilon>0$.

Comme $v_n\longrightarrow 0,$ il existe $N_v\in\mathbb{N}_0$ tel que $\forall n\geq N_v,\qquad |v_n|<\varepsilon.$

Posons $N^{*}=\max\{N,N_v\}.$

Pour tout $n\geq N^{*}$, on a simultanément $0\leq u_n\leq v_n$ et $|v_n|<\varepsilon.$

Puisque $v_n\geq0$, on a $|v_n|=v_n.$

Ainsi, $0\leq u_n\leq v_n<\varepsilon.$

Comme $u_n\geq0$,

$$|u_n-0|=|u_n|=u_n<\varepsilon.$$

Par conséquent,

$\forall\varepsilon>0,\quad \exists N^{*}\in\mathbb{N}_0$ tel que $\forall n\geq N^{*},\quad |u_n-0|<\varepsilon.$

Donc,

$$\boxed{u_n\longrightarrow 0}.$$

Théorème de l'étau : Soient $(a_n)$, $(b_n)$ et $(c_n)$ trois suites réelles telles que $a_n\longrightarrow a$ et $c_n\longrightarrow a.$

Supposons qu'il existe $N\in\mathbb{N}_0$ tel que $\forall n\geq N,\qquad a_n\leq b_n\leq c_n.$

Alors,

$$\boxed{b_n\longrightarrow a}.$$

Démonstration directe : Pour tout $n\geq N$, on a

$$a_n\leq b_n\leq c_n.$$

En soustrayant $a_n$ aux trois membres, on obtient

$$0\leq b_n-a_n\leq c_n-a_n.$$

Or, $c_n-a_n\longrightarrow a-a=0.$

D'après le lemme de comparaison, $b_n-a_n\longrightarrow 0.$

Comme $b_n=(b_n-a_n)+a_n,$ et puisque $b_n-a_n\longrightarrow 0\qquad\text{et}\qquad a_n\longrightarrow a,$

la règle de la limite d'une somme donne $b_n\longrightarrow 0+a=a.$

Par conséquent,

$$\boxed{b_n\longrightarrow a}.$$