Nummód I.

Melyik állítás igaz az alábbiak közül az A = UDV* szinguláris felbontásra?

(A) A U oszlopai az A*A mátrix sajátvektorai

(B) A V oszlopai az AA* mátrix sajátvektorai

(C) D nem nulla elemei az A szinguláris értékei.

Melyik állítás igaz az alábbiak közül az A = UDV* szinguláris felbontásra?

(A) A U oszlopai az A*A mátrix sajátvektorai

(B) A V oszlopai az AA* mátrix sajátvektorai

(C) D nem nulla elemei az A szinguláris értékei.

C) D nem nulla elemei az A szinguláris értékei.

Legyen n ∈ N+ és x ∈ Rⁿ vektor. Az alábbi összefüggések közül melyik helyes?

Az alábbiak közül melyik formula alkalmazható az A mátrix 2-es kondíciószámának kiszámításához, ha b ≠ 0?

(A) cond₂ (A) = ||A||₂ * ||A⁻¹||₂

(B) cond₂ (A) = max |λᵢ (A)| / min |λᵢ (A)|

(C) Mindkettő

(D) Egyik sem

(A) cond₂ (A) = ||A||₂ * ||A⁻¹||₂

Ha az A mátrix sajátértékei: -3, -1, 0, 1, 3, akkor az A - pl eltolásra alkalmazott hatványmódszer mikor a leggyorsabb az alábbiak közül?

(A) p = -3 esetén.

(B) p = -1 esetén.

(C) p = -2 esetén.

(B) p = -1 esetén.

Melyik állítás igaz a hasonló mátrixokra?

(A) A hasonló mátrixok nyoma azonos.

(B) Ha a mátrixok hasonlók, akkor invertálhatóak.

(C) A szimmetrikus mátrixhoz hasonló mátrixok is szimmetrikusak.

(A) A hasonló mátrixok nyoma azonos.

C

A Jacobi-módszer esetén a diagonálison kívüli elemek négyzetösszege milyen ütemben tart nullához?

(A) 1/n(n-1)-gyel arányosan csökken.

(B) Mértani nullasorozattal majorálhatóan.

(C) 2/n(n-1)-gyel arányosan csökken.

(B) Mértani nullasorozattal majorálhatóan.

C

Szimmetrikus (önadjungált) mátrix esetén melyik állítás nem igaz a reziduum vektorra?

(A) Becsülhető vele a sajátvektor.

(B) A Rayleigh-hányados minimalizálja a 2-es normáját.

(C) Becsülhető vele a sajátérték közelítés jósága.

A) Becsülhető vele a sajátvektor.

A

Válassza ki a helyes állítást

(A) A ∥ · ∥2-es mátrixnorma illeszkedik a ∥ · ∥2-es vektornormára.

(B) A ∥ · ∥F mátrixnorma illeszkedik a ∥ · ∥2-es vektornormára.

(C) (A) és (B) is hamis.

(D) (A) és (B) is igaz

(D) (A) és (B) is igaz

Túlhatározott teljes rangú esetben az általánosított inverz számítására melyik képlet használható?

(A) A+ = A*(AAᵀ)⁻¹

(B) A+ = (A*A)⁻¹A*

(C) A+ = A(A*A)⁻¹

(D) A+ = (A*A)⁻¹A

(B)

(C)

Legyen a = 2 egy ∆a = 1 hibával terhelt mennyiség. Az alábbi lehetőségek közül mi lehet ∆f (a) értéke, ha f (x) = x^2 + 1.

(A) ∆f (a) = 6.

(B) ∆f (a) = 5.

(C) ∆f (a) = 4.

(D) ∆f (a) = 3.

(A) ∆f (a) = 6.

Az alábbi, P értékeire vonatkozó Horner-algoritmusból adódó táblázat alapján mi lesz P ′′(3)?

(A) 16

(B) 8

(C) 24

(D) 20

(A) 16

(B)

(B)

(C)

Tegyük fel, hogy az M(t, k −, 1) gépi számhalmaz esetén ε1 < ε0. Az alábbi állítások közül melyik igaz a számábrázolás pontosságát illetően bármely ábrázolható x ∈ R esetén?

(A) |x − fl(x)| ≤ ε0|x|/2

(B) |x − fl(x)| ≤ ε0

(C) |x − fl(x)| ≤ ε1|x|/2

(D) |x − fl(x)| ≤ ε1/2

(B) |x − fl(x)| ≤ ε0

(C)

Az alábbiak közül melyik lineáris spline a [0,4] intervallumon?

(A) x+1 (0≤ x <2), 3-x/2 (2≤ x<4)

(B) 2-x (0≤ x <3), x/2-3/2 (3≤ x <4)

(C) x+1/2 (0≤ x <1), 3-x/2 (1≤ x <4)

(D) 2-x (0≤ x <3), x/2-5/2 (3≤ x <4)

(D) 2-x (0≤ x <3), x/2-5/2 (3≤ x <4)

Legyen H Hilbert-tér (R felett) és gᵢ ∈ H (i = 1... ..n) lineárisan függetlenek. Ekkor a Gram-mátrix nem feltétlenül

(A) szimmetrikus.

(B) diagonális.

(C) pozitív definit.

(D) invertálható.

(B) diagonális.

D

Szigorúan diagonálisan domináns-e az alábbi mátrix?

• Igen, a soraira.

• Igen, az oszlopaira.

• Igen, a soraira és az oszlopaira is.

• Se a soraira, se az oszlopaira.

Canvas szerint: Igen, a soraira és az oszlopaira is. Definíció alapján: Igen, az oszlopaira.

Tekintsük az alábbi interpolációs alappontokat: x₀ = 0, x1 = 1, x₂ = 2. Melyik nem lesz az adott alappontokhoz tartozó Lagrange-alappolinom?

• (x-1)(x-2)/2

• x(x-2)/2

• x(x-1)/2

x(x-2)/2

Tekintsük az M(t, k- ,k+) gépi számok halmazat! M∞, ε0, ε1 ábrázolás nevezetes paraméterei. Melyik formula helyes az alábbiak közül:

• M∞ = 2ᵏ⁺

• ε0 = 2ᵏ⁻

• ε1 = 2¹⁻ᵗ

ε1 = 2¹⁻ᵗ

Mi az S helyes értéke a Gauss-elimináció transzformációs képletében?

2

Legyen ||x|| egy rögzített vektornorma, ||Al| pedig az általa indukált mátrixnorma. Legyen továbbá ||A||ₘ, egy tetszőleges mátrix norma. Ha teljesül az alábbi egyenlőtlenség ||Ax|| < ||A||ₘ ||x|| minden x vektorra, melyik igaz az alábbi összefüggések közül?

• ||A|| = ||A||ₘ

• ||A|| ≤ ||A||ₘ

• ||A|| > ||A||ₘ

||A|| ≤ ||A||ₘ

Melyik nem igaz a mátrix kondíció számával kapcsolatos összefüggések közül? Legyen A invertálható mátrix, cond(A) jelölje a kondíció számát!

2

A φ(x) függvény melyik fontos tulajdonsága következik az alábbi feltételből? φ ∈ C1[a, b] és

|φ’(x)| < 1 teljesül ∀ x ∈ [a, b]?

• A φ szigorúan monoton növekedő függvény [a, b] intervallumon.

• ∃ x* ∈ [a, b] úgy, hogy x* = φ(x*)

• A φ függvény kontrakció az [a, b] intervallumon.

• A φ függvénynek van zérushelye az [a, b] intervallumon.

A φ függvény kontrakció az [a, b] intervallumon.

Ha P tetszőleges polinom és valamely ξ helyen P(x) = P(ξ) + (x - ξ)Q(x), akkor az alábbiak közül mi teljesül a Q polinomra?

(A) ∃x ∈ R: P’(x) = Q(x)

(B) ∀x ∈ R: P’(x) ≠ Q(x)

(C) ∀x ∈ R: P’(x) = Q(x)

(D) ∀x ∈ R: P(x) = Q’(x)

(A) ∃x ∈ R: P’(x) = Q(x)

Tegyük fel, hogy az M(t, k, k) gépi számhalmazban M∞ = 63. Mi következik ebből?

• k = 2

• k = 4

• k = 6

• k = 8

k = 6

Legyen n ∈ N, n ≥ 3. A polinomok gyökeinek becslésére tanult tétel alapján mennyi a (R - 1)/r mennyiség értéke a

xⁿ/n + xⁿ⁻¹/n-1 + …… + x²/2 + x + 2

polinom esetén?

• 2

• n/3

• 3/n

• 3n

3n

Tegyük fel, hogy a φ függvényre teljesülnek a Brouwer-féle fixponttétel feltételei. Melyik állítás hamis az alábbiak közül?

• ∃ x* ∈ [a, b] úgy, hogy φ(x*) = x*

• φ : [a, b] → [a, b]

• φ kontrakció

• φ ∈ C[a, b]

φ kontrakció

Legyen A ∈ Rⁿˣⁿ egy szimmetrikus pozitív definit mátrix, A⁽¹⁾ pedig a Gauss-elimináció első lépésében kapott felsőháromszög mátrix. Milyen állítások igazak A⁽¹⁾ jobb alsó (bekeretezett) B ∈ R⁽ⁿ⁻¹⁾ˣ⁽ⁿ⁻¹⁾ sarok mátrixára?

• B szimmetrikus

• det(B) ≠ 0

• B szimmetrikus és pozitív definit.

• Mindegyik

• Mindegyik

Az alábbi iterációk közül melyik lesz bizonyos feltételek mellett másodrendben konvergens iteráció?

1

Az alábbi feltételek adottak a Newton iteráció monoton konvergencia tételének feltételei közül:

• f ∈ C2[a, b]

• ∃ x* ∈ [a, b] úgy, hogy f(x*) = 0

• f’(x) ≠ 0 és f’’(x) ≠0

Melyik a hiányzó feltétel az alábbiak közül?

• x₀ ∈ [a, b] tetszőleges.

• x₀ ∈ [a, b] úgy, hogy f(x₀)f’’(x₀) < 0

• x₀ ∈ [a, b] úgy, hogy f(x₀)f’’(x₀) > 0

• x₀ ∈ [a, b] úgy, hogy f(x₀)f’’(x₀) = 0

x₀ ∈ [a, b] úgy, hogy f(x₀)f’’(x₀) > 0

Az interpoláció hibatételének feltételei mellett, a bizonyításban szereplé gₓ(z) függvényre melyik nem igaz?

2

Az alábbi számok közül melyiket nem tartalmazza az M(6,-1,5) számhalmaz?

(A) - [01101| 0]

(B) - [01101| -1]

(C) - [10101| 2]

(D) - Egyiket sem

(D) - Egyiket sem

Ha az e szám értékét 3-mal közelítjük, melyik a jó abszolút hibakorlát az alábbiak közül?

(A) - △₃ = 0.15

(B) - △₃ = 0.3

(C) - △₃ = 0.05

(D) - Egyik sem

(B) - △₃ = 0.3

Egy városban csak észak-déli, kelet-nyugati irányú utcákon közlekedhetünk. A fenti ábrán a kék vonal egy olyan megengedett útvonalat szemléltet, melyen el lehet jutni A-ból B-be. A zöld vonal nem egy valós útvonal, mert átlós utak nincsenek. Ha az A és B pontokat kétdimenziós vektorokkal adjuk meg, akkor a kékkel jelölt útvonal hossza melyik távolságnak felel meg?

(A) - ||A-B||₂

(B) - ||A-B||₁

(C) - ||A-B||∞

(D) - ||A-B||F

(B) - ||A-B||₁

Melyik ábra szerinti távolságok négyzetösszegét minimalizálja az előadáson tanult legkisebb négyezetes egyenesillesztés?

(A) A bal oldali ábrán lévő távolságokat.

(B) A jobb oldali ábrán lévő távolságokat.

(C) Mindkettőt.

(D) Egyiket sem.

(A) A bal oldali ábrán lévő távolságokat.

Tekintsük az (xᵢ, yᵢ), i = 0,….,n alappontokra illeszkedő interpolációs polinom Lagrange-alakját Lₙ(x) és a Newton-alakját Nₙ(x). Melyik állítás igaz az alábbiak közül?

(A) ∃ x ∈ R: Lₙ(x) ≠ Nₙ(x)

(B) ∀ x ∈ R: Lₙ(x) = Nₙ(x)

(C) ∀ x ∈ R: Lₙ(x) = Nₙ(x) + Nₙ₋₁(x)

(D) Mindegyik igaz.

(B) ∀ x ∈ R: Lₙ(x) = Nₙ(x)

Legyen x ∈ Rⁿ . Ekkor:

(A) ||x||p ≤ ||x||q, ha p ≥ q ≥ 1

(B) ||x||p ≤ ||x||q, ha p ≤ q ≥ 1

(C) ||x||p ≥ ||x||q, ha p ≤ q ≥ 1

(D) ||x||p ≥ ||x||q, ha p ≥ q ≥ 1

(A) ||x||p ≤ ||x||q, ha p ≥ q ≥ 1

Legyenek az A ∈ Rⁿˣⁿ szimmetrikus mátrix sajátértékei: λ₁,λ₂,….,λₙ. Ha tudjuk, hogy minden i = 1,…,n esetén λᵢ > 0, akkor mit lehet mondani A egy tetszőleges Schur-komplementerének [A|A₁₁] sajátértékeiről?

(A) [A|A₁₁] -nak csak negatív sajátértékei vannak.

(B) [A|A₁₁] -nak csak pozitív sajátértékei vannak.

(C) [A|A₁₁] -nak pozitív és negatív sajátértékei vannak.

(D) [A|A₁₁] -nak lesz nulla sajátértéke.

(B) [A|A₁₁] -nak csak pozitív sajátértékei vannak.

2

Az alábbi mátrixxal felírt Ax = b lineáris egyenletrendszert melyik tanult módszerrel oldhatjuk meg a legkevesebb művelettel?

(A) Gauss-eliminációval.

(B) LU felbontással.

(C) Progonka módszerrel.

(D) Mindegyik ugyanannyi műveletet igényel.

(C) Progonka módszerrel.

Az M := M(t, k-, k+) gépi számhalmazra vonatkozó állítások közül melyik igaz?

(A) M tartalmazza a 0-t.

(B) Bármely 2 szomszédos elem távolsága azonos.

(C) M elemei ε₀-ra szimmetrikusan helyezkednek el.

(D) M páros számú elemet tartalmaz.

(A) M tartalmazza a 0-t.

Az alapműveletek hibakorlátaira vonatkozó ismereteink szerint mely állítás hamis?

(A) Két egymáshoz közeli szám összegének képzése nem növeli nagy mértékben az eredmény relatív hibakorlátját.

(B) Két egymáshoz közeli szám összegének képzése nem növeli nagy mértékben az eredmény abszolút hibakorlátját.

(C) Két egymáshoz közeli szám különbségének képzése nem növeli nagy mértékben az eredmény relatív hibakorlátját.

(D) Két egymáshoz közeli szám különbségének képzése nem növeli nagy mértékben az eredmény abszolút hibakorlátját.

(C) Két egymáshoz közeli szám különbségének képzése nem növeli nagy mértékben az eredmény relatív hibakorlátját.

Az Ax = b lineáris egyenletrendszer megoldását Gauss-elimináció segítségével szeretnénk kiszámítani. Az alábbi állítások közül melyik igaz?

(A) Ha det(A) = 0, akkor a Gauss-elimináció nem hajtható végre sor- és oszlopcsere nélkül.

(B) Ha det(A) = 0, akkor a lineáris egyenletrendszernek biztosan nincs megoldása.

(C) Ha det(A) ≠ 0, akkor a Gauss-elimináció lehet, hogy nem hajtható végre sor- és oszlopcsere nélkül.

(D) Ha det(A) ≠ 0, akkor a lineáris egyenletrendszernek lehet, hogy két megoldása van.

(C) Ha det(A) ≠ 0, akkor a Gauss-elimináció lehet, hogy nem hajtható végre sor- és oszlopcsere nélkül.

Az Ax = b lineáris egyenletrendszer megoldását Gauss-elimináció segítségével szeretnénk kiszámítani. Az alábbi állítások közül melyik igaz?

(A) Ha det(A) = 0, akkor a Gauss-elimináció nem hajtható végre sor- és oszlopcsere nélkül.

(B) Ha det(A) = 0, akkor a lineáris egyenletrendszernek lehet, hogy nincs megoldása.

(C) Ha det(A) ≠ 0, akkor a Gauss-elimináció végrehajtható sor- és oszlopcsere nélkül.

(D) Ha det(A) ≠ 0, akkor a lineáris egyenletrendszernek lehet, hogy két megoldása van.

(B) Ha det(A) = 0, akkor a lineáris egyenletrendszernek lehet, hogy nincs megoldása.

Az f(x) = e⁻ˣ² = 0 megoldását szeretnénk közelíteni az [1;2] intervallumon Newton-módszer segítségével. Milyen x₀-ból indítva kapunk konvergens eljárást?

(A) Csak x₀ > x* esetén.

(B) Csak x₀ < x* esetén.

(C) A Newton-módszer nem lesz konvergens ebben az esetben.

(D) Bármely x₀ ∈ [1; 2] esetén konvergens a Newton-módszer.

(C) A Newton-módszer nem lesz konvergens ebben az esetben.

Legyen adott v ∈ Rⁿ olyan, hogy ||v||₂ =1, és x ∈ Rⁿ. Tegyük fel, hogy H(v)(H(v)x) = x, ahol H(v) a v-hez tartozó Householder-mátrix.

Ekkor:

(A) v ⊥ x,

(B) v=x,

(C) (A) és (B) is lehetséges.

(C) (A) és (B) is lehetséges.

Melyik mátrixnorma nem indukált az alábbiak közül?

(A) ||.||₁

(B) ||.||₂

(C) Minden mátrixnorma indukált.

(D) ||.||F

(D) ||.||F

Tekintsünk egy 23 pontra épülő interpolációs feladatot! Hány darab harmadrendű osztott differencia tartozik az adott osztópont rendszerhez?

(A) 20

(B) 21

(C) 19

(D) 0

(A) 20

Mely feltétel nem szükséges a Newton módszer lokális konvergenciájához?

(A) f ∈ C²[a,b]

(B) ∃m > 0 : ∀x ∈ (a,b): |f’(x)| < m

(C) ∃M> 0 : ∀x ∈ (a,b): |f’’(x)| < M

(D) Mindháromra szükség van.

(B) ∃m > 0 : ∀x ∈ (a,b): |f’(x)| < m

Az alábbiak közül melyik intervallumon van fixpontja az f(x) := x³ - 3x függvénynek?

(A) [2.5;3].

(B) [-1;-0.5].

(C) [4;5].

(D) [0;2].

(D) [0;2].

Melyik állítás igaz az n-fokú polinomokra tanult Horner algoritmusra?

(A) Műveletigénye a fokszámmal négyzetes arányban nő.

(B) Tetszőleges folytonos függvény gyökeinek meghatározására alkalmazható.

(C) Szélsőérték meghatározására is közvetlenül alkalmazható.

(D) Polinom deriváltjainak kiszámítására is alkalmazható.

(D) Polinom deriváltjainak kiszámítására is alkalmazható.

Tekintsük az ábrán látható kvadratúraformulát.

Hogyan válasszuk meg az A együttható értékét, hogy interpolációs kvadratúraformulát kapjunk?

(A) A = 2/3.

(B) A = 0.

(C) A = 2/9.

(D) A = 9/2.

(C) A = 2/9.

Legyen x és y két egymáshoz közeli, hibával terhelt mennyiség. Az alábbi összefüggések közül melyik igaz?

(A) δx+y magas.

(B) δx−y magas.

(C) ∆x+y magas.

(D) ∆x−y magas.

(B) δx−y magas.

(A)

(A)

Az f (x) = 0 egyenlet megoldásához Newton-módszert szeretnénk használni. Melyik feltétel teljesülése esetén lehetünk biztosak abban, hogy a monoton konvergencia tétel nem alkalmazható?

(D)

Az alábbiak közül melyik tanult tétel garantálja a legmagasabb rendű konvergenciát?

(A) Húrmódszer konvergenciatétele.

(B) Banach-féle fixponttétel.

(C) Newton módszer monoton konvergenciája.

(D) Mindegyik csak 1-rendű konvergenciát igényel.

(D) Mindegyik csak 1-rendű konvergenciát igényel.

Az alábbi, P értékeire vonatkozó Horner-algoritmusból adódó táblázat alapján mi lesz ( Q(3) + 1/2) P’’(1) értéke, ahol P(x) = Q(x)(x-1)?

(A) -6.

(B) 6

(C) -3

(D) 3

(A) -6.

Tegyük fel, hogy az A ∈ Rⁿˣⁿ mátrix rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal:

• zᵀ Az > 0 minden Z ∈ Rⁿ, z ≠ 0 vektorra.

• aᵢ,ⱼ = aⱼ,ᵢ (i, j = 1,…..,n).

Az A mátrix LLᵀ felbontása ekkor

(A) Nem létezik.

(B) Egyértelműen létezik.

(C) Nincs elegendő információnk ahhoz, hogy a Cholesky-felbontás létezését megállapítsuk.

(B) Egyértelműen létezik.

Melyik állítás nem teljesül minden H = H(v) ∈ Rⁿˣⁿ Householder-mátrixra?

(A) H(v)v = v

(B) H(-v)v = -v

(C) H(v)v = -v

(D) H(-v)(-v) = v

(A) H(v)v = v

Tegyük fel, hogy az A mátrix ______, és az Ax = b LER-re felírt Jacobi-iteráció konvergens tetszőleges x⁽⁰⁾ esetén. Mit írjunk ______ helyére, hogy a Gauss-Seidel módszer biztosan kétszer gyorsabban tartson a megoldáshoz?

(A) pozitív definit

(B) szigorúan diagonálisan domináns a soraira nézve

(C) tridiagonális

(D) negatív definit

(C) tridiagonális

Az alapműveletek hibakorlátaira vonatkozó ismereteink szerint mely állítás igaz?

(A) A nagy pozitív számmal való osztás nagy mértékben növeli az eredmény abszolút hibakorlátját.

(B) A nagy pozitív számmal való osztás nagy mértékben növeli az eredmény relatív hibakorlátját.

(C) Két kicsi pozitív szám összeadása nagy mértékben növeli az eredmény abszolút hibakorlátját.

(D) Két kicsi pozitív szám összeadása nagy mértékben növeli az eredmény relatív hibakorlátját.

(D) Két kicsi pozitív szám összeadása nagy mértékben növeli az eredmény relatív hibakorlátját.

Tekintsük az alábbi mátrixot. A következő állítások közül melyik igaz?

(A) A főátlóban 0 van, ezért a mátrix determinánsa 0.

(B) A Gauss-elimináció nem hajtható végre sor- és oszlopcsere nélkül.

(C) A Gauss-elimináció végrehajtható sor- és oszlopcsere nélkül.

(D) A Gauss-elimináció egyik változata sem hajtható végre.

(B) A Gauss-elimináció nem hajtható végre sor- és oszlopcsere nélkül.

Tekintsük az alábbi mátrixot. Konvergens-e az A-ra felírt GS(1) iteráció?

(A) Nem, mert ||A||∞ > 1.

(B) Igen, mert ||A||₂ < 1.

(C) Igen, mert ρ(A) < 1

(D) Nem, mert A-hoz nem létezik Bgs₍₁₎

(D) Nem, mert A-hoz nem létezik Bgs₍₁₎

Tekintsük az alábbi mátrixot. Konvergens-e az A-ra felírt J(1) iteráció?

(A) Igen, mert ||A||∞ > 1.

(B) Nem, mert ||A||₂ < 1.

(C) Igen, mert ρ(A) < 1

(D) Nem, mert A-hoz nem létezik BJ₍₁₎

(D) Nem, mert A-hoz nem létezik BJ₍₁₎

Tegyük fel, hogy az A ∈ Rⁿˣⁿ mátrixon a Gauss-elimináció végrehajtása sikerült, és ezután

aₙ,ₙ⁽ⁿ⁻¹⁾ = 0 eredményre jutottunk. Mit jelent ez?

(A) A Gauss-elimináció során legalább egyszer sort- vagy oszlopot kellett cserélnünk.

(B) Az A mátrixhoz tartozó lineáris egyenletrendszernek nincs megoldása.

(C) A-nak nem létezik az LU felbontása.

(D) Az A mátrixhoz tartozó lineáris egyenletrendszer megoldásvektorának utolsó komponenense tetszőleges.

(C) A-nak nem létezik az LU felbontása.

Az ábrán látható mátrix esetén:

(A) cond₂(A) = cond₂(R), ahol R az A mátrix OR-felbontásából származik.

(B) cond₂(A) = cond₂(Q), ahol Q az A mátrix QR-felbontásából származik.

(C) cond₂(A) = cond₂(L), ahol L az A mátrix LU-felbontásából származik.

(D) cond₂(A) = cond₂(L), ahol L az A mátrix LLᵀ -felbontásából származik.

(A) cond₂(A) = cond₂(R), ahol R az A mátrix QR-felbontásából származik.

(D)

Az M := M(t, k-, k+), ahol k- = -1k+ gépi számhalmazra vonatkozó állítások közül melyik teljesül minden esetben?

(A) ε0 < ε1

(B) ∀x ∈ M : x ≥ ε0

(C) |M| > 1 => ε0ε1 ≤ M∞

(D) M∞ *ε0 / 2 > ε1

C) |M| > 1 => ε0ε1 ≤ M∞

Tegyük fel, hogy egy adott LER mátrixa tridiagonális, szimmetrikus, és pozitív definit, valamint a relaxált Gauss-Seidel iterációhoz tartozó optimális paraméter ωopt = 1.

Mit mondhatunk ekkor a LER-re felírt Jacobi-iteráció iterációs mátrixáról?

(D)

Az ILU iteráció B_ILU = P⁻¹Q átmenetmátrixára melyik teljesül?

(A) Ha Q a LER A mátrixához közelít, akkor az iteráció gyors lesz.

(B) Ha P⁻¹ az A mátrixhoz közeli, akkor az iteráció gyors lesz.

(C) Ha P az A mátrixhoz közeli, akkor az iteráció gyors lesz.

(D) Ha Q⁻¹ az A mátrixhoz közeli, akkor az iteráció gyors lesz.

(C) Ha P az A mátrixhoz közeli, akkor az iteráció gyors lesz.

Az alábbi, P értékeire vonatkozó Horner-algoritmusból adódó táblázat alapján mi lesz Q(4)*P’’(1) értéke, ahol P(x) = Q(x)(x - 1)?

(A) 12

(B) -12

(C) 8

(D) -8

(A) 12

Az A ∈ R⁴ˣ⁴ szimmetrikus mátrix sajátértékei -2,3,4,6. Melyik állítás igaz az alábbiak közül?

(A) cond(A) ≥ 3

(B) cond₂(A) = -3

(C) cond(A) ≤  3

(D) Nem biztos, hogy A invertálható és létezik kondíciószáma.

A) cond(A) ≥ 3

Az A ∈ R⁴ˣ⁴ szimmetrikus mátrix sajátértékei -2,1,2,4. Melyik állítás igaz az alábbiak közül?

(A) cond₂(A) = 4

(B) cond₂(A) = 2

(C) cond(A) ≥ 4

(D) Nem biztos, hogy A invertálható és létezik kondíciószáma.

(C) cond(A) ≥ 4

Melyik vektornorma-mátrixnorma pár illeszkedő az alábbiak közül?

(A) || . ||₂ vektornorma és || . ||F mátrixnorma.

(B) || . ||₂ vektornorma és || . ||ᵤ,

ahol ||B||ᵤ := sqrt(tr(BᵀB))

(C) Mindkettő.

(D) Egyik sem.

(C) Mindkettő.

Tegyük fel, hogy az x ∈ Rₘ szám fl(x) ∈ M(7, -16, 16) gépi számhalmazbéli alakjának karakterisztikája 10.

Melyik nem relatív hibakorlátja az ábrázolt számnak?

(A) 2⁻⁷

(B) 2⁻⁶

(C) 2⁻⁸

(D) 2⁻⁵

(C) 2⁻⁸

Tegyük fel, hogy az x ∈ Rₘ szám fl(x) ∈ M(8, -16, 16) gépi számhalmazbéli alakjának karakterisztikája 10.

Melyik nem relatív hibakorlátja az ábrázolt számnak?

(A) 2⁻⁶

(B) 2⁻⁷

(C) 2⁻⁸

(D) 2⁻⁹

D) 2⁻⁹

Tegyük fel, hogy az x ∈ Rₘ szám fl(x) ∈ M(8, -16, 16) gépi számhalmazbéli alakjának karakterisztikája 11.

Mit mondhatunk az ábrázolásból eredő hibakorlátról? Melyik az a legkisebb egész szám, amivel biztosan felülről tudjuk becsülni az ábrázolás hibáját? lx — fI(x)I < ?

(A) 8

(B) 4

(C) 2

(D) 1

(B) 4

Milyen rendben konvergál az xₖ₊₁ = xₖ - sin(xₖ), x₀ = 1

fixpont-iteráció?

(A) Negyedrendű

(B) Harmadrendű

(C) Másodrendű

(D) Elsőrendű

(B) Harmadrendű

Legyen a,b ∈ Rⁿ, a ≠ b ≠ 0, ||a-b||₂ = 1, és aᵀa = bᵀb.

Ekkor a v = a-b vektorra:

(A) H(v)a = a.

(B) H(v)a = b.

(C) H(a)v = -v.

(D) H(v)b = -b.

(B) H(v)a = b.

Legyen a,b ∈ Rⁿ, a ≠ b ≠ 0. Ekkora H(v)a = b teljesül, ha

(B)

Legyen Bⱼ ∈ Rⁿˣⁿ egy Jacobi-iteráció átmenetmátrixa, λᵢ ∈ R, vᵢ ∈ Rⁿ olyan, hogy

Bⱼᵥᵢ = λᵢ vᵢ (i = 1,….,n).

Jelölje továbbá Bⱼ(ω) az ω ∈ (0,1) paraméterű csillapított Jacobi-iteráció átmenetmátrixát. Ekkor:

(A) Bⱼᵥᵢ = ((1-ω)l + ωBⱼ)vᵢ

(B) Bⱼ(ω)ᵥᵢ = ((1-ω)l + ωBⱼ)λᵢ

(C) Bⱼ(ω)ᵥᵢ = ((1-ω)l + ωBⱼ)vᵢ

(D) Bⱼ(ω)ᵥᵢ = ((1-λᵢ)l + λᵢBⱼ)vᵢ

(C) Bⱼ(ω)ᵥᵢ = ((1-ω)l + ωBⱼ)vᵢ

Legyen t ∈ N+ és tekintsük az M(t, t, t) gépi számhalmazt! Milyen t-re teljesül, hogy

|M| - M∞ < ε₀

(A) t < 2

(B) t > 2

(C) t = 2

(D) Minden lehetséges t-re teljesül a feltétel.

(B) t > 2

Tegyük fel, hogy az A ∈ Rⁿˣⁿ szimmetrikus mátrixnak egyértelműen létezik LLᵀ - felbontása. Melyik állítás nem igaz az alábbiak közül?

(A) cond₂(A) ≥ cond₂(L)

(B) cond₂(det(A) * A) = cond₂(L)²

(C) cond₂(A)² = cond₂(Lᵀ)

(D) cond_F(A) ≥ cond₂(L)

(B) cond₂(det(A) * A) = cond₂(L)²

Tegyük fel, hogy az A ∈ Rⁿˣⁿ mátrixnak egyértelműen létezik LU-felbontása. Melyik állítás nem igaz az alábbiak közül?

(B)

Melyik igaz a csillapított Gauss-Seidel iteráció által adott k - 1-ik közelítő eredményre?

(D)

Mindig létezik-e olyan x ≠ 0 vektor, ami az

||Ax||₂ / ||x||₂ hányadost minimalizálja?

(A) Igen, λₘᵢₙ(A) sajátérték egy sajátvektora mindig ilyen.

(B) Igen, λₘᵢₙ(A⁻¹AᵀA) sajátérték egy sajátvektora mindig ilyen.

(C) Igen, λₘᵢₙ(AAᵀ) sajátérték egy sajátvektora mindig ilyen.

(D) Nem létezik minimum, csak az inf létezése garantált.

(C) Igen, λₘᵢₙ(AAᵀ) sajátérték egy sajátvektora mindig ilyen.

Melyik mátrixnorma indukált az alábbiak közül?

(A) ||.||₁

(B) ||.||∞

(C) Mindkét mátrixnorma indukált.

(D) Egyik sem indukált

(C) Mindkét mátrixnorma indukált.

Az alábbi lineáris egyenletrendszer megoldását Gauss-elimináció és részleges főkiválasztás használatával szeretnénk meghatározni. Mit tesz az algoritmusunk a Gauss-elimináció második lépésének végrehajtását megelőzően?

(A) Semmit, elvégzi a Gauss-elimináció második lépését.

(B) Kicseréli a 2. és a 3. sort.

(C) Kicseréli a 2. és az 1. sort.

(D) Kicseréli a 2. és a 3. oszlopot.

(B) Kicseréli a 2. és a 3. sort.

Legyen x és y két hibával terhelt mennyiség. Az alábbi összefüggések közül melyik hamis?

(A) δₓᵧ = δₓ + δᵧ

(B) δₓ/ᵧ = δₓ + δᵧ

(C) △ₓ₊ᵧ = △ₓ + △ᵧ

(D) △ₓ₋ᵧ = △ₓ - △ᵧ

(D) △ₓ₋ᵧ = △ₓ - △ᵧ

Tegyük fel, hogy egy interpolációs feladatban szereplő ω₃ polinom a következő alakú:

ω₃(x) = (x+1)(x-1)(x-2)(x-3). Az alábbiak közül melyik lehet az ℓ₁(x) Lagrange-alappolinom?

(A) (x+1)(x-2)(x-3) / 3

(B) (x+1)(x-2)(x-3) / -3

(C) (x+1)(x-2)(x-3) / 4

(D) (x+1)(x-2)(x-3) / -4

(C) (x+1)(x-2)(x-3) / 4

A képen látható határozott integrál értékét az E(f) érintőformulával szeretnénk közelíteni. Válassza ki a helyes képletet!

(A) E(f) = (b-a) * f((b+a)/2)

(B) E(f) = ((b-a)/2) * f((b+a)/2)

(C) E(f) = (b+a) * f((b-a)/2)

(D) E(f) = ((b+a)/2) * f((b-a)/2)

(A) E(f) = (b-a) * f((b+a)/2)

Az f(x) = 0 egyenlet megoldásához Newton-módszert szeretnénk használni. Az erre vonatkozó tétel alapján a módszer monoton konvergenciájához az alábbi feltételek közül melyik nem szükséges?

(A) f ∈ C²[a,b]

(B) f’ állandó előjelű az [a,b]-n.

(C) f’’ nem vált előjelet az [a,b]-n.

(D) f’ és f’’ előjele megegyezik az [a,b]-n.

(D) f’ és f’’ előjele megegyezik az [a,b]-n.